Страница 32 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

73 Сравните числа и запишите ответ с помощью знака > или <:

а) 245 и 1002;

б) 25000 и 9876;

в) 74196 и 74215;

г) 1197000 и 1190426;

д) 7280 и 7028;

е) 11111 и 22222;

ж) 15278 и 15287;

з) 6130248 или 10471000.

а) Чтобы сравнить числа 245 и 1002, посмотрим на количество разрядов в каждом числе. В числе 245 три разряда (оно трехзначное), а в числе 1002 — четыре разряда (оно четырехзначное). Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше разрядов. Таким образом, 1002 больше, чем 245.
Ответ: $245 < 1002$

б) Сравниваем числа 25000 и 9876. Число 25000 имеет пять разрядов (пятизначное), а число 9876 имеет четыре разряда (четырехзначное). Так как у числа 25000 больше разрядов, оно больше числа 9876.
Ответ: $25000 > 9876$

в) Сравниваем числа 74196 и 74215. Оба числа имеют одинаковое количество разрядов — пять. В этом случае начинаем сравнивать цифры в разрядах слева направо.

• Цифры в разряде десятков тысяч одинаковы: 7 = 7.
• Цифры в разряде тысяч одинаковы: 4 = 4.
• Цифры в разряде сотен различаются: $1 < 2$.

Так как в разряде сотен у первого числа цифра меньше, то и само число 74196 меньше, чем 74215.
Ответ: $74196 < 74215$

г) Сравниваем числа 1197000 и 1190426. Оба числа семизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.

• Первые три цифры совпадают: 119... и 119...
• Сравниваем четвертую цифру (разряд тысяч): у первого числа это 7, у второго — 0.

Поскольку $7 > 0$, то число 1197000 больше, чем 1190426.
Ответ: $1197000 > 1190426$

д) Сравниваем числа 7280 и 7028. Оба числа четырехзначные. Сравниваем поразрядно слева направо.

• Цифра в разряде тысяч одинакова: 7 = 7.
• Цифры в разряде сотен различаются: $2 > 0$.

Так как в разряде сотен у первого числа цифра больше, то число 7280 больше, чем 7028.
Ответ: $7280 > 7028$

е) Сравниваем числа 11111 и 22222. Оба числа пятизначные. Сравнение начинаем со старшего разряда (самого левого). Цифра в разряде десятков тысяч у первого числа — 1, а у второго — 2. Так как $1 < 2$, то и всё число 11111 меньше, чем 22222.
Ответ: $11111 < 22222$

ж) Сравниваем числа 15278 и 15287. Оба числа пятизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.

• Первые три цифры совпадают: 152... и 152...
• Сравниваем четвертую цифру (разряд десятков): у первого числа это 7, у второго — 8.

Поскольку $7 < 8$, то число 15278 меньше, чем 15287.
Ответ: $15278 < 15287$

з) Сравниваем числа 6130248 и 10471000. Посчитаем количество разрядов. Число 6130248 — семизначное (7 цифр). Число 10471000 — восьмизначное (8 цифр). Число, в котором больше разрядов, всегда больше. Следовательно, 6130248 меньше, чем 10471000.
Ответ: $6130248 < 10471000$

74 Запишите в виде неравенства:

а) число a больше 15; $a > 15$

б) число b меньше 100; $b < 100$

в) число 28 меньше числа c; $28 < c$

г) число a больше числа c. $a > c$

В каждом случае приведите примеры таких чисел.

а) Условие "число a больше 15" записывается с помощью знака "больше" (>). Это означает, что переменная a может принимать любое значение, которое строго больше 15.
Неравенство: $a > 15$.
Примерами таких чисел могут быть 16, 25.5, 100.
Ответ: $a > 15$. Например, $a=16$, $a=25$.

б) Условие "число b меньше 100" записывается с помощью знака "меньше" (<). Это означает, что переменная b может принимать любое значение, которое строго меньше 100.
Неравенство: $b < 100$.
Примерами таких чисел могут быть 99, 50, 0, -10.
Ответ: $b < 100$. Например, $b=99$, $b=0$.

