Страница 41 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

113 Сколько четырёхзначных чисел, заключённых в промежутке от 1000 до 2000, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4, используя каждую из них только один раз?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько четырёхзначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, можно сформировать. Условия следующие:

• Число должно быть четырёхзначным.
• Число должно находиться в промежутке от 1000 до 2000.
• Число должно состоять из цифр 1, 2, 3 и 4.
• Каждая из этих цифр должна использоваться ровно один раз.

Разобьём задачу на шаги, определяя возможные варианты для каждой цифры в числе.

1. Выбор первой цифры (разряд тысяч).
Поскольку искомое число должно быть в диапазоне от 1000 до 2000, его первая цифра может быть только 1. Если первая цифра будет 2 или больше, число превысит 2000. Таким образом, для первой позиции у нас есть только один вариант — цифра 1.

2. Выбор оставшихся трёх цифр.
После того как мы зафиксировали цифру 1 на первом месте, нам нужно расставить оставшиеся цифры {2, 3, 4} на трёх оставшихся позициях (сотни, десятки и единицы). Это задача на нахождение числа перестановок из трёх элементов.

• На позицию сотен можно поставить любую из трёх оставшихся цифр (2, 3 или 4). Это 3 варианта.
• После выбора цифры для сотен, на позицию десятков можно поставить любую из двух оставшихся цифр. Это 2 варианта.
• На последнюю позицию единиц остаётся только одна неиспользованная цифра. Это 1 вариант.

Общее количество комбинаций для этих трёх позиций находится перемножением числа вариантов на каждом шаге:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это соответствует формуле для числа перестановок из 3 элементов ($P_3$):

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, существует 6 различных чисел, удовлетворяющих всем условиям. Вот их полный список: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432.

Ответ: 6

114 Сколькими способами можно составить патруль из двух милиционеров, если на дежурство вышли трое: Быстров, Свистунов и Умнов?

Указание. Обозначьте милиционеров первыми буквами их фамилий.

Для решения задачи обозначим милиционеров первыми буквами их фамилий, как предложено в указании: Б — Быстров, С — Свистунов, У — Умнов.

Необходимо составить патруль из двух милиционеров. Поскольку порядок людей в патруле не имеет значения (патруль «Быстров и Свистунов» — это то же самое, что и патруль «Свистунов и Быстров»), задача сводится к нахождению числа сочетаний из трёх человек по двое.

Способ 1: Прямой перебор

Перечислим все возможные уникальные пары милиционеров, которые могут составить патруль:

1. Быстров и Свистунов (Б, С)
2. Быстров и Умнов (Б, У)
3. Свистунов и Умнов (С, У)

Таким образом, всего можно составить 3 различных патруля.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество милиционеров $n = 3$, а количество милиционеров в патруле $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 3 способами.

115 Из четырёх игр: шашки, лото, конструктор и «Эрудит» — надо выбрать две. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Для того чтобы найти количество способов выбора двух игр из четырех, необходимо вычислить число сочетаний, так как порядок, в котором выбираются игры, не имеет значения. То есть пара «шашки и лото» — это то же самое, что и «лото и шашки».

Способ 1: Прямой перебор всех возможных вариантов

Мы можем просто перечислить все уникальные пары игр, которые можно составить из четырех предложенных: шашки (Ш), лото (Л), конструктор (К) и «Эрудит» (Э).

• Шашки и Лото
• Шашки и Конструктор
• Шашки и Эрудит
• Лото и Конструктор
• Лото и Эрудит
• Конструктор и Эрудит

При подсчете мы получаем 6 различных пар. Таким образом, существует 6 способов выбрать две игры.

Ответ: 6.

Способ 2: Использование формулы числа сочетаний

В комбинаторике для нахождения количества сочетаний (неупорядоченных выборок) из $n$ элементов по $k$ используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче:

• $n = 4$ — общее количество игр.
• $k = 2$ — количество игр, которые нужно выбрать.

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Расчет по формуле также показывает, что существует 6 способов осуществить данный выбор.

