Страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

186 Используя таблицу (с. 56), прочитайте числа:

а) $1000000$; $23000000$; $100000000$;

б) $1000000000$; $5000000000$;

в) $100000000000$; $1800000000000$.

Чтобы прочитать большие числа, их разбивают на классы, по три цифры в каждом, двигаясь справа налево. Первый класс (справа) — класс единиц, второй — класс тысяч, третий — класс миллионов, четвертый — класс миллиардов, пятый — класс триллионов и так далее. Затем число читают слева направо, называя количество единиц каждого класса и добавляя название этого класса.

а)

Число $1000000$ можно представить как $1 \ 000 \ 000$. Здесь 1 единица в классе миллионов, а в остальных классах нули. Читается как: один миллион.
Число $23000000$ можно представить как $23 \ 000 \ 000$. Здесь 23 единицы в классе миллионов. Читается как: двадцать три миллиона.
Число $100000000$ можно представить как $100 \ 000 \ 000$. Здесь 100 единиц в классе миллионов. Читается как: сто миллионов.
Ответ: один миллион; двадцать три миллиона; сто миллионов.

б)

Число $1000000000$ можно представить как $1 \ 000 \ 000 \ 000$. Здесь 1 единица в классе миллиардов. Читается как: один миллиард.
Число $5000000000$ можно представить как $5 \ 000 \ 000 \ 000$. Здесь 5 единиц в классе миллиардов. Читается как: пять миллиардов.
Ответ: один миллиард; пять миллиардов.

в)

Число $1000000000000$ можно представить как $1 \ 000 \ 000 \ 000 \ 000$. Здесь 1 единица в классе триллионов. Читается как: один триллион.
Число $1800000000000$ можно представить как $1 \ 800 \ 000 \ 000 \ 000$. Здесь 1 единица в классе триллионов и 800 единиц в классе миллиардов. Читается как: один триллион восемьсот миллиардов.
Ответ: один триллион; один триллион восемьсот миллиардов.

187 Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых с помощью сте-пеней числа 10:

а) 531;

б) 4267;

в) 608;

г) 4051.

Образец. $356 = 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 6.$

а) Число 531 состоит из 5 сотен, 3 десятков и 1 единицы. Чтобы представить его в виде суммы разрядных слагаемых с помощью степеней числа 10, разложим его следующим образом:
$531 = 500 + 30 + 1 = 5 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1 = 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 1$.
Ответ: $531 = 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 1$.

б) Число 4267 состоит из 4 тысяч, 2 сотен, 6 десятков и 7 единиц. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых с помощью степеней числа 10:
$4267 = 4000 + 200 + 60 + 7 = 4 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 7 = 4 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10 + 7$.
Ответ: $4267 = 4 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10 + 7$.

в) Число 608 состоит из 6 сотен и 8 единиц. Разряд десятков равен нулю, поэтому он не будет включен в сумму. Представим число в виде суммы разрядных слагаемых:
$608 = 600 + 8 = 6 \cdot 100 + 8 = 6 \cdot 10^2 + 8$.
Ответ: $608 = 6 \cdot 10^2 + 8$.

г) Число 4051 состоит из 4 тысяч, 5 десятков и 1 единицы. Разряд сотен равен нулю, поэтому он не будет включен в сумму. Представим число в виде суммы разрядных слагаемых:
$4051 = 4000 + 50 + 1 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 10 + 1 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10 + 1$.
Ответ: $4051 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10 + 1$.

188 Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $2 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 8;$

б) $7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 1;$

в) $9 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 3;$

г) $4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 4.$

а)

Чтобы записать число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых $2 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 8$, нужно вычислить значение каждого слагаемого и сложить их. Каждое слагаемое представляет собой произведение цифры на её разрядную единицу.

1. Слагаемое $2 \cdot 10^3$ представляет разряд тысяч: $2 \cdot 1000 = 2000$. Это означает, что в разряде тысяч стоит цифра 2.

2. Слагаемое $4 \cdot 10^2$ представляет разряд сотен: $4 \cdot 100 = 400$. В разряде сотен стоит цифра 4.

3. Слагаемое $5 \cdot 10$ представляет разряд десятков: $5 \cdot 10 = 50$. В разряде десятков стоит цифра 5.

4. Слагаемое 8 представляет разряд единиц. В разряде единиц стоит цифра 8.

Сложим полученные значения: $2000 + 400 + 50 + 8 = 2458$.

Таким образом, искомое число состоит из цифр 2, 4, 5 и 8, записанных в порядке убывания разрядов.

Ответ: 2458.

б)

Рассмотрим сумму разрядных слагаемых $7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 1$.