в) Условие "число 28 меньше числа c" записывается с помощью знака "меньше" (<). Это неравенство можно записать как $28 < c$, что равносильно записи $c > 28$ ("c больше 28").
Неравенство: $28 < c$.
Примерами таких чисел c могут быть 29, 40, 150.
Ответ: $28 < c$. Например, $c=30$, $c=100$.

г) Условие "число a больше числа c" записывается с помощью знака "больше" (>). Это значит, что для любой выбранной пары чисел значение a должно быть больше значения c.
Неравенство: $a > c$.
Примеры таких пар чисел: если $a=10$, то $c$ может быть любым числом меньше 10, например $c=5$. Другая пара: $a=0$ и $c=-15$.
Ответ: $a > c$. Например, $a=10$ и $c=5$.

75 Назовите числа сначала в порядке возрастания, а потом в порядке убывания; в каждом случае запишите цепочку неравенств:

a) 89, 61, 88, 49;

б) 576, 675, 568, 615.

Образец. $3 < 7 < 12 < 20$; $20 > 12 > 7 > 3$.

а)

Рассмотрим числа: 89, 61, 88, 49.

Сначала расположим их в порядке возрастания, то есть от самого маленького к самому большому. Сравнив числа, получим следующую последовательность: 49, 61, 88, 89.

Теперь запишем эту последовательность в виде цепочки неравенств: $49 < 61 < 88 < 89$.

Далее расположим числа в порядке убывания, то есть от самого большого к самому маленькому. Это будет обратная последовательность: 89, 88, 61, 49.

Запишем соответствующую цепочку неравенств: $89 > 88 > 61 > 49$.

Ответ: $49 < 61 < 88 < 89$; $89 > 88 > 61 > 49$.

б)

Рассмотрим числа: 576, 675, 568, 615.

Для расположения в порядке возрастания сравним числа по разрядам, начиная со старшего (сотни). Самые маленькие числа — те, у которых 5 сотен (576 и 568). Сравнивая их, видим, что 568 меньше 576. Далее идут числа с 6 сотнями (675 и 615). Сравнивая их, видим, что 615 меньше 675.

Таким образом, полная последовательность в порядке возрастания выглядит так: 568, 576, 615, 675.

Запишем эту последовательность в виде цепочки неравенств: $568 < 576 < 615 < 675$.

В порядке убывания числа будут расположены в обратном порядке: 675, 615, 576, 568.

Запишем соответствующую цепочку неравенств: $675 > 615 > 576 > 568$.

Ответ: $568 < 576 < 615 < 675$; $675 > 615 > 576 > 568$.

76 Сравните, если возможно, числа, в которых некоторые цифры неизвестны:

a) $9**$ и $2***$;

б) $18***$ и $20***$;

в) $3***4$ и $3***7$;

г) $6****$ и $6*5**$;

д) $9*4*4$ и $8*4*4$;

е) $**111$ и $*111$.

а) Сравниваем числа $9**$ и $2***$.

Первое число, $9**$, является трёхзначным. Наименьшее возможное значение этого числа — $900$, а наибольшее — $999$. Второе число, $2***$, является четырёхзначным. Его наименьшее значение — $2000$, а наибольшее — $2999$. Любое четырёхзначное число всегда больше любого трёхзначного числа, так как самое большое трёхзначное число ($999$) меньше самого маленького четырёхзначного ($1000$). Следовательно, $9** < 2***$.

Ответ: $9** < 2***$.

б) Сравниваем числа $18***$ и $20***$.

Оба числа являются пятизначными. Для сравнения чисел с одинаковым количеством цифр, мы сравниваем их цифры поразрядно, слева направо. Первая цифра у первого числа — $1$, а у второго — $2$. Поскольку $1 < 2$, первое число всегда будет меньше второго, независимо от остальных неизвестных цифр. Наибольшее возможное значение первого числа ($18999$) меньше наименьшего возможного значения второго числа ($20000$).

Ответ: $18*** < 20***$.

в) Сравниваем числа $3***4$ и $3***7$.

