Страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

155 Найдите значение выражения:

а) $734 + 2586 - 1090 + 175;$

б) $6400 : 16 \cdot 50 : 125;$

в) $408 \cdot 26 + 37 \cdot 15;$

г) $819 - 735 : 21 + 206.$

а)

Для нахождения значения выражения $734 + 2586 - 1090 + 175$ необходимо выполнить действия сложения и вычитания в порядке их следования, слева направо.

1) Первое действие — сложение: $734 + 2586 = 3320$.

2) Второе действие — вычитание: $3320 - 1090 = 2230$.

3) Третье действие — сложение: $2230 + 175 = 2405$.

Ответ: 2405

б)

Для нахождения значения выражения $6400 : 16 \cdot 50 : 125$ необходимо выполнить действия умножения и деления в порядке их следования, слева направо.

1) Первое действие — деление: $6400 : 16 = 400$.

2) Второе действие — умножение: $400 \cdot 50 = 20000$.

3) Третье действие — деление: $20000 : 125 = 160$.

Ответ: 160

в)

В выражении $408 \cdot 26 + 37 \cdot 15$ согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняются действия умножения, а затем — сложение.

1) Первое действие — умножение: $408 \cdot 26 = 10608$.

2) Второе действие — умножение: $37 \cdot 15 = 555$.

3) Третье действие — сложение полученных результатов: $10608 + 555 = 11163$.

Ответ: 11163

г)

В выражении $819 - 735 : 21 + 206$ согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняется деление, а затем вычитание и сложение в порядке их следования.

1) Первое действие — деление: $735 : 21 = 35$.

2) Второе действие — вычитание: $819 - 35 = 784$.

3) Третье действие — сложение: $784 + 206 = 990$.

Ответ: 990

156 Укажите порядок действий и выполните вычисления:

а) $15 + 15 \cdot 10 – 10;$

б) $(15 + 15) \cdot 10 – 10;$

в) $(15 + 15) \cdot (10 – 10);$

г) $15 + 15 \cdot (10 – 10).$

Чем различаются эти выражения?

а) $15 + 15 \cdot 10 - 10$
Порядок действий: сначала выполняется умножение, затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо).
1) $15 \cdot 10 = 150$
2) $15 + 150 = 165$
3) $165 - 10 = 155$
Ответ: 155

б) $(15 + 15) \cdot 10 - 10$
Порядок действий: сначала выполняется действие в скобках (сложение), затем умножение и в конце вычитание.
1) $15 + 15 = 30$
2) $30 \cdot 10 = 300$
3) $300 - 10 = 290$
Ответ: 290

в) $(15 + 15) \cdot (10 - 10)$
Порядок действий: сначала выполняются действия в каждой из скобок, затем результат первого действия умножается на результат второго.
1) $15 + 15 = 30$
2) $10 - 10 = 0$
3) $30 \cdot 0 = 0$
Ответ: 0

г) $15 + 15 \cdot (10 - 10)$
Порядок действий: сначала выполняется действие в скобках (вычитание), затем умножение и в конце сложение.
1) $10 - 10 = 0$
2) $15 \cdot 0 = 0$
3) $15 + 0 = 15$
Ответ: 15

Чем различаются эти выражения?

Эти выражения различаются порядком действий. Все они состоят из одних и тех же чисел ($15, 15, 10, 10$) и одних и тех же арифметических операций (сложение, умножение, вычитание). Однако наличие и расположение скобок меняет стандартный порядок вычислений. Действия в скобках выполняются в первую очередь. Из-за разного порядка действий, установленного скобками, результаты всех четырех выражений получаются различными.

157 В каком случае неправильно указан порядок действий?

