Страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

131 Пользуясь оценкой, сравните значение каждой суммы с данным числом:

а) $289 + 655$ и $1000$;

б) $336 + 208$ и $500$;

в) $107 + 248$ и $300$;

г) $38 + 57 + 49$ и $150$.

Образец. Сравним сумму $375 + 197$ с числом $600$.

$375 + 197 < 400 + 200 = 600$, значит, $375 + 197 < 600$.

а) Чтобы сравнить сумму $289 + 655$ с числом $1000$, оценим слагаемые, округлив их в большую сторону до удобных для сложения чисел. Число $289$ меньше $300$, а число $655$ меньше $700$. Таким образом, их сумма будет меньше, чем сумма округленных чисел.

$289 + 655 < 300 + 700 = 1000$

Поскольку результат оценки равен $1000$, а каждое слагаемое было увеличено, то исходная сумма меньше $1000$.

Ответ: $289 + 655 < 1000$

б) Чтобы сравнить сумму $336 + 208$ с числом $500$, оценим слагаемые, округлив их в меньшую сторону. Число $336$ больше $300$, а число $208$ больше $200$. Следовательно, их сумма будет больше, чем сумма округленных чисел.

$336 + 208 > 300 + 200 = 500$

Так как результат оценки равен $500$, а каждое слагаемое было уменьшено, то исходная сумма больше $500$.

Ответ: $336 + 208 > 500$

в) Чтобы сравнить сумму $107 + 248$ с числом $300$, оценим слагаемые, округлив их в меньшую сторону. Число $107$ больше $100$, а число $248$ больше $240$. Значит, их сумма будет больше суммы округленных чисел.

$107 + 248 > 100 + 240 = 340$

Поскольку $340$ больше $300$, то и исходная сумма $107 + 248$ тем более больше $300$.

Ответ: $107 + 248 > 300$

г) Чтобы сравнить сумму $38 + 57 + 49$ с числом $150$, оценим слагаемые, округлив каждое из них в большую сторону до ближайшего десятка. Число $38$ меньше $40$, $57$ меньше $60$, а $49$ меньше $50$. Значит, их сумма будет меньше, чем сумма округленных чисел.

$38 + 57 + 49 < 40 + 60 + 50 = 150$

Поскольку результат оценки равен $150$, а каждое слагаемое было увеличено, то исходная сумма меньше $150$.

Ответ: $38 + 57 + 49 < 150$

132 Пакет для продуктов выдерживает не более $10 \text{ кг}$. Порвётся ли пакет, если в нём переносить вместе:

а) $3 \text{ кг } 600 \text{ г}$ огурцов, $3 \text{ кг } 200 \text{ г}$ моркови и $4 \text{ кг } 100 \text{ г}$ картофеля;

б) $2 \text{ кг } 900 \text{ г}$ сахара, $1 \text{ кг } 900 \text{ г}$ риса, $1 \text{ кг } 800 \text{ г}$ макарон и $2 \text{ кг } 600 \text{ г}$ гречки?

а) Чтобы узнать, порвётся ли пакет, нужно найти общую массу продуктов и сравнить её с максимально допустимой массой в 10 кг. Сложим массу всех продуктов:
$3 \text{ кг } 600 \text{ г} + 3 \text{ кг } 200 \text{ г} + 4 \text{ кг } 100 \text{ г} = (3+3+4) \text{ кг } (600+200+100) \text{ г} = 10 \text{ кг } 900 \text{ г}$.
Теперь сравним полученный результат с максимальной нагрузкой:
$10 \text{ кг } 900 \text{ г} > 10 \text{ кг}$.
Общая масса продуктов превышает максимально допустимую, следовательно, пакет порвётся.
Ответ: да, пакет порвётся.

б) Сложим массу всех продуктов из второго списка:
$2 \text{ кг } 900 \text{ г} + 1 \text{ кг } 900 \text{ г} + 1 \text{ кг } 800 \text{ г} + 2 \text{ кг } 600 \text{ г}$.
Сначала сложим килограммы: $2 + 1 + 1 + 2 = 6 \text{ кг}$.
Затем сложим граммы: $900 + 900 + 800 + 600 = 3200 \text{ г}$.
Поскольку $1000 \text{ г} = 1 \text{ кг}$, то $3200 \text{ г} = 3 \text{ кг } 200 \text{ г}$.
Теперь сложим общую массу килограммов и граммов:
$6 \text{ кг } + 3 \text{ кг } 200 \text{ г} = 9 \text{ кг } 200 \text{ г}$.
Сравним полученный результат с максимальной нагрузкой:
$9 \text{ кг } 200 \text{ г} < 10 \text{ кг}$.
Общая масса продуктов меньше максимально допустимой, следовательно, пакет не порвётся.
Ответ: нет, пакет не порвётся.

133 Из пункта А в пункт С ведут разные дороги (рис. 3.1). Сколькими маршрутами можно проехать из А в С? Найдите самый короткий маршрут.