Оба числа пятизначные и начинаются с цифры $3$. Однако цифры в разрядах тысяч, сотен и десятков неизвестны и могут быть разными для этих двух чисел. Рассмотрим два примера:
1. Пусть первое число равно $31004$, а второе — $30007$. В этом случае $31004 > 30007$.
2. Пусть первое число равно $30004$, а второе — $31007$. В этом случае $30004 < 31007$.
Поскольку результат сравнения зависит от неизвестных цифр, однозначно сравнить эти числа невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

г) Сравниваем числа $6****$ и $6*5**$.

Оба числа пятизначные и начинаются с цифры $6$. Сравнение зависит от неизвестных цифр в старших разрядах. Например:
1. Если первое число $61000$, а второе $62500$, то $61000 < 62500$.
2. Если первое число $63000$, а второе $62500$, то $63000 > 62500$.
Так как можно подобрать неизвестные цифры так, чтобы первое число было как больше второго, так и меньше, то однозначно сравнить эти числа невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

д) Сравниваем числа $9*4*4$ и $8*4*4$.

Оба числа являются пятизначными. Сравниваем их поразрядно слева направо. Первая цифра у первого числа — $9$, а у второго — $8$. Поскольку $9 > 8$, первое число всегда будет больше второго, независимо от остальных неизвестных цифр. Наименьшее возможное значение первого числа ($90404$) больше наибольшего возможного значения второго числа ($89494$).

Ответ: $9*4*4 > 8*4*4$.

е) Сравниваем числа $**111$ и $*1111$.

Оба числа являются пятизначными, так как первая цифра в натуральном числе не может быть нулём. Сравнение зависит от неизвестных цифр в старших разрядах (десятки тысяч и тысячи). Рассмотрим примеры:
1. Пусть первое число равно $20111$, а второе — $11111$. Тогда $20111 > 11111$.
2. Пусть первое число равно $10111$, а второе — $21111$. Тогда $10111 < 21111$.
Результат сравнения зависит от неизвестных цифр, поэтому однозначно сравнить эти числа невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

a) Запишите какое-нибудь пятизначное число, которое меньше 10101 и оканчивается цифрой 7. Сколько всего таких чисел?

б) Запишите какое-нибудь шестизначное число, которое больше 999888 и оканчивается цифрой 6. Сколько всего таких чисел?

а) Запишем в качестве примера число 10007. Оно пятизначное, меньше 10101 и оканчивается на 7.
Чтобы найти количество таких чисел, определим диапазон. Наименьшее пятизначное число — это 10000. Числа должны быть меньше 10101, значит, наибольшее подходящее целое число — 10100. Нам нужны числа в интервале $[10000, 10100]$, которые оканчиваются на 7.
Это числа: 10007, 10017, 10027, 10037, 10047, 10057, 10067, 10077, 10087, 10097.
Всего таких чисел 10.
Ответ: 10007; всего 10 чисел.

б) Запишем в качестве примера число 999896. Оно шестизначное, больше 999888 и оканчивается на 6.
Чтобы найти количество таких чисел, определим диапазон. Числа должны быть шестизначными (т.е. не превышать 999999) и больше 999888. Таким образом, мы ищем числа в интервале $[999889, 999999]$, которые оканчиваются на 6.
Первое такое число — это 999896. Последнее — 999996.
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 999896$, последним членом $a_n = 999996$ и разностью $d = 10$.
Количество членов $n$ можно найти по формуле: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.
$n = \frac{999996 - 999896}{10} + 1 = \frac{100}{10} + 1 = 10 + 1 = 11$.
Всего таких чисел 11.
Ответ: 999896; всего 11 чисел.

78. Сравните величины и запишите ответ с помощью знака $>, <$ или $=:$

а) $980 \text{ см}$ и $10 \text{ м}$;

б) $100 \text{ см}$ и $1000 \text{ мм}$;

в) $15 \text{ м } 7 \text{ см}$ и $169 \text{ см}$;

г) $8 \text{ км}$ и $7 \text{ км } 900 \text{ м}$;

д) $2 \text{ кг}$ и $1950 \text{ г}$;

е) $25 \text{ т}$ и $19570 \text{ кг}$;

ж) $7 \text{ ц}$ и $712 \text{ кг}$;

з) $3 \text{ т } 2 \text{ ц}$ и $3200 \text{ кг}$.

