Страница 64 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

202 Дима вышел из школы и направился к стадиону со скоростью $100 \text{ м/мин}$. Через $5 \text{ мин}$ после его выхода от стадиона к школе направился Олег со скоростью $80 \text{ м/мин}$. Чему равно расстояние между школой и стадионом, если Олег встретил Диму через $10 \text{ мин}$ после своего выхода?

Для решения задачи необходимо найти, какое расстояние прошел каждый из мальчиков до встречи, и сложить эти расстояния.

1. Сначала определим, сколько всего времени был в пути Дима до встречи с Олегом. Дима вышел на 5 минут раньше Олега, а после выхода Олега до их встречи прошло еще 10 минут. Следовательно, общее время движения Димы составляет:
$t_Д = 5 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 15 \text{ мин}$

2. Теперь вычислим расстояние, которое прошел Дима за это время. Его скорость составляла 100 м/мин.
$S_Д = v_Д \times t_Д = 100 \text{ м/мин} \times 15 \text{ мин} = 1500 \text{ м}$

3. Далее вычислим расстояние, которое прошел Олег. Он был в пути 10 минут со скоростью 80 м/мин.
$S_О = v_О \times t_О = 80 \text{ м/мин} \times 10 \text{ мин} = 800 \text{ м}$

4. Поскольку Дима шел от школы, а Олег – от стадиона навстречу ему, то расстояние между школой и стадионом равно сумме расстояний, которые они прошли до встречи.
$S_{общ} = S_Д + S_О = 1500 \text{ м} + 800 \text{ м} = 2300 \text{ м}$

Ответ: расстояние между школой и стадионом равно 2300 м.

203 Две электрички двигались от двух платформ навстречу друг другу. Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало равным 7 км 500 м. Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала 1200 м в минуту? Выразите скорости электричек в километрах в час.

Для решения задачи сначала найдем общую скорость, с которой электрички удаляются друг от друга после встречи (скорость удаления). Затем, зная скорость второй электрички, мы сможем найти скорость первой. В конце выразим обе скорости в километрах в час.

1. Сначала переведем расстояние, которое было между электричками через 3 минуты, в одну единицу измерения – метры:

$7 \text{ км } 500 \text{ м} = 7 \times 1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 7500 \text{ м}$.

2. Найдем скорость удаления электричек. После встречи они движутся в противоположных направлениях, поэтому расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления – это расстояние, которое они вместе проехали за единицу времени. Она равна сумме их скоростей: $v_{удаления} = v_1 + v_2$.

Общая скорость удаления равна расстоянию, разделенному на время:

$v_{удаления} = \frac{7500 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 2500 \text{ м/мин}$.

Сколько метров в минуту проезжала первая электричка?

Мы знаем общую скорость удаления ($2500 \text{ м/мин}$) и скорость второй электрички ($v_2 = 1200 \text{ м/мин}$). Чтобы найти скорость первой электрички ($v_1$), вычтем из общей скорости скорость второй:

$v_1 = v_{удаления} - v_2 = 2500 \text{ м/мин} - 1200 \text{ м/мин} = 1300 \text{ м/мин}$.

Ответ: первая электричка проезжала 1300 метров в минуту.

Выразите скорости электричек в километрах в час.

Чтобы перевести скорость из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч), нужно умножить значение на 60 (чтобы перейти от минут к часам) и разделить на 1000 (чтобы перейти от метров к километрам).

Формула для перевода: $v \text{ (км/ч)} = v \text{ (м/мин)} \times \frac{60}{1000}$.

Скорость первой электрички:

$v_1 = 1300 \text{ м/мин} = 1300 \times \frac{60}{1000} \text{ км/ч} = 1.3 \times 60 \text{ км/ч} = 78 \text{ км/ч}$.

