Страница 63 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

195 Рассмотрите рисунок 3.8, а–г и вычислите для каждого случая скорость сближения или скорость удаления. Как вы думаете, кто мог двигаться в каждом из этих случаев?

a

$4 \text{ км/ч}$, $6 \text{ км/ч}$

б

$10 \text{ км/ч}$, $12 \text{ км/ч}$

в

$15 \text{ км/ч}$, $5 \text{ км/ч}$

г

$40 \text{ км/ч}$, $70 \text{ км/ч}$

3.8

a
В данном случае объекты движутся навстречу друг другу, поэтому мы вычисляем скорость сближения. Она равна сумме скоростей объектов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 6 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.
С такими скоростями могут двигаться два пешехода, идущие навстречу друг другу.
Ответ: скорость сближения 10 км/ч.

б
В этом случае объекты движутся в одном направлении. Объект, который находится впереди ($12$ км/ч), движется быстрее, чем объект сзади ($10$ км/ч). Следовательно, расстояние между ними будет увеличиваться, и мы вычисляем скорость удаления. Она равна разности их скоростей:
$v_{уд} = v_2 - v_1 = 12 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$.
С такими скоростями могут двигаться два велосипедиста, едущие в одном направлении.
Ответ: скорость удаления 2 км/ч.

в
Здесь объекты движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга. Скорость удаления равна сумме скоростей объектов:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.
Такие скорости могут быть, например, у велосипедиста (15 км/ч) и пешехода (5 км/ч), которые движутся в разные стороны.
Ответ: скорость удаления 20 км/ч.

г
В этом случае объекты также движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга. Скорость удаления равна сумме их скоростей:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 40 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 110 \text{ км/ч}$.
Такие скорости характерны для автомобилей. Например, это могут быть два автомобиля, которые разъезжаются в разные стороны.
Ответ: скорость удаления 110 км/ч.

196 Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? Решите задачу двумя способами.

Первый способ

Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти расстояние, которое проехала каждая машина по отдельности, а затем сложить эти расстояния, так как машины двигались в противоположных направлениях от одной точки.

1. Найдем расстояние, которое проехала первая машина ($S_1$) за 3 часа. Для этого умножим ее скорость ($v_1 = 60$ км/ч) на время ($t = 3$ ч):
$S_1 = v_1 \times t = 60 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 180 \text{ км}$.

2. Найдем расстояние, которое проехала вторая машина ($S_2$) за то же время. Для этого умножим ее скорость ($v_2 = 80$ км/ч) на время ($t = 3$ ч):
$S_2 = v_2 \times t = 80 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$.

3. Теперь найдем общее расстояние ($S$) между машинами, сложив расстояния, которые они проехали:
$S = S_1 + S_2 = 180 \text{ км} + 240 \text{ км} = 420 \text{ км}$.

Ответ: 420 км.

Второй способ

Этот способ основан на использовании скорости удаления. Когда два объекта движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта суммарная скорость называется скоростью удаления.

1. Найдем скорость удаления ($v_{уд}$) двух машин. Она равна сумме их скоростей ($v_1$ и $v_2$):
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.
Это значит, что каждый час расстояние между машинами увеличивается на 140 километров.

2. Чтобы найти расстояние ($S$), которое будет между машинами через 3 часа, умножим скорость удаления на время ($t = 3$ ч):
$S = v_{уд} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 420 \text{ км}$.

Ответ: 420 км.

197 Два поезда одновременно отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 260 км?

Для решения этой задачи нужно определить, с какой скоростью поезда удаляются друг от друга. Поскольку они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью удаления.

1. Найдем скорость удаления поездов.
Скорость первого поезда $v_1 = 60$ км/ч.
Скорость второго поезда $v_2 = 70$ км/ч.
Скорость удаления $v_{уд}$ равна сумме скоростей:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$.
Это означает, что каждый час расстояние между поездами увеличивается на 130 км.

2. Теперь, зная скорость удаления и расстояние, которое должно образоваться между поездами, можно найти время. Время ($t$) находится по формуле $t = S / v$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.
$t = \frac{260 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Ответ: через 2 часа расстояние между поездами будет равно 260 км.

198 а) Андрей едет на велосипеде со скоростью $200\text{ м/мин}$. Сергей идёт ему навстречу со скоростью $80\text{ м/мин}$. Через сколько минут они встретятся, если сейчас расстояние между ними $1\text{ км }400\text{ м}$?

б) Оля и Рома идут навстречу друг другу. Сейчас расстояние между ними $800\text{ м}$. Оля идёт со скоростью $70\text{ м/мин}$, а Рома — $80\text{ м/мин}$. Через сколько минут расстояние между ними будет равно $350\text{ м}$?