а) Чтобы сравнить величины, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем метры (м) в сантиметры (см).
В одном метре 100 сантиметров, следовательно:
$10 \text{ м} = 10 \times 100 \text{ см} = 1000 \text{ см}$.
Теперь сравним 980 см и 1000 см.
Так как $980 < 1000$, то 980 см < 10 м.
Ответ: 980 см < 10 м.

б) Для сравнения приведем сантиметры (см) к миллиметрам (мм).
В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому:
$100 \text{ см} = 100 \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Сравниваем 1000 мм и 1000 мм.
Так как $1000 = 1000$, то 100 см = 1000 мм.
Ответ: 100 см = 1000 мм.

в) Чтобы сравнить величины, выразим 15 м 7 см в сантиметрах.
$15 \text{ м } 7 \text{ см} = 15 \times 100 \text{ см} + 7 \text{ см} = 1500 \text{ см} + 7 \text{ см} = 1507 \text{ см}$.
Теперь сравним 1507 см и 169 см.
Так как $1507 > 169$, то 15 м 7 см > 169 см.
Ответ: 15 м 7 см > 169 см.

г) Для сравнения приведем обе величины к метрам (м).
В одном километре (км) 1000 метров.
$8 \text{ км} = 8 \times 1000 \text{ м} = 8000 \text{ м}$.
$7 \text{ км } 900 \text{ м} = 7 \times 1000 \text{ м} + 900 \text{ м} = 7000 \text{ м} + 900 \text{ м} = 7900 \text{ м}$.
Сравниваем 8000 м и 7900 м.
Так как $8000 > 7900$, то 8 км > 7 км 900 м.
Ответ: 8 км > 7 км 900 м.

д) Чтобы сравнить величины, переведем килограммы (кг) в граммы (г).
В одном килограмме 1000 граммов.
$2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Сравниваем 2000 г и 1950 г.
Так как $2000 > 1950$, то 2 кг > 1950 г.
Ответ: 2 кг > 1950 г.

е) Для сравнения приведем тонны (т) к килограммам (кг).
В одной тонне 1000 килограммов.
$25 \text{ т} = 25 \times 1000 \text{ кг} = 25000 \text{ кг}$.
Сравниваем 25 000 кг и 19 570 кг.
Так как $25000 > 19570$, то 25 т > 19 570 кг.
Ответ: 25 т > 19 570 кг.

ж) Чтобы сравнить величины, переведем центнеры (ц) в килограммы (кг).
В одном центнере 100 килограммов.
$7 \text{ ц} = 7 \times 100 \text{ кг} = 700 \text{ кг}$.
Сравниваем 700 кг и 712 кг.
Так как $700 < 712$, то 7 ц < 712 кг.
Ответ: 7 ц < 712 кг.

з) Для сравнения приведем величину 3 т 2 ц к килограммам (кг).
В одной тонне (т) 1000 кг, а в одном центнере (ц) 100 кг.
$3 \text{ т } 2 \text{ ц} = 3 \times 1000 \text{ кг} + 2 \times 100 \text{ кг} = 3000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} = 3200 \text{ кг}$.
Сравниваем 3200 кг и 3200 кг.
Так как $3200 = 3200$, то 3 т 2 ц = 3200 кг.
Ответ: 3 т 2 ц = 3200 кг.

79 Сравните величины:

а) 7 ч и 700 мин;

б) 300 мин и 5 ч;

в) 270 с и 4 мин 7 с;

г) 3 ч 15 мин и 195 мин.

$1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

$1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

а) 7 ч и 700 мин
Чтобы сравнить эти две величины, приведем их к одной единице измерения — минутам. В одном часе 60 минут.
Переведем 7 часов в минуты: $7 \text{ ч} = 7 \times 60 \text{ мин} = 420 \text{ мин}$.
Теперь сравним полученное значение с 700 минутами:
$420 \text{ мин} < 700 \text{ мин}$.
Следовательно, $7 \text{ ч} < 700 \text{ мин}$.
Ответ: $7 \text{ ч} < 700 \text{ мин}$.