Скорость второй электрички:

$v_2 = 1200 \text{ м/мин} = 1200 \times \frac{60}{1000} \text{ км/ч} = 1.2 \times 60 \text{ км/ч} = 72 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость первой электрички – 78 км/ч, скорость второй электрички – 72 км/ч.

204 а) Коля и его сестра Катя одновременно вышли из дома и направились по дороге к школе. Скорость Коли 70 м/мин, а Кати 55 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 мин?

Решите задачу двумя способами.

Способ 1. Коля за 4 мин пройдёт $70 \cdot 4 = 280$ (м), а Катя $55 \cdot 4 = 220$ (м).

Значит, через 4 мин между ними будет расстояние, равное ... (выполните действие).

Способ 2. Скорость Коли больше скорости Кати, а значит, он удаляется от неё со скоростью $70 - 55 = 15$ (м/мин). Доведите решение задачи до конца.

б) Автобус и автомобиль одновременно выехали от вокзала на шоссе и отправились по шоссе в одном направлении со скоростью 50 км/ч и 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

а)

Способ 1.

1. Сначала найдем расстояние, которое прошел Коля за 4 минуты. Для этого его скорость умножим на время в пути:

$70 \text{ м/мин} \cdot 4 \text{ мин} = 280 \text{ (м)}$

2. Затем найдем расстояние, которое прошла Катя за это же время:

$55 \text{ м/мин} \cdot 4 \text{ мин} = 220 \text{ (м)}$

3. Поскольку Коля и Катя движутся в одном направлении из одной точки, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими расстояний:

$280 \text{ м} - 220 \text{ м} = 60 \text{ (м)}$

Ответ: через 4 мин между ними будет расстояние 60 м.

Способ 2.

1. Найдем скорость удаления. Так как Коля идет быстрее Кати, он будет от нее удаляться. Скорость удаления равна разности их скоростей:

$v_{удаления} = 70 \text{ м/мин} - 55 \text{ м/мин} = 15 \text{ (м/мин)}$

Это означает, что каждую минуту расстояние между Колей и Катей увеличивается на 15 метров.

2. Теперь найдем, на какое расстояние они удалятся друг от друга за 4 минуты. Для этого умножим скорость удаления на время:

$15 \text{ м/мин} \cdot 4 \text{ мин} = 60 \text{ (м)}$

Ответ: через 4 мин между ними будет расстояние 60 м.

б)

1. Автобус и автомобиль едут в одном направлении, но с разной скоростью. Найдем скорость удаления автомобиля от автобуса (скорость автомобиля больше).

$v_{удаления} = v_{автомобиля} - v_{автобуса} = 70 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 20 \text{ (км/ч)}$

2. Чтобы найти расстояние между ними через 2 часа, нужно скорость удаления умножить на время:

$S = v_{удаления} \cdot t = 20 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 40 \text{ (км)}$

Ответ: через 2 часа расстояние между ними будет 40 км.

205 а) Когда Оля вышла из дома и пошла по дороге к школе, её подруга Ира была от неё на расстоянии $100 \text{ м}$. Через сколько минут Оля догонит Иру, если её скорость $75 \text{ м/мин}$, а скорость Иры $50 \text{ м/мин}$?

б) Два велосипедиста едут по шоссе в одном направлении. Скорость первого велосипедиста $10 \text{ км/ч}$, второго — $12 \text{ км/ч}$. Сейчас расстояние между ними $6 \text{ км}$. Сможет ли второй велосипедист догнать первого через $3 \text{ ч}$?

а)

Чтобы найти, через сколько минут Оля догонит Иру, нужно определить их скорость сближения и разделить на неё начальное расстояние между ними. Оля догоняет Иру, так как её скорость выше.

1. Найдём скорость сближения. Она равна разности скоростей Оли ($v_О$) и Иры ($v_И$):
$v_{сбл} = v_О - v_И = 75 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 25 \text{ м/мин}$.
Это означает, что каждую минуту расстояние между Олей и Ирой сокращается на 25 метров.