Ответ: 6.

116 Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?

Указание. Присвойте книгам номера 1, 2, 3, 4 и 5.

Эта задача относится к разделу комбинаторики и требует найти число сочетаний из 5 элементов по 2. Порядок, в котором Саша выбирает книги, не имеет значения, поэтому мы ищем именно количество сочетаний, а не размещений.

Задачу можно решить двумя способами.

1. Метод перебора вариантов
Следуя указанию, пронумеруем пять книг: 1, 2, 3, 4, 5. Теперь systematically выпишем все возможные уникальные пары книг:
- С книгой 1: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5). Получаем 4 пары.
- С книгой 2 (пару с книгой 1 мы уже учли): (2, 3), (2, 4), (2, 5). Получаем 3 пары.
- С книгой 3 (пары с 1 и 2 уже учтены): (3, 4), (3, 5). Получаем 2 пары.
- С книгой 4 (осталась одна неучтенная пара): (4, 5). Получаем 1 пару.
Суммируем количество всех возможных пар: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

2. Использование формулы числа сочетаний
Количество сочетаний (способов выбора $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов) находится по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 5$ (общее количество книг)
$k = 2$ (количество книг, которое нужно выбрать)
Подставляем значения в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$
Расписываем факториалы и производим вычисления:
$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$.
Можно также сократить $3!$ в числителе и знаменателе:
$C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 10.

117 В школьной лотерее должно быть всего десять различных выигрышей. Есть ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Можно ли из этих предметов составить десять различных выигрышей, по два разных предмета в каждом?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных пар призов можно составить из имеющихся четырех видов предметов. В наличии есть: ручки, блокноты, записные книжки и альбомы для рисования. Всего 4 вида предметов. Каждый выигрыш должен состоять из двух разных предметов.

Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n$ — это общее количество видов предметов, а $k$ — количество предметов в одном выигрыше. Порядок предметов в паре не важен (ручка и блокнот — это тот же выигрыш, что и блокнот и ручка).

В данном случае общее количество видов предметов $n = 4$, а количество предметов в одном выигрыше $k = 2$.

Формула для расчета числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Следовательно, из четырех видов предметов можно составить всего 6 различных выигрышей, в каждом из которых по два разных предмета. Вот все возможные комбинации:

1. ручка + блокнот;

2. ручка + записная книжка;

3. ручка + альбом;

4. блокнот + записная книжка;

5. блокнот + альбом;

6. записная книжка + альбом.

Поскольку в лотерее должно быть десять различных выигрышей, а из имеющихся предметов можно составить только 6, то выполнить условие задачи невозможно.

Ответ: Нет, из этих предметов нельзя составить десять различных выигрышей, так как максимально возможное количество различных выигрышей, состоящих из двух разных предметов, равно 6.

118 Сколькими способами можно выбрать два разных цветка, если есть васильки, маки, ромашки и тюльпаны? Сколько получится пар, если их можно составлять и из двух одинаковых цветков?

Сколькими способами можно выбрать два разных цветка, если есть васильки, маки, ромашки и тюльпаны?
Для решения этой задачи нужно найти количество сочетаний из 4 видов цветов по 2. Порядок выбора цветов в паре не имеет значения (пара "василек и мак" — это то же самое, что и "мак и василек").
Используем формулу для числа сочетаний без повторений: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов (видов цветов), а $k$ — количество элементов в группе (цветов в паре).
В нашем случае $n = 4$ (васильки, маки, ромашки, тюльпаны), $k = 2$.
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Можно также просто перечислить все возможные пары разных цветков:
1. Василек и мак
2. Василек и ромашка
3. Василек и тюльпан
4. Мак и ромашка
5. Мак и тюльпан
6. Ромашка и тюльпан
Всего получается 6 различных пар.
Ответ: 6.