1) $12 \stackrel{1}{\cdot} 24 \stackrel{3}{+} 72 \stackrel{2}{:} 4$

2) $17 \stackrel{2}{\cdot} 85 \stackrel{3}{-} (63 \stackrel{1}{-} 29)$

3) $27 \stackrel{3}{+} (58 \stackrel{1}{-} 7) \stackrel{2}{\cdot} 6$

4) $100 \stackrel{3}{-} (25 \stackrel{1}{+} 90 \stackrel{2}{:} 5)$

Для определения правильности указанного порядка действий необходимо руководствоваться правилами выполнения арифметических операций. Порядок следующий:

1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление (выполняются в порядке их следования, слева направо).
3. Сложение и вычитание (выполняются в порядке их следования, слева направо).

Проверим каждый случай.

1) В выражении $12 \cdot 24 + 72 : 4$ указан следующий порядок действий: 1. умножение ($12 \cdot 24$), 2. деление ($72 : 4$), 3. сложение. В данном выражении нет скобок. Действия умножения и деления имеют более высокий приоритет, чем сложение, и выполняются первыми. Так как они равнозначны, их выполняют по порядку слева направо. Сначала умножение, затем деление. Последним действием выполняется сложение. Указанный порядок является верным.

Ответ: порядок действий указан верно.

2) В выражении $17 \cdot 85 - (63 - 29)$ указан следующий порядок действий: 1. вычитание в скобках ($63 - 29$), 2. умножение ($17 \cdot 85$), 3. вычитание. Согласно правилам, первым выполняется действие в скобках. Затем выполняется умножение, так как оно имеет приоритет над вычитанием. Последним действием выполняется вычитание. Указанный порядок является верным.

Ответ: порядок действий указан верно.

3) В выражении $27 + (58 - 7) \cdot 6$ указан следующий порядок действий: 1. вычитание в скобках ($58 - 7$), 2. умножение, 3. сложение. Сначала выполняется действие в скобках. Затем выполняется умножение, так как оно имеет приоритет над сложением. Последним действием выполняется сложение. Указанный порядок является верным.

Ответ: порядок действий указан верно.

4) В выражении $100 - (25 + 90 : 5)$ указан следующий порядок действий: 1. сложение в скобках ($25 + 90$), 2. деление в скобках, 3. вычитание. Первым шагом нужно выполнить действия в скобках. Внутри скобок находятся сложение и деление. По правилам, деление имеет более высокий приоритет и должно выполняться перед сложением. Таким образом, правильный порядок действий внутри скобок: сначала деление ($90 : 5$), а затем сложение. Указанный порядок, в котором сложение выполняется первым, является неверным.

Ответ: порядок действий указан неверно.

Вычислите (устно):

a) $(61 - 61) \div 240 + (105 - 104) \cdot 218;$

б) $((54 + 8) \div (79 - 78) - 60) \cdot (203 - 203).$

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание.

1. Вычислим значение первого выражения в скобках: $61 - 61 = 0$.

2. Вычислим значение второго выражения в скобках: $105 - 104 = 1$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $0 : 240 + 1 \cdot 218$.

4. Выполним деление: $0 : 240 = 0$.

5. Выполним умножение: $1 \cdot 218 = 218$.

6. Выполним сложение: $0 + 218 = 218$.

Ответ: 218

В данном примере можно сразу обратить внимание на последний множитель.

1. Вычислим значение выражения в последних скобках: $203 - 203 = 0$.

2. Всё выражение представляет собой произведение двух множителей: $((54 + 8) : (79 - 78) - 60)$ и $0$.

3. Так как при умножении любого числа на ноль в результате получается ноль, то результат всего выражения равен нулю.

Для проверки выполним все действия по порядку:

1. Выполним действия во внутренних скобках:
$54 + 8 = 62$
$79 - 78 = 1$

2. Подставим полученные значения в выражение, оно примет вид: $(62 : 1 - 60) \cdot (203 - 203)$.

3. Выполним действия в первых скобках (сначала деление, затем вычитание):
$62 : 1 = 62$
$62 - 60 = 2$

4. Теперь выражение выглядит так: $2 \cdot (203 - 203)$.