б) 300 мин и 5 ч
Чтобы сравнить эти две величины, приведем их к одной единице измерения. Переведем часы в минуты, зная, что в одном часе 60 минут.
Переведем 5 часов в минуты: $5 \text{ ч} = 5 \times 60 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$.
Теперь сравним полученное значение с 300 минутами:
$300 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$.
Следовательно, $300 \text{ мин} = 5 \text{ ч}$.
Ответ: $300 \text{ мин} = 5 \text{ ч}$.

в) 270 с и 4 мин 7 с
Чтобы сравнить эти две величины, приведем их к одной единице измерения — секундам. В одной минуте 60 секунд.
Переведем 4 мин 7 с в секунды:
$4 \text{ мин} = 4 \times 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$.
$4 \text{ мин} 7 \text{ с} = 240 \text{ с} + 7 \text{ с} = 247 \text{ с}$.
Теперь сравним 270 с и 247 с:
$270 \text{ с} > 247 \text{ с}$.
Следовательно, $270 \text{ с} > 4 \text{ мин} 7 \text{ с}$.
Ответ: $270 \text{ с} > 4 \text{ мин} 7 \text{ с}$.

г) 3 ч 15 мин и 195 мин
Чтобы сравнить эти две величины, приведем их к одной единице измерения — минутам. В одном часе 60 минут.
Переведем 3 ч 15 мин в минуты:
$3 \text{ ч} = 3 \times 60 \text{ мин} = 180 \text{ мин}$.
$3 \text{ ч} 15 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.
Теперь сравним полученное значение с 195 минутами:
$195 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.
Следовательно, $3 \text{ ч} 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.
Ответ: $3 \text{ ч} 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.

80 Найдите среди данных величин равные:

а) 7 км, 700 м, 7000 м, 70000 см;

б) 4 т, 40 кг, 400 кг, 4000 кг, 40000 г;

в) 2 ч, 200 мин, 120 мин, 12000 с, 7200 с.

а) Чтобы найти равные величины, необходимо привести все значения к одной единице измерения, например, к метрам (м). Для этого воспользуемся соотношениями: 1 км = 1000 м, 1 м = 100 см.

Выполним преобразования:

• 7 км = $7 \times 1000$ м = 7000 м.
• 700 м — значение уже представлено в метрах.
• 7000 м — значение уже представлено в метрах.
• 70000 см = $70000 \div 100$ м = 700 м.

Теперь сравним полученные значения в метрах: 7000 м, 700 м, 7000 м, 700 м.
Отсюда видно, что первая величина равна третьей, а вторая — четвертой.
Ответ: 7 км = 7000 м; 700 м = 70000 см.

б) Приведем все величины к одной единице измерения — килограммам (кг). Используем соотношения: 1 т = 1000 кг, 1 кг = 1000 г.

Выполним преобразования:

• 4 т = $4 \times 1000$ кг = 4000 кг.
• 40 кг — значение уже представлено в килограммах.
• 400 кг — значение уже представлено в килограммах.
• 4000 кг — значение уже представлено в килограммах.
• 40000 г = $40000 \div 1000$ кг = 40 кг.

Сравниваем полученные значения в килограммах: 4000 кг, 40 кг, 400 кг, 4000 кг, 40 кг.
Видно, что первая величина равна четвертой, а вторая — пятой.
Ответ: 4 т = 4000 кг; 40 кг = 40000 г.

в) Приведем все временные величины к одной единице измерения — секундам (с). Используем соотношения: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с. Отсюда 1 ч = $60 \times 60$ с = 3600 с.

Выполним преобразования:

• 2 ч = $2 \times 3600$ с = 7200 с.
• 200 мин = $200 \times 60$ с = 12000 с.
• 120 мин = $120 \times 60$ с = 7200 с.
• 12000 с — значение уже представлено в секундах.
• 7200 с — значение уже представлено в секундах.

Сравниваем полученные значения в секундах: 7200 с, 12000 с, 7200 с, 12000 с, 7200 с.
Видно, что первая, третья и пятая величины равны между собой. Также равны вторая и четвертая величины.
Ответ: 2 ч = 120 мин = 7200 с; 200 мин = 12000 с.