1. Слагаемое $7 \cdot 10^3$ соответствует разряду тысяч: $7 \cdot 1000 = 7000$. Цифра тысяч – 7.

2. Слагаемое $2 \cdot 10^2$ соответствует разряду сотен: $2 \cdot 100 = 200$. Цифра сотен – 2.

3. Слагаемое $0 \cdot 10$ соответствует разряду десятков: $0 \cdot 10 = 0$. Цифра десятков – 0.

4. Слагаемое 1 соответствует разряду единиц. Цифра единиц – 1.

Суммируем значения: $7000 + 200 + 0 + 1 = 7201$.

Число состоит из цифр 7, 2, 0, 1, записанных последовательно.

Ответ: 7201.

в)

Рассмотрим сумму разрядных слагаемых $9 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 3$.

1. Слагаемое $9 \cdot 10^2$ представляет разряд сотен: $9 \cdot 100 = 900$. Цифра в разряде сотен – 9.

2. Слагаемое $3 \cdot 10$ представляет разряд десятков: $3 \cdot 10 = 30$. Цифра в разряде десятков – 3.

3. Слагаемое 3 представляет разряд единиц. Цифра в разряде единиц – 3.

Складываем полученные значения: $900 + 30 + 3 = 933$.

Так как старший разряд – сотни (определяется по наивысшей степени десятки, то есть $10^2$), число является трехзначным.

Ответ: 933.

г)

Рассмотрим сумму разрядных слагаемых $4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 4$.

1. Слагаемое $4 \cdot 10^3$ соответствует разряду тысяч: $4 \cdot 1000 = 4000$. Цифра тысяч – 4.

2. Слагаемое $1 \cdot 10^2$ соответствует разряду сотен: $1 \cdot 100 = 100$. Цифра сотен – 1.

3. Слагаемое $1 \cdot 10$ соответствует разряду десятков: $1 \cdot 10 = 10$. Цифра десятков – 1.

4. Слагаемое 4 соответствует разряду единиц. Цифра единиц – 4.

Сложим значения: $4000 + 100 + 10 + 4 = 4114$.

Число состоит из цифр 4, 1, 1, 4.

Ответ: 4114.

189 Вычислите:

а) $231 + 12^2;$

б) $(9 + 17)^2;$

в) $312 - 17^2;$

г) $(914 - 896)^2;$

д) $18^2 + 12^2;$

е) $10^3 + 10^2.$

а) Чтобы найти значение выражения $231 + 12^2$, необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется возведение в степень, а затем сложение.

1. Возводим 12 в квадрат: $12^2 = 12 \times 12 = 144$.

2. Складываем полученный результат с 231: $231 + 144 = 375$.

Таким образом, $231 + 12^2 = 231 + 144 = 375$.
Ответ: 375

б) В выражении $(9 + 17)^2$ сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Находим сумму в скобках: $9 + 17 = 26$.

2. Возводим полученный результат в квадрат: $26^2 = 26 \times 26 = 676$.

Таким образом, $(9 + 17)^2 = 26^2 = 676$.
Ответ: 676

в) Чтобы найти значение выражения $312 - 17^2$, сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.

1. Возводим 17 в квадрат: $17^2 = 17 \times 17 = 289$.

2. Вычитаем полученный результат из 312: $312 - 289 = 23$.

Таким образом, $312 - 17^2 = 312 - 289 = 23$.
Ответ: 23

г) В выражении $(914 - 896)^2$ сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Находим разность в скобках: $914 - 896 = 18$.

2. Возводим полученный результат в квадрат: $18^2 = 18 \times 18 = 324$.

Таким образом, $(914 - 896)^2 = 18^2 = 324$.
Ответ: 324

д) В выражении $18^2 + 12^2$ сначала выполняется возведение в степень для каждого слагаемого, а затем сложение.

1. Возводим 18 в квадрат: $18^2 = 18 \times 18 = 324$.

2. Возводим 12 в квадрат: $12^2 = 12 \times 12 = 144$.

3. Складываем полученные результаты: $324 + 144 = 468$.

Таким образом, $18^2 + 12^2 = 324 + 144 = 468$.
Ответ: 468

е) В выражении $10^3 + 10^2$ сначала выполняется возведение в степень для каждого слагаемого, а затем сложение.

1. Возводим 10 в куб: $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.

2. Возводим 10 в квадрат: $10^2 = 10 \times 10 = 100$.

3. Складываем полученные результаты: $1000 + 100 = 1100$.