5. Вычислим значение в оставшихся скобках: $203 - 203 = 0$.

6. Выполним финальное умножение: $2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

159 Выполните действия:

а) $703 - 21 \cdot (361 - 349)$;

б) $2346 \div (209 - 186) \cdot 15$;

в) $77 \cdot (452 - 348) - 99$;

г) $874 - (27 \cdot 90 - 1999)$.

а) $703 - 21 \cdot (361 - 349)$
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.
1. Выполним действие в скобках: $361 - 349 = 12$.
2. Далее выполним умножение: $21 \cdot 12 = 252$.
3. Последним действием выполним вычитание: $703 - 252 = 451$.
Ответ: 451

б) $2346 : (209 - 186) \cdot 15$
Сначала выполняем действие в скобках, затем деление и умножение в порядке их следования слева направо.
1. Выполним действие в скобках: $209 - 186 = 23$.
2. Выполним деление: $2346 : 23 = 102$.
3. Выполним умножение: $102 \cdot 15 = 1530$.
Ответ: 1530

в) $77 \cdot (452 - 348) - 99$
Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Выполним действие в скобках: $452 - 348 = 104$.
2. Далее выполним умножение: $77 \cdot 104 = 8008$.
3. Последним действием выполним вычитание: $8008 - 99 = 7909$.
Ответ: 7909

г) $874 - (27 \cdot 90 - 1999)$
Сначала выполняем действия в скобках, начиная с умножения, затем вычитание. Последним действием будет вычитание за скобками.
1. Выполним умножение в скобках: $27 \cdot 90 = 2430$.
2. Выполним вычитание в скобках: $2430 - 1999 = 431$.
3. Последним действием выполним вычитание: $874 - 431 = 443$.
Ответ: 443

160 Найдите значение выражения:

a) $ (410 + 96) \cdot (1010 - 31248 : 62) - 170 \cdot 1500; $

б) $ (18 \cdot 331 - (46348 + 67892) : 21) : 14 + 143 \cdot 26. $

а) $(410 + 96) \cdot (1010 - 31248 : 62) - 170 \cdot 1500$

Для нахождения значения выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках (в них в первую очередь деление, затем вычитание), затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание.

1. Вычислим сумму в первых скобках:
$410 + 96 = 506$

2. Вычислим значение во вторых скобках. Сначала выполним деление:
$31248 : 62 = 504$
Теперь выполним вычитание:
$1010 - 504 = 506$

3. Выражение принимает вид:
$506 \cdot 506 - 170 \cdot 1500$

4. Теперь выполним умножения слева направо:
$506 \cdot 506 = 256036$
$170 \cdot 1500 = 255000$

5. Выполним последнее действие — вычитание:
$256036 - 255000 = 1036$

Ответ: 1036

б) $(18 \cdot 331 - (46348 + 67892) : 21) : 14 + 143 \cdot 26$

Сначала выполняются действия в самых внутренних скобках, затем действия в наружных скобках (умножение и деление, затем вычитание). После этого выполняются оставшиеся деление, умножение и сложение слева направо.

1. Выполним сложение во внутренних скобках:
$46348 + 67892 = 114240$

2. Подставим результат в выражение:
$(18 \cdot 331 - 114240 : 21) : 14 + 143 \cdot 26$

3. Выполним умножение и деление внутри скобок:
$18 \cdot 331 = 5958$
$114240 : 21 = 5440$

4. Выполним вычитание внутри скобок:
$5958 - 5440 = 518$

5. Выражение принимает вид:
$518 : 14 + 143 \cdot 26$

6. Выполним деление и умножение:
$518 : 14 = 37$
$143 \cdot 26 = 3718$

7. Выполним сложение:
$37 + 3718 = 3755$

Ответ: 3755

161 Запишите выражение и найдите его значение:

а) сумма произведения 24 и 11 и частного 96 и 3; $ (24 \times 11) + (96 \div 3) $

б) разность числа 510 и суммы чисел 236 и 128. $ 510 - (236 + 128) $

а)

Сначала запишем выражение, соответствующее условию "сумма произведения 24 и 11 и частного 96 и 3".