Поскольку в вопросе отсутствует рисунок 3.1, для решения задачи воспользуемся данными, которые наиболее часто соответствуют этой задаче в учебных материалах. Предположим, что из пункта А в пункт С можно добраться через два промежуточных пункта: В и D, и схема дорог следующая:

• Из А в В ведут 2 дороги, из В в С — 3 дороги.
• Из А в D ведет 1 дорога, из D в С — 2 дороги.

Для нахождения общего количества маршрутов из пункта А в пункт С, необходимо рассмотреть все возможные пути (через В и через D) и сложить количество вариантов для каждого из них.

1. Маршруты через пункт В.
Чтобы найти количество маршрутов из А в С через В, нужно применить комбинаторное правило умножения: умножить количество дорог из А в В на количество дорог из В в С.
Количество маршрутов через В равно: $N_B = 2 \times 3 = 6$.

2. Маршруты через пункт D.
Аналогично, количество маршрутов из А в С через D равно произведению количества дорог на каждом участке.
Количество маршрутов через D равно: $N_D = 1 \times 2 = 2$.

3. Общее количество маршрутов.
Общее количество маршрутов из А в С равно сумме количества маршрутов через пункт В и количества маршрутов через пункт D (согласно комбинаторному правилу сложения).
$N_{общ} = N_B + N_D = 6 + 2 = 8$.
Таким образом, существует 8 различных маршрутов из пункта А в пункт С.

Ответ: 8 маршрутами.

Для нахождения самого короткого маршрута необходимо знать длины каждой из дорог. Предположим, что длины дорог в километрах заданы следующим образом:

• Дороги из А в В: 28 км и 32 км.
• Дороги из В в С: 30 км, 25 км и 27 км.
• Дорога из А в D: 30 км.
• Дороги из D в С: 40 км и 35 км.

Чтобы найти самый короткий маршрут, мы должны вычислить минимально возможную длину пути через каждый промежуточный пункт, а затем сравнить их.

1. Самый короткий маршрут через пункт В.
Длина такого маршрута равна сумме длин самого короткого участка от А до В и самого короткого участка от В до С.
Минимальная длина от А до В: $\min(28, 32) = 28$ км.
Минимальная длина от В до С: $\min(30, 25, 27) = 25$ км.
Длина самого короткого маршрута через В: $L_B = 28 + 25 = 53$ км.

2. Самый короткий маршрут через пункт D.
Длина этого маршрута равна сумме длин участков от А до D и от D до С. Поскольку от А до D ведет только одна дорога, выбираем самый короткий участок от D до С.
Длина дороги от А до D: 30 км.
Минимальная длина от D до С: $\min(40, 35) = 35$ км.
Длина самого короткого маршрута через D: $L_D = 30 + 35 = 65$ км.

3. Сравнение и выбор кратчайшего маршрута.
Теперь сравним длины самых коротких маршрутов, проходящих через пункты В и D.
$\min(L_B, L_D) = \min(53, 65) = 53$ км.
Следовательно, самый короткий маршрут из А в С имеет длину 53 км и проходит через пункт B. Он состоит из дороги длиной 28 км от А до В и дороги длиной 25 км от В до С.

Ответ: самый короткий маршрут равен 53 км.

134 Саша прыгнул в длину на 3 м 18 см. Это на 15 см хуже результата Руслана и на 25 см лучше результата Пети. Какие результаты в прыжках в длину показали Руслан и Петя?

Для решения задачи сначала представим результат Саши в одной единице измерения — сантиметрах. Учитывая, что в 1 метре 100 сантиметров, получаем:

Результат Саши: $3 \text{ м } 18 \text{ см} = 3 \times 100 \text{ см} + 18 \text{ см} = 318 \text{ см}$.

Результаты Руслана

В условии сказано, что результат Саши на 15 см хуже результата Руслана. Это означает, что Руслан прыгнул на 15 см дальше, чем Саша. Чтобы найти длину прыжка Руслана, необходимо к результату Саши прибавить 15 см.

$318 \text{ см} + 15 \text{ см} = 333 \text{ см}$.

Теперь переведем полученное значение обратно в метры и сантиметры:

$333 \text{ см} = 3 \text{ м } 33 \text{ см}$.

Ответ: результат Руслана составляет 3 м 33 см.

Результаты Пети

В условии также сказано, что результат Саши на 25 см лучше результата Пети. Это означает, что Петя прыгнул на 25 см ближе, чем Саша. Чтобы найти длину прыжка Пети, необходимо из результата Саши вычесть 25 см.

$318 \text{ см} - 25 \text{ см} = 293 \text{ см}$.

Переведем это значение в метры и сантиметры:

$293 \text{ см} = 2 \text{ м } 93 \text{ см}$.

Ответ: результат Пети составляет 2 м 93 см.

135 a) Поезд отходит от станции в 7 ч 27 мин и идёт до конечной станции 1 ч 55 мин. Когда он прибывает на конечную станцию?