Таким образом, $10^3 + 10^2 = 1000 + 100 = 1100$.
Ответ: 1100

190 Найдите значения выражений:

а) $2 \cdot 10^3$ и $(2 \cdot 10)^3$;

б) $3 \cdot 2^2$ и $(3 \cdot 2)^2$;

в) $2 \cdot 5^3$ и $(2 \cdot 5)^3$;

г) $12 : 2^2$ и $(12 : 2)^2$.

а)

Для первого выражения $2 \cdot 10^3$ сначала вычисляем степень, а затем умножение. Порядок действий предписывает сначала возведение в степень, а затем умножение и деление.

1. $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

2. $2 \cdot 1000 = 2000$

Для второго выражения $(2 \cdot 10)^3$ сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим в степень.

1. $2 \cdot 10 = 20$

2. $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$

Ответ: 2000 и 8000.

б)

Для первого выражения $3 \cdot 2^2$ сначала вычисляем степень, а затем умножение.

1. $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

2. $3 \cdot 4 = 12$

Для второго выражения $(3 \cdot 2)^2$ сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим в степень.

1. $3 \cdot 2 = 6$

2. $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$

Ответ: 12 и 36.

в)

Для первого выражения $2 \cdot 5^3$ сначала вычисляем степень, а затем умножение.

1. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

2. $2 \cdot 125 = 250$

Для второго выражения $(2 \cdot 5)^3$ сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим в степень.

1. $2 \cdot 5 = 10$

2. $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Ответ: 250 и 1000.

г)

Для первого выражения $12 : 2^2$ сначала вычисляем степень, а затем деление.

1. $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

2. $12 : 4 = 3$

Для второго выражения $(12 : 2)^2$ сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим в степень.

1. $12 : 2 = 6$

2. $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$

Ответ: 3 и 36.

191 Найдите значение выражения:

а) $3 \cdot 12 \cdot 5^2;$

б) $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2;$

в) $704 : 8^2;$

г) $(96 : 24)^3;$

д) $2^2 \cdot 7^2;$

е) $3^2 \cdot 5^3.$

а) Чтобы найти значение выражения $3 \cdot 12 \cdot 5^2$, сначала вычислим степень, а затем выполним умножение в удобном порядке.
$5^2 = 25$.
Теперь выражение выглядит так: $3 \cdot 12 \cdot 25$.
Удобнее сначала умножить $12$ на $25$: $12 \cdot 25 = 300$.
Затем умножим $3$ на $300$: $3 \cdot 300 = 900$.
$3 \cdot 12 \cdot 5^2 = 3 \cdot 12 \cdot 25 = 900$.
Ответ: 900.

б) Для вычисления выражения $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2$ сначала выполним умножение в скобках.
$2 \cdot 8 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$.
Теперь возведем полученный результат в квадрат:
$112^2 = 112 \cdot 112 = 12544$.
Ответ: 12544.

в) В выражении $704 : 8^2$ первым действием выполняется возведение в степень.
$8^2 = 64$.
Теперь выполним деление:
$704 : 64 = 11$.
Ответ: 11.

г) В выражении $(96 : 24)^3$ сначала выполним действие в скобках.
$96 : 24 = 4$.
Теперь возведем результат в третью степень (в куб):
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64.

д) Чтобы найти значение выражения $2^2 \cdot 7^2$, можно использовать свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$2^2 \cdot 7^2 = (2 \cdot 7)^2 = 14^2$.
$14^2 = 196$.
Второй способ — вычислить каждую степень отдельно, а затем перемножить результаты:
$2^2 = 4$; $7^2 = 49$.
$4 \cdot 49 = 196$.
Ответ: 196.

е) В выражении $3^2 \cdot 5^3$ показатели степеней разные, поэтому вычислим каждую степень по отдельности.
$3^2 = 9$.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Теперь перемножим полученные значения:
$9 \cdot 125 = 1125$.
Ответ: 1125.

192 Какой цифрой оканчивается квадрат числа:

а) 122;

б) 923;

в) 225;

г) 147?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается квадрат числа, нужно посмотреть на последнюю цифру исходного числа. Последняя цифра квадрата числа будет такой же, как последняя цифра квадрата его последней цифры.

а) 122

Число 122 оканчивается на цифру 2. Чтобы найти последнюю цифру квадрата числа 122 ($122^2$), нужно возвести в квадрат его последнюю цифру: $2^2 = 4$. Следовательно, квадрат числа 122 оканчивается на цифру 4.
Ответ: 4

б) 923

Число 923 оканчивается на цифру 3. Возводим в квадрат последнюю цифру: $3^2 = 9$. Следовательно, квадрат числа 923 оканчивается на цифру 9.
Ответ: 9

в) 225

Число 225 оканчивается на цифру 5. Возводим в квадрат последнюю цифру: $5^2 = 25$. Число 25 оканчивается на 5, следовательно, квадрат числа 225 также оканчивается на цифру 5.
Ответ: 5

г) 147

Число 147 оканчивается на цифру 7. Возводим в квадрат последнюю цифру: $7^2 = 49$. Число 49 оканчивается на 9, следовательно, квадрат числа 147 также оканчивается на цифру 9.
Ответ: 9

193 Впишите вместо звёздочек такие цифры, чтобы получилось верное равенство. Сколько решений имеет каждая задача?