Произведение чисел 24 и 11 записывается как $24 \cdot 11$.

Частное чисел 96 и 3 записывается как $96 : 3$.

Сумма этих двух результатов будет выглядеть так: $24 \cdot 11 + 96 : 3$.

Теперь вычислим значение этого выражения, следуя порядку действий. Сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение.

1) Выполним умножение: $24 \cdot 11 = 264$.

2) Выполним деление: $96 : 3 = 32$.

3) Выполним сложение: $264 + 32 = 296$.

Таким образом, $24 \cdot 11 + 96 : 3 = 264 + 32 = 296$.

Ответ: 296.

б)

Запишем выражение для "разности числа 510 и суммы чисел 236 и 128".

Сумма чисел 236 и 128 записывается как $236 + 128$.

Разность числа 510 и этой суммы будет выглядеть так: $510 - (236 + 128)$. Скобки необходимы, чтобы показать, что вычитается вся сумма.

Теперь вычислим значение этого выражения. Согласно порядку действий, сначала выполняется операция в скобках.

1) Найдем сумму в скобках: $236 + 128 = 364$.

2) Выполним вычитание: $510 - 364 = 146$.

Таким образом, $510 - (236 + 128) = 510 - 364 = 146$.

Ответ: 146.

162 Упростите выражение, сняв скобки, которые можно не ставить, а затем найдите его значение:

а) $(12 \cdot 15) + (124 : 4);$

б) $(36 + 15) - (75 - 39);$

в) $120 - ((13 \cdot 4) + 8);$

г) $((((144 - 10) - 10) - 10) - 10.$

а) В выражении $(12 \cdot 15) + (124 : 4)$ скобки можно опустить, так как по правилам порядка выполнения действий умножение и деление выполняются раньше сложения. Упрощенное выражение выглядит так: $12 \cdot 15 + 124 : 4$.
Найдем его значение по действиям:
1) $12 \cdot 15 = 180$
2) $124 : 4 = 31$
3) $180 + 31 = 211$
Ответ: 211

б) В выражении $(36 + 15) – (75 – 39)$ можно убрать скобки вокруг первого действия $(36 + 15)$, так как оно стоит в начале выражения. Вторые скобки $(75 – 39)$ убирать нельзя, так как они изменяют порядок действий (вычитание из результата первого действия результата второго). Упрощенное выражение: $36 + 15 – (75 – 39)$.
Вычислим значение по действиям:
1) $36 + 15 = 51$
2) $75 – 39 = 36$
3) $51 – 36 = 15$
Ответ: 15

в) В выражении $120 – ((13 \cdot 4) + 8)$ можно снять внутренние скобки $(13 \cdot 4)$, так как умножение по правилам и так выполняется раньше сложения. Внешние скобки необходимы, так как они определяют порядок вычитания. Упрощенное выражение: $120 – (13 \cdot 4 + 8)$.
Найдем значение выражения по действиям:
1) Сначала выполняем действия в скобках: $13 \cdot 4 = 52$
2) $52 + 8 = 60$
3) Затем выполняем вычитание: $120 – 60 = 60$
Ответ: 60

г) В выражении $(((144 – 10) – 10) – 10) – 10$ все скобки можно опустить. Поскольку в выражении используется только вычитание, действия выполняются последовательно слева направо, и скобки не меняют этот порядок. Упрощенное выражение: $144 – 10 – 10 – 10 – 10$.
Вычислим значение, выполняя вычитание по порядку:
1) $144 – 10 = 134$
2) $134 – 10 = 124$
3) $124 – 10 = 114$
4) $114 – 10 = 104$
Ответ: 104

163 Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении $25 + 7 \cdot 3 - 2$ и в каждом случае найдите значение полученного выражения.