а)

Для решения задачи сначала нужно привести все единицы измерения к единому виду. Расстояние дано в километрах и метрах, а скорость в метрах в минуту. Переведем расстояние в метры.

$1 \text{ км } 400 \text{ м} = 1 \times 1000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 1400 \text{ м}$

Так как Андрей и Сергей движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сбл}$).

$v_{сбл} = 200 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 280 \text{ м/мин}$

Теперь, чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно разделить первоначальное расстояние ($S$) на скорость сближения.

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{1400 \text{ м}}{280 \text{ м/мин}} = 5 \text{ мин}$

Ответ: через 5 минут они встретятся.

б)

В этой задаче нужно найти время, через которое расстояние между Олей и Ромой сократится с 800 м до 350 м. Сначала определим, на какое расстояние они должны сблизиться. Для этого вычтем из начального расстояния конечное.

$S_{пройд} = 800 \text{ м} - 350 \text{ м} = 450 \text{ м}$

Оля и Рома идут навстречу друг другу, значит, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей.

$v_{сбл} = 70 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 150 \text{ м/мин}$

Чтобы найти время ($t$), за которое они сблизятся на 450 м, разделим это расстояние на их скорость сближения.

$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{450 \text{ м}}{150 \text{ м/мин}} = 3 \text{ мин}$

Ответ: через 3 минуты расстояние между ними будет равно 350 м.

199 а) Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями $60 \text{ км/ч}$ и $80 \text{ км/ч}$. Расстояние между ними $500 \text{ км}$. Какое расстояние будет между ними через $3 \text{ ч}$? Решите задачу двумя способами.

б) Петя и Юра одновременно выбегают с разных концов беговой дорожки навстречу друг другу. У Пети скорость $130 \text{ м/мин}$, а у Юры — $170 \text{ м/мин}$. Какова длина беговой дорожки, если они встретились через $3 \text{ мин}$?

а)

1-й способ:

1. Сначала найдем, какое расстояние проехала первая машина за 3 часа. Для этого ее скорость умножим на время:

$S_1 = 60 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 180 \text{ км}$

2. Затем найдем, какое расстояние проехала вторая машина за 3 часа:

$S_2 = 80 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$

3. Теперь сложим расстояния, которые проехали обе машины, чтобы узнать, на сколько они сблизились:

$S_{общ} = 180 \text{ км} + 240 \text{ км} = 420 \text{ км}$

4. Чтобы найти, какое расстояние будет между машинами через 3 часа, вычтем из начального расстояния то расстояние, на которое они сблизились:

$500 \text{ км} - 420 \text{ км} = 80 \text{ км}$

2-й способ:

1. Найдем скорость сближения машин. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем, на какое расстояние машины сблизятся за 3 часа. Для этого умножим скорость сближения на время:

$S_{сбл} = 140 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 420 \text{ км}$

3. Чтобы найти итоговое расстояние между машинами, вычтем из первоначального расстояния то, на которое они сблизились:

$500 \text{ км} - 420 \text{ км} = 80 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между машинами будет 80 км.

б)

1. Найдем скорость сближения Пети и Юры, сложив их скорости, так как они бегут навстречу друг другу:

$v_{сбл} = 130 \text{ м/мин} + 170 \text{ м/мин} = 300 \text{ м/мин}$

2. Длина беговой дорожки равна общему расстоянию, которое они пробежали вместе до момента встречи. Чтобы найти это расстояние, нужно их общую скорость (скорость сближения) умножить на время, через которое они встретились:

$S = 300 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 900 \text{ м}$

Ответ: длина беговой дорожки 900 м.

200 Андрей вышел из школы и направился к дому со скоростью $90 \text{ м/мин}$. Через $10 \text{ мин}$ из школы вышел Николай и пошёл в противоположном направлении со скоростью $100 \text{ м/мин}$. Какое расстояние будет между мальчиками:

а) через $5 \text{ мин}$ после выхода Николая;

б) через $20 \text{ мин}$ после выхода Андрея?

а) через 5 мин после выхода Николая

1. Сначала определим, сколько времени будет в пути Андрей к моменту, когда Николай пройдет 5 минут. Так как Андрей вышел на 10 минут раньше, его время в пути составит:
$t_{Андрея} = 10 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 15 \text{ мин}$

2. Теперь найдем расстояние, которое пройдет Андрей за 15 минут. Используем формулу расстояния $S = v \cdot t$ (где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время):
$S_{Андрея} = 90 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 1350 \text{ м}$

3. Найдем расстояние, которое пройдет Николай за 5 минут:
$S_{Николая} = 100 \text{ м/мин} \cdot 5 \text{ мин} = 500 \text{ м}$

4. Поскольку мальчики движутся в противоположных направлениях от школы, расстояние между