2. Теперь найдём время ($t$), за которое Оля покроет начальное расстояние ($S$) в 100 м. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ м}}{25 \text{ м/мин}} = 4 \text{ мин}$.

Ответ: Оля догонит Иру через 4 минуты.

б)

Чтобы ответить на вопрос, нужно вычислить, за какое время второй велосипедист догонит первого, и сравнить это время с 3 часами. Либо можно рассчитать, какое расстояние сократится между ними за 3 часа.

1. Найдём скорость сближения велосипедистов. Поскольку второй велосипедист едет быстрее, он догоняет первого. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна разности их скоростей ($v_2$ и $v_1$):
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 12 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$.

2. Теперь определим, какое расстояние ($S_{сбл}$) сократится между ними за 3 часа ($t=3$ ч):
$S_{сбл} = v_{сбл} \times t = 2 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 6 \text{ км}$.

3. Начальное расстояние между велосипедистами составляет 6 км. Так как за 3 часа расстояние между ними сократится ровно на 6 км, это означает, что второй велосипедист догонит первого ровно через 3 часа.

Другой способ решения:
Найдём время ($t$), которое потребуется второму велосипедисту, чтобы догнать первого. Для этого разделим начальное расстояние ($S=6$ км) на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$.
Так как рассчитанное время равно 3 часам, то второй велосипедист сможет догнать первого.

Ответ: Да, сможет.

206. Расстояние между посёлками А и В по шоссе $9 \text{ км}$. Из посёлка А по направлению к посёлку В вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$ и одновременно с ним из посёлка В в том же направлении выехал велосипедист со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $1 \text{ ч}$? через $2 \text{ ч}$?

В данной задаче пешеход и велосипедист движутся в одном направлении, причём велосипедист, находящийся впереди, имеет большую скорость. Это означает, что расстояние между ними будет постоянно увеличиваться. Такой тип задач решается с помощью понятия "скорость удаления".

1. Сначала найдем скорость удаления. Она равна разности скоростей велосипедиста и пешехода, так как они движутся в одном направлении.

$v_{уд} = v_{велосипедиста} - v_{пешехода} = 12 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

Это значит, что за каждый час расстояние между ними увеличивается на $8$ км.

2. Теперь мы можем рассчитать, какое расстояние будет между ними через заданное время, прибавив к начальному расстоянию то расстояние, на которое они дополнительно удалятся.

через 1 ч

Чтобы найти расстояние через 1 час, нужно к начальному расстоянию ($9$ км) прибавить расстояние, на которое они удалились за этот час.

Дополнительное расстояние за 1 час: $8 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

Общее расстояние: $S_1 = 9 \text{ км} + 8 \text{ км} = 17 \text{ км}$

Ответ: через 1 час расстояние между ними будет 17 км.

через 2 ч

Чтобы найти расстояние через 2 часа, нужно к начальному расстоянию ($9$ км) прибавить расстояние, на которое они удалились за эти два часа.

Дополнительное расстояние за 2 часа: $8 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 16 \text{ км}$

Общее расстояние: $S_2 = 9 \text{ км} + 16 \text{ км} = 25 \text{ км}$

Ответ: через 2 часа расстояние между ними будет 25 км.

207 Дима вышел из дома и направился к стадиону со скоростью 50 м/мин. Через 2 мин вслед за ним вышел его друг со скоростью 60 м/мин и догнал Диму у стадиона. Найдите расстояние от дома до стадиона.

Это задача на движение вдогонку. Чтобы ее решить, можно составить уравнение. Пусть искомое расстояние от дома до стадиона равно $S$ метров.

Обозначим:

• $v_1 = 50$ м/мин — скорость Димы.
• $v_2 = 60$ м/мин — скорость друга.

Пусть $t_1$ — время, которое был в пути Дима, а $t_2$ — время, которое был в пути его друг.