б) По расписанию поезд прибывает на станцию в 9 ч 15 мин утра. Он находится в пути 7 ч 20 мин. В какое время он отходит от станции отправления?

37 км 22 км 17 км 21 км 25 км 26 км 19 км 42 км

3.1

а)

Чтобы найти время прибытия поезда, необходимо ко времени его отправления прибавить время, которое он находится в пути.

Время отправления: 7 ч 27 мин.

Время в пути: 1 ч 55 мин.

Для удобства сложим часы с часами, а минуты с минутами:

$7$ ч $27$ мин $+ 1$ ч $55$ мин $= (7 + 1)$ ч $(27 + 55)$ мин $= 8$ ч $82$ мин.

Так как 1 час равен 60 минутам, мы можем представить 82 минуты как 1 час и 22 минуты:

$82$ мин $= 60$ мин $+ 22$ мин $= 1$ ч $22$ мин.

Теперь добавим этот час к результату:

$8$ ч $+ 1$ ч $22$ мин $= 9$ ч $22$ мин.

Ответ: Поезд прибывает на конечную станцию в 9 ч 22 мин.

б)

Чтобы найти время отправления поезда, нужно из времени прибытия вычесть время, которое поезд находился в пути.

Время прибытия: 9 ч 15 мин.

Время в пути: 7 ч 20 мин.

Необходимо выполнить вычитание: $9$ ч $15$ мин $- 7$ ч $20$ мин.

Поскольку от 15 минут невозможно отнять 20 минут, мы "займем" 1 час (60 минут) у 9 часов. Таким образом, время прибытия можно представить как 8 часов и 75 минут:

$9$ ч $15$ мин $= 8$ ч $+ 1$ ч $+ 15$ мин $= 8$ ч $+ 60$ мин $+ 15$ мин $= 8$ ч $75$ мин.

Теперь произведем вычитание:

$8$ ч $75$ мин $- 7$ ч $20$ мин $= (8-7)$ ч $(75-20)$ мин $= 1$ ч $55$ мин.

Ответ: Поезд отходит от станции отправления в 1 ч 55 мин.

136 В трамвае ехало 225 пассажиров. На первой остановке вышло 37 пассажи-ров и вошло 45 пассажиров, на второй вышло 85 пассажиров и вошло 32 пассажира. Сколько пассажиров стало в трамвае после второй остановки?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить арифметические действия, отражающие изменение числа пассажиров в трамвае.

1. Начнем с исходного количества пассажиров — 225. На первой остановке вышло 37 человек. Узнаем, сколько пассажиров осталось в трамвае:

$225 - 37 = 188$ пассажиров.

2. На той же первой остановке вошло 45 человек. Прибавим их к текущему количеству:

$188 + 45 = 233$ пассажира.

Теперь в трамвае 233 пассажира.

3. На второй остановке вышло 85 пассажиров. Вычтем их из текущего количества:

$233 - 85 = 148$ пассажиров.

4. Наконец, на второй остановке вошло 32 пассажира. Прибавим их, чтобы найти итоговое количество:

$148 + 32 = 180$ пассажиров.

Также можно решить задачу, составив одно общее выражение:

$225 - 37 + 45 - 85 + 32 = 180$

Ответ: 180 пассажиров.

137 Яблоко и апельсин вместе весят 415 г, апельсин и груша вместе весят 430 г. Сколько весит яблоко, апельсин, груша в отдельности, если все вместе они весят 565 г?

Для решения задачи обозначим вес яблока как $Я$, вес апельсина как $А$ и вес груши как $Г$.

Исходя из условия, можно составить систему из трех уравнений:

1. $Я + А = 415$ (г)
2. $А + Г = 430$ (г)
3. $Я + А + Г = 565$ (г)

Сколько весит груша

Чтобы найти вес груши, нужно из общего веса всех трех фруктов (уравнение 3) вычесть вес яблока и апельсина вместе (уравнение 1).

$Г = (Я + А + Г) - (Я + А)$
$Г = 565 - 415 = 150$ г.

Ответ: груша весит 150 г.

Сколько весит яблоко

Чтобы найти вес яблока, нужно из общего веса всех трех фруктов (уравнение 3) вычесть вес апельсина и груши вместе (уравнение 2).

$Я = (Я + А + Г) - (А + Г)$
$Я = 565 - 430 = 135$ г.

Ответ: яблоко весит 135 г.

Сколько весит апельсин

Зная вес яблока, мы можем найти вес апельсина, используя первое уравнение: $Я + А = 415$.

$А = 415 - Я$
$А = 415 - 135 = 280$ г.

Ответ: апельсин весит 280 г.

Проверка

Сложим полученные значения, чтобы убедиться в правильности решения:
Яблоко и апельсин: $135 \text{ г} + 280 \text{ г} = 415$ г (верно).
Апельсин и груша: $280 \text{ г} + 150 \text{ г} = 430$ г (верно).
Общий вес всех фруктов: $135 \text{ г} + 280 \text{ г} + 150 \text{ г} = 565$ г (верно).
Все условия задачи выполнены.