Сколько получится пар, если их можно составлять и из двух одинаковых цветков?
К 6 способам выбрать два разных цветка, найденным ранее, нужно добавить количество способов составить пару из двух одинаковых цветков. Так как у нас 4 вида цветов, то и пар из одинаковых цветков будет 4:
1. Василек и василек
2. Мак и мак
3. Ромашка и ромашка
4. Тюльпан и тюльпан
Теперь сложим количество пар из разных цветков и количество пар из одинаковых цветков:
$6 + 4 = 10$.
Эту задачу также можно решить с помощью формулы для числа сочетаний с повторениями: $\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k$.
$\bar{C}_4^2 = C_{4+2-1}^2 = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Всего получится 10 пар.
Ответ: 10.

119. В костюмерной имеются жёлтая и белая кофты, а также синяя, красная и чёрная юбки. Сколько из них можно составить различных костюмов?

Чтобы определить общее количество различных костюмов, которые можно составить, необходимо использовать правило умножения из комбинаторики. Согласно этому правилу, если один элемент можно выбрать $m$ способами, а другой элемент — $n$ способами, то пару этих элементов можно выбрать $m \times n$ способами.

В данной задаче костюм состоит из одной кофты и одной юбки.

1. Определим количество вариантов для выбора кофты. В условии дано 2 кофты: жёлтая и белая. Следовательно, есть 2 способа выбрать кофту.

2. Определим количество вариантов для выбора юбки. В условии дано 3 юбки: синяя, красная и чёрная. Следовательно, есть 3 способа выбрать юбку.

3. Теперь перемножим количество вариантов выбора кофты на количество вариантов выбора юбки, чтобы найти общее число возможных костюмов.

Количество костюмов = (Количество кофт) × (Количество юбок)
$2 \times 3 = 6$

Таким образом, можно составить 6 различных костюмов.
Ответ: 6

120 Имеются ручки четырёх цветов: красные, синие, зелёные, чёрные — и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов?

Для решения этой задачи необходимо использовать правило умножения из комбинаторики. Нам нужно составить набор из одного предмета первого типа (ручка) и одного предмета второго типа (записная книжка). Выбор ручки и выбор книжки являются независимыми событиями.

1. Определим количество вариантов для каждого выбора:

• Количество вариантов выбора ручки: 4 (красная, синяя, зелёная, чёрная).
• Количество вариантов выбора записной книжки: 2.

2. Чтобы найти общее число возможных наборов, нужно перемножить количество вариантов для каждого выбора.

Пусть $N_p$ — количество цветов ручек, а $N_k$ — количество видов записных книжек. Общее количество $N$ различных наборов можно найти по формуле:

$N = N_p \times N_k$

Подставим известные значения в формулу:

$N = 4 \times 2 = 8$

Таким образом, можно составить 8 различных наборов, состоящих из одной ручки и одной записной книжки.

Ответ: 8

121 Школьники из Волгограда решили на каникулах побывать в Нижнем Новгороде, а затем поехать в Москву. Сколькими различными способами могут ребята осуществить своё путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву — на самолёте, теплоходе, поезде или автобусе?

Данная задача решается с помощью правила умножения в комбинаторике. Путешествие школьников можно разделить на два независимых этапа.

Этап 1: Путешествие из Волгограда в Нижний Новгород.
Согласно условию, из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде. Таким образом, существует 2 различных способа для первого этапа путешествия. Обозначим количество способов для первого этапа как $N_1$: $N_1 = 2$

Этап 2: Путешествие из Нижнего Новгорода в Москву.
На втором этапе из Нижнего Новгорода в Москву можно поехать на самолёте, теплоходе, поезде или автобусе. Следовательно, для второго этапа путешествия существует 4 различных способа. Обозначим количество способов для второго этапа как $N_2$: $N_2 = 4$

Чтобы найти общее количество различных способов осуществить всё путешествие, нужно перемножить количество способов для каждого этапа. Общее число способов $N$ будет равно произведению $N_1$ и $N_2$: $N = N_1 \times N_2$ Подставим известные значения: $N = 2 \times 4 = 8$

Таким образом, существует 8 различных способов, которыми ребята могут осуществить своё путешествие. Ответ: 8.