Расстояние $S$ можно выразить через скорость и время каждого из них:

$S = v_1 \cdot t_1 = 50 \cdot t_1$

$S = v_2 \cdot t_2 = 60 \cdot t_2$

Из этих формул мы можем выразить время:

$t_1 = \frac{S}{50}$

$t_2 = \frac{S}{60}$

По условию задачи, друг вышел на 2 минуты позже Димы. Это значит, что время Димы в пути было на 2 минуты больше, чем время его друга:

$t_1 = t_2 + 2$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$, которые мы получили ранее:

$\frac{S}{50} = \frac{S}{60} + 2$

Решим это уравнение относительно $S$. Для этого перенесем все слагаемые с $S$ в одну часть:

$\frac{S}{50} - \frac{S}{60} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 50 и 60 — это 300.

$\frac{6S}{300} - \frac{5S}{300} = 2$

$\frac{6S - 5S}{300} = 2$

$\frac{S}{300} = 2$

$S = 2 \cdot 300$

$S = 600$ (м)

Таким образом, расстояние от дома до стадиона составляет 600 метров.

Ответ: 600 метров.

208 Из двух подъездов одного дома, расстояние между которыми 30 м, одновременно вышли два школьника в одном направлении. Первый идёт со скоростью 50 м/мин, второй — со скоростью 55 м/мин. Через сколько минут расстояние между школьниками будет равно 20 м? Почему задача имеет два решения?

Через сколько минут расстояние между школьниками будет равно 20 м?

Для решения задачи определим ключевые параметры:

Скорость первого школьника: $v_1 = 50$ м/мин.

Скорость второго школьника: $v_2 = 55$ м/мин.

Начальное расстояние между ними: $S_0 = 30$ м.

Конечное расстояние между ними: $S_f = 20$ м.

Поскольку школьники движутся в одном направлении, скорость, с которой второй (более быстрый) школьник догоняет первого (более медленного), называется скоростью сближения. Она равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 55 - 50 = 5$ м/мин.

Чтобы расстояние между школьниками могло уменьшиться с 30 м до 20 м, необходимо, чтобы в начальный момент времени более быстрый школьник находился позади более медленного. В этом случае существует две ситуации, когда расстояние между ними будет равно 20 м.

Ситуация 1: Второй школьник догоняет первого, но еще не догнал.

В этом случае расстояние между ними должно сократиться с 30 м до 20 м. Изменение расстояния составляет:

$\Delta S_1 = S_0 - S_f = 30 - 20 = 10$ м.

Найдем время, за которое это произойдет, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_{сбл}} = \frac{10}{5} = 2$ минуты.

Ситуация 2: Второй школьник догнал, обогнал первого и удалился от него.

В этом случае второму школьнику сначала нужно полностью преодолеть начальное расстояние в 30 м (чтобы догнать первого), а затем удалиться от него на 20 м. Общее расстояние, на которое он должен опередить первого, составляет:

$\Delta S_2 = S_0 + S_f = 30 + 20 = 50$ м.

Время, необходимое для этого:

$t_2 = \frac{\Delta S_2}{v_{сбл}} = \frac{50}{5} = 10$ минут.

Ответ: 2 минуты или 10 минут.

Почему задача имеет два решения?

Задача имеет два решения, потому что условие "расстояние между школьниками будет равно 20 м" не уточняет их взаимное расположение в этот момент. При движении вдогонку, когда более быстрый объект находится сзади, заданное расстояние между объектами (меньшее, чем начальное) достигается дважды:

1. Первый раз (до встречи): когда быстрый школьник приближается к медленному и сокращает дистанцию до 20 м.
2. Второй раз (после встречи): когда быстрый школьник догоняет медленного, обгоняет его и удаляется от него на расстояние 20 м.

Оба этих момента времени являются верными ответами на поставленный вопрос.

Ответ: Задача имеет два решения, так как искомое расстояние в 20 м между школьниками возникает дважды: до обгона (при сближении) и после обгона (при удалении).