В исходном выражении используются три знака действий: сложение ($+$), умножение ($\cdot$) и вычитание ($-$). Числа 25, 7, 3, 2 остаются на своих местах. Количество всех возможных перестановок этих знаков равно $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Найдем значения выражений для каждой из перестановок, соблюдая правильный порядок действий (сначала выполняются умножение и деление, затем сложение и вычитание слева направо).

1. Знаки: +, ·, -
Выражение: $25 + 7 \cdot 3 - 2$.
1) Выполняем умножение: $7 \cdot 3 = 21$.
2) Далее выполняем сложение и вычитание по порядку: $25 + 21 - 2 = 46 - 2 = 44$.
Ответ: 44

2. Знаки: +, -, ·
Выражение: $25 + 7 - 3 \cdot 2$.
1) Выполняем умножение: $3 \cdot 2 = 6$.
2) Далее выполняем сложение и вычитание по порядку: $25 + 7 - 6 = 32 - 6 = 26$.
Ответ: 26

3. Знаки: ·, +, -
Выражение: $25 \cdot 7 + 3 - 2$.
1) Выполняем умножение: $25 \cdot 7 = 175$.
2) Далее выполняем сложение и вычитание по порядку: $175 + 3 - 2 = 178 - 2 = 176$.
Ответ: 176

4. Знаки: ·, -, +
Выражение: $25 \cdot 7 - 3 + 2$.
1) Выполняем умножение: $25 \cdot 7 = 175$.
2) Далее выполняем вычитание и сложение по порядку: $175 - 3 + 2 = 172 + 2 = 174$.
Ответ: 174

5. Знаки: -, +, ·
Выражение: $25 - 7 + 3 \cdot 2$.
1) Выполняем умножение: $3 \cdot 2 = 6$.
2) Далее выполняем вычитание и сложение по порядку: $25 - 7 + 6 = 18 + 6 = 24$.
Ответ: 24

6. Знаки: -, ·, +
Выражение: $25 - 7 \cdot 3 + 2$.
1) Выполняем умножение: $7 \cdot 3 = 21$.
2) Далее выполняем вычитание и сложение по порядку: $25 - 21 + 2 = 4 + 2 = 6$.
Ответ: 6

164 В выражении $3 \cdot 3 + 3 : 3 - 3$ расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число:

а) 3;

б) 9;

в) 1.

Исходное выражение: $3 \cdot 3 + 3 : 3 - 3$.

Без скобок, согласно порядку выполнения действий (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание), результат будет:

$3 \cdot 3 + 3 : 3 - 3 = 9 + 1 - 3 = 7$.

Чтобы получить другие результаты, необходимо изменить порядок действий с помощью скобок.

а) Чтобы в результате получилось число 3, необходимо расставить скобки следующим образом:

$3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках: $3 + 3 = 6$.

2. Затем выполняем умножение: $3 \cdot 6 = 18$.

3. Далее выполняем деление: $18 : 3 = 6$.

4. В конце выполняем вычитание: $6 - 3 = 3$.

Результат верный.

Ответ: $3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3 = 3$.

б) Чтобы в результате получилось число 9, необходимо расставить скобки следующим образом:

$3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках. Внутри скобок первым выполняется деление: $3 : 3 = 1$.

2. Затем выполняем сложение в скобках: $3 + 1 = 4$.

3. Далее выполняем умножение: $3 \cdot 4 = 12$.

4. В конце выполняем вычитание: $12 - 3 = 9$.

Результат верный.

Ответ: $3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3 = 9$.

в) Чтобы в результате получилось число 1, необходимо расставить скобки следующим образом:

$(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках. Внутри скобок первым выполняется умножение: $3 \cdot 3 = 9$.

2. Затем выполняем сложение в скобках: $9 + 3 = 12$.

3. Далее выполняем деление: $12 : 3 = 4$.

4. В конце выполняем вычитание: $4 - 3 = 1$.

Результат верный.

Ответ: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3 = 1$.