а) $(2*)^2 = **1$

б) $(7*)^2 = ****5$

в) $(3*)^2 = ***6$

г) $(2*)^2 = **9$

а) $(2*)^2 = **1$

Чтобы квадрат числа заканчивался на цифру 1, последняя цифра исходного числа должна быть 1 или 9, так как $1^2 = 1$ и $9^2 = 81$. Таким образом, на месте звёздочки могут быть цифры 1 или 9.

Проверим оба возможных варианта:

1. Если подставить цифру 1, получим число 21. Возведём его в квадрат:
$21^2 = 441$.
Результат $441$ — это трёхзначное число, оканчивающееся на 1, что соответствует шаблону $**1$. Этот вариант подходит.

2. Если подставить цифру 9, получим число 29. Возведём его в квадрат:
$29^2 = 841$.
Результат $841$ — это также трёхзначное число, оканчивающееся на 1, что соответствует шаблону. Этот вариант также подходит.

Задача имеет два решения.

Ответ: $21^2 = 441$ и $29^2 = 841$. Задача имеет 2 решения.

б) $(7*)^2 = ***5$

Чтобы квадрат числа заканчивался на цифру 5, последняя цифра исходного числа должна быть 5, так как только $5^2 = 25$ даёт 5 в конце. Следовательно, на месте звёздочки может быть только цифра 5.

Проверим этот вариант. Исходное число — 75. Возведём его в квадрат:
$75^2 = 5625$.
Результат $5625$ — это четырёхзначное число, оканчивающееся на 5, что соответствует шаблону $***5$.

Задача имеет одно решение.

Ответ: $75^2 = 5625$. Задача имеет 1 решение.

в) $(3*)^2 = ***6$

Чтобы квадрат числа заканчивался на цифру 6, последняя цифра исходного числа должна быть 4 или 6, так как $4^2 = 16$ и $6^2 = 36$. Таким образом, на месте звёздочки могут быть цифры 4 или 6.

Проверим оба возможных варианта:

1. Если подставить цифру 4, получим число 34. Возведём его в квадрат:
$34^2 = 1156$.
Результат $1156$ — это четырёхзначное число, оканчивающееся на 6. Это соответствует шаблону $***6$. Вариант подходит.

2. Если подставить цифру 6, получим число 36. Возведём его в квадрат:
$36^2 = 1296$.
Результат $1296$ — это также четырёхзначное число, оканчивающееся на 6, что соответствует шаблону. Этот вариант также подходит.

Задача имеет два решения.

Ответ: $34^2 = 1156$ и $36^2 = 1296$. Задача имеет 2 решения.

г) $(2*)^2 = **9$

Чтобы квадрат числа заканчивался на цифру 9, последняя цифра исходного числа должна быть 3 или 7, так как $3^2 = 9$ и $7^2 = 49$. Таким образом, на месте звёздочки могут быть цифры 3 или 7.

Проверим оба возможных варианта:

1. Если подставить цифру 3, получим число 23. Возведём его в квадрат:
$23^2 = 529$.
Результат $529$ — это трёхзначное число, оканчивающееся на 9, что соответствует шаблону $**9$. Этот вариант подходит.

2. Если подставить цифру 7, получим число 27. Возведём его в квадрат:
$27^2 = 729$.
Результат $729$ — это также трёхзначное число, оканчивающееся на 9, что соответствует шаблону. Этот вариант также подходит.

Задача имеет два решения.

Ответ: $23^2 = 529$ и $27^2 = 729$. Задача имеет 2 решения.

194 Какому произведению равно число 3000000000?

1) $3 \cdot 10^6$

2) $3 \cdot 10^7$

3) $3 \cdot 10^8$

4) $3 \cdot 10^9$

Чтобы определить, какому из предложенных произведений равно число 300 000 000, необходимо представить это число в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

В числе 300 000 000 первая значащая цифра — это 3. После неё следует 8 нулей.

Это означает, что мы можем записать число как произведение 3 на 10 в степени, равной количеству нулей, то есть в 8-й степени.

Математически это выглядит так:

$300 000 000 = 3 \times 100 000 000 = 3 \cdot 10^8$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3