Номер 116, страница 41 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

Глава 2. Натуральные числа. 8. Логика перебора при решении задач - номер 116, страница 41.

Условие.

116 Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?

Указание. Присвойте книгам номера 1, 2, 3, 4 и 5.

Решение 2.

Эта задача относится к разделу комбинаторики и требует найти число сочетаний из 5 элементов по 2. Порядок, в котором Саша выбирает книги, не имеет значения, поэтому мы ищем именно количество сочетаний, а не размещений.

Задачу можно решить двумя способами.

1. Метод перебора вариантов
Следуя указанию, пронумеруем пять книг: 1, 2, 3, 4, 5. Теперь systematically выпишем все возможные уникальные пары книг:
- С книгой 1: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5). Получаем 4 пары.
- С книгой 2 (пару с книгой 1 мы уже учли): (2, 3), (2, 4), (2, 5). Получаем 3 пары.
- С книгой 3 (пары с 1 и 2 уже учтены): (3, 4), (3, 5). Получаем 2 пары.
- С книгой 4 (осталась одна неучтенная пара): (4, 5). Получаем 1 пару.
Суммируем количество всех возможных пар: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

2. Использование формулы числа сочетаний
Количество сочетаний (способов выбора $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов) находится по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 5$ (общее количество книг)
$k = 2$ (количество книг, которое нужно выбрать)
Подставляем значения в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$
Расписываем факториалы и производим вычисления:
$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$.
Можно также сократить $3!$ в числителе и знаменателе:
$C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 10.