Страница 66 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 1) Выполните действия: а) $567 + 6305$; б) $2416 - 357$.

2) Как называются компоненты действия при сложении? при вычитании?

1)

а) Выполним сложение чисел 567 и 6305. Для удобства можно выполнить сложение в столбик.

Сначала сложим единицы: $7 + 5 = 12$. Цифру 2 записываем в разряд единиц результата, а 1 десяток запоминаем.
Затем складываем десятки: $6 + 0$ и прибавляем 1, который запомнили. Получаем $6 + 0 + 1 = 7$. Цифру 7 записываем в разряд десятков.
Складываем сотни: $5 + 3 = 8$. Цифру 8 записываем в разряд сотен.
В разряде тысяч у числа 6305 стоит цифра 6, а у числа 567 в этом разряде цифры нет, поэтому просто переносим 6 в результат.
Получаем: $567 + 6305 = 6872$.
Ответ: 6872

б) Выполним вычитание: из числа 2416 вычтем 357. Для удобства можно выполнить вычитание в столбик.

Начинаем с разряда единиц: из 6 вычесть 7 нельзя. Занимаем 1 десяток из разряда десятков. Получаем $16 - 7 = 9$. Записываем 9 в разряд единиц результата.
Переходим к разряду десятков: так как мы заняли 1 десяток, там остался 0. Из 0 вычесть 5 нельзя. Занимаем 1 сотню из разряда сотен. Получаем $10 - 5 = 5$. Записываем 5 в разряд десятков результата.
Переходим к разряду сотен: так как мы заняли 1 сотню, там осталось 3. $3 - 3 = 0$. Записываем 0 в разряд сотен результата.
В разряде тысяч у числа 2416 стоит 2, а у числа 357 в этом разряде цифры нет, поэтому просто переносим 2 в результат.
Получаем: $2416 - 357 = 2059$.
Ответ: 2059

2)

Компоненты действия при сложении называются: слагаемое, слагаемое, а результат действия – сумма. В выражении $a + b = c$, $a$ и $b$ – это слагаемые, $c$ – это сумма.
Компоненты действия при вычитании называются: уменьшаемое, вычитаемое, а результат действия – разность. В выражении $a - b = c$, $a$ – это уменьшаемое, $b$ – это вычитаемое, $c$ – это разность.
Ответ: При сложении: слагаемое, слагаемое, сумма. При вычитании: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

2 1) Выполните действия:

а) $218 \cdot 704;$ б) $5350 \cdot 32;$ в) $4212 : 18;$ г) $2834 : 26.$

2) Как называются компоненты действия при умножении; при делении?

1)

а) Умножим $218$ на $704$ в столбик.

 218× 704------ 872 0001526------153472

Получаем, что $218 \cdot 704 = 153472$.

Ответ: 153472.

б) Умножим $5350$ на $32$ в столбик.

 5350× 32------ 1070016050------171200

Получаем, что $5350 \cdot 32 = 171200$.

Ответ: 171200.

в) Разделим $4212$ на $18$ в столбик.

_4212 | 18 36 |--- --- | 234 _61 54 -- _72 72 -- 0

Получаем, что $4212 : 18 = 234$.

Ответ: 234.

г) Разделим $2834$ на $26$ в столбик.

_2834 | 26 26 |--- -- | 109 _23 0 --- _234 234 --- 0

Получаем, что $2834 : 26 = 109$.

Ответ: 109.

2)

Компоненты действия при умножении называются: множитель, множитель и произведение. Числа, которые перемножаются, называются множителями, а результат их умножения — произведением. В выражении $a \cdot b = c$, числа $a$ и $b$ являются множителями, а $c$ — произведением.

Компоненты действия при делении называются: делимое, делитель и частное. Число, которое делят, называется делимым. Число, на которое делят, называется делителем. Результат деления называется частным. В выражении $a : b = c$, число $a$ — это делимое, $b$ — делитель, а $c$ — частное.

Ответ: При умножении: множитель, множитель, произведение. При делении: делимое, делитель, частное.

3 1) Расскажите, как найти неизвестное слагаемое; неизвестное уменьшаемое; неизвестное вычитаемое.

2) Найдите неизвестный компонент действия:

а) $x + 118 = 245$;

б) $157 - a = 89$;

в) $y - 26 = 93$.

1)

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

2)

а) $x + 118 = 245$

В этом уравнении $x$ – неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, необходимо из суммы (245) вычесть известное слагаемое (118).
$x = 245 - 118$
$x = 127$
Ответ: 127

б) $157 - a = 89$

В данном уравнении $a$ – неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, необходимо из уменьшаемого (157) вычесть разность (89).
$a = 157 - 89$
$a = 68$
Ответ: 68

в) $y - 26 = 93$

В этом уравнении $y$ – неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, необходимо к разности (93) прибавить вычитаемое (26).
$y = 93 + 26$
$y = 119$
Ответ: 119

4 1) Расскажите, как найти неизвестный множитель; неизвестное делимое; неизвестный делитель.

2) Найдите неизвестный компонент действия:

а) $42 \cdot x = 546$;

б) $a : 17 = 15$;

в) $54 : c = 3$.

1)

• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Если $a \cdot x = c$, то $x = c : a$.
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. Если $x : a = c$, то $x = c \cdot a$.
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. Если $a : x = c$, то $x = a : c$.

2)

а) $42 \cdot x = 546$

В этом уравнении $x$ — это неизвестный множитель. Чтобы найти его, разделим произведение $546$ на известный множитель $42$.

$x = 546 : 42$

$x = 13$

Проверка: $42 \cdot 13 = 546$.

Ответ: $13$

б) $a : 17 = 15$

В этом уравнении $a$ — это неизвестное делимое. Чтобы найти его, умножим частное $15$ на делитель $17$.

$a = 15 \cdot 17$

$a = 255$

Проверка: $255 : 17 = 15$.

Ответ: $255$

в) $54 : c = 3$

В этом уравнении $c$ — это неизвестный делитель. Чтобы найти его, разделим делимое $54$ на частное $3$.

$c = 54 : 3$

$c = 18$

Проверка: $54 : 18 = 3$.

Ответ: $18$

5 Запишите с помощью букв: свойства нуля при сложении и вычитании; свойства нуля и единицы при умножении и делении. Приведите примеры.

свойства нуля при сложении и вычитании

1. Если к любому числу прибавить ноль, то получится то же самое число. Сумма числа и нуля равна самому числу.
В буквенном виде это свойство записывается так: $a + 0 = a$ или $0 + a = a$.
Пример: $57 + 0 = 57$.

2. Если из любого числа вычесть ноль, то получится то же самое число. Разность числа и нуля равна самому числу.
В буквенном виде: $a - 0 = a$.
Пример: $124 - 0 = 124$.

3. Если из числа вычесть то же самое число, то получится ноль. Разность двух одинаковых чисел равна нулю.
В буквенном виде: $a - a = 0$.
Пример: $38 - 38 = 0$.

Ответ: $a + 0 = a$; $a - 0 = a$; $a - a = 0$.

свойства нуля и единицы при умножении и делении

1. При умножении любого числа на ноль получается ноль.
В буквенном виде: $a \cdot 0 = 0$ или $0 \cdot a = 0$.
Пример: $91 \cdot 0 = 0$.

2. При умножении любого числа на единицу получается то же самое число.
В буквенном виде: $a \cdot 1 = a$ или $1 \cdot a = a$.
Пример: $25 \cdot 1 = 25$.

3. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается ноль.
В буквенном виде: $0 : a = 0$ (при $a \neq 0$).
Пример: $0 : 15 = 0$.

4. Делить на ноль нельзя.

5. При делении любого числа на единицу получается то же самое число.
В буквенном виде: $a : 1 = a$.
Пример: $73 : 1 = 73$.

6. При делении числа (не равного нулю) на само себя получается единица.
В буквенном виде: $a : a = 1$ (при $a \neq 0$).
Пример: $46 : 46 = 1$.

Ответ: $a \cdot 0 = 0$; $a \cdot 1 = a$; $0 : a = 0$ (при $a \neq 0$); $a : 1 = a$; $a : a = 1$ (при $a \neq 0$). На ноль делить нельзя.

6 1) Сформулируйте правила порядка действий для вычисления значения выражения без скобок; содержащего скобки.

2) Найдите значение выражения:

а) $627 - 46 \cdot 12 + 118;$

б) $39 \cdot (641 - 5720 : 13).$

1)

Правила порядка действий для вычисления значения выражения без скобок:

1. Сначала по порядку слева направо выполняются умножение и деление.

2. Затем по порядку слева направо выполняются сложение и вычитание.

Правила порядка действий для вычисления значения выражения, содержащего скобки:

1. Сначала выполняются все действия в скобках. Порядок выполнения действий внутри скобок такой же, как и для выражений без скобок (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание).

2. После вычисления значения в скобках выполняются остальные действия, соблюдая общий порядок (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание).

2)

а) $627 - 46 \cdot 12 + 118$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение и вычитание слева направо:

1) $46 \cdot 12 = 552$

2) $627 - 552 = 75$

3) $75 + 118 = 193$

Ответ: 193.

б) $39 \cdot (641 - 5720 : 13)$

Сначала выполняем действия в скобках (сначала деление, потом вычитание), а затем умножение:

1) $5720 : 13 = 440$

2) $641 - 440 = 201$

3) $39 \cdot 201 = 7839$

Ответ: 7839.

7 1) Как называют выражение $5^4$ и что оно означает?

2) Найдите значение выражения: а) $16^2$; б) $40^3$.

1)

Выражение $5^4$ называют степенью. В этом выражении число 5 — это основание степени, а число 4 — показатель степени.

Данное выражение означает, что основание степени (число 5) нужно умножить само на себя столько раз, сколько указывает показатель степени (то есть 4 раза).

Таким образом, $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

Ответ: Выражение $5^4$ называют степенью; оно означает произведение четырех множителей, каждый из которых равен 5.

а)

Чтобы найти значение выражения $16^2$, необходимо возвести число 16 во вторую степень (или "в квадрат"), то есть умножить его само на себя.

$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.

Ответ: 256.

б)

Чтобы найти значение выражения $40^3$, необходимо возвести число 40 в третью степень (или "в куб"), то есть умножить его само на себя три раза.

$40^3 = 40 \cdot 40 \cdot 40$.

Вычислим пошагово:

$40 \cdot 40 = 1600$.

$1600 \cdot 40 = 64000$.

Ответ: 64000.

8 Укажите порядок действий в выражении и найдите его значение:

а) $3 \cdot 10^4$;

б) $(3 \cdot 10)^3$;

в) $(48 + 2)^2$;

г) $50 - 2^4$.

а) $3 \cdot 10^4$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возведение в степень: $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$.

2. Умножение: $3 \cdot 10000 = 30000$.

Ответ: 30000

б) $(3 \cdot 10)^3$

В данном выражении сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Действие в скобках (умножение): $3 \cdot 10 = 30$.

2. Возведение в степень: $30^3 = 30 \cdot 30 \cdot 30 = 27000$.

Ответ: 27000

в) $(48 + 2)^2$

Сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Действие в скобках (сложение): $48 + 2 = 50$.

2. Возведение в степень: $50^2 = 50 \cdot 50 = 2500$.

Ответ: 2500

г) $50 - 2^4$

Сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.

1. Возведение в степень: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

2. Вычитание: $50 - 16 = 34$.

Ответ: 34

Решите задачу (9-10).

9

Токарь и ученик изготовили 144 детали. Токарь работал 8 ч и изготовлял 12 деталей в час. Сколько деталей в час изготовлял ученик, если он работал 6 ч?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Сначала определим, сколько деталей изготовил токарь. Мы знаем, что он работал 8 часов и его производительность составляла 12 деталей в час. Чтобы найти общее количество, нужно умножить время на производительность.

$8 \text{ ч} \times 12 \text{ деталей/час} = 96 \text{ деталей}$

Итак, токарь изготовил 96 деталей.

2. Далее найдем, сколько деталей изготовил ученик. Мы знаем, что всего было изготовлено 144 детали. Вычтем из общего количества детали, изготовленные токарем.

$144 \text{ детали} - 96 \text{ деталей} = 48 \text{ деталей}$

Таким образом, ученик изготовил 48 деталей.

3. Теперь мы можем найти производительность ученика (сколько деталей в час он изготовлял). Нам известно, что он сделал 48 деталей за 6 часов. Разделим количество деталей на время работы.

$48 \text{ деталей} \div 6 \text{ ч} = 8 \text{ деталей/час}$

Ответ: ученик изготовлял 8 деталей в час.

10 а) Два велосипедиста едут навстречу друг другу, расстояние между ними 54 км. Через какое время они встретятся, если скорость первого $12 \text{ км/ч}$, а второго $15 \text{ км/ч}$?

б) Собственная скорость катера $18 \text{ км/ч}$, скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. Какое расстояние проплывёт катер за 2 ч по течению реки; за 3 ч против течения реки?

а)

Чтобы найти время, через которое встретятся велосипедисты, необходимо сначала определить их скорость сближения. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Находим скорость сближения:
$v_{сближения} = 12 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная расстояние и скорость сближения, можно найти время до встречи по формуле $t = S/v$:
$t = \frac{54 \text{ км}}{27 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа.

б)

В этой задаче нужно рассчитать расстояние, пройденное катером по течению и против течения реки. Для этого сначала определим его скорость в каждом из направлений.

1. Движение по течению реки.
Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по \ течению} = 18 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$
Расстояние, которое катер проплывёт за 2 часа по течению:
$S_{по \ течению} = 20 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 40 \text{ км}$

2. Движение против течения реки.
Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{против \ течения} = 18 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$
Расстояние, которое катер проплывёт за 3 часа против течения:
$S_{против \ течения} = 16 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 48 \text{ км}$

Ответ: за 2 часа по течению реки катер проплывёт 40 км, а за 3 часа против течения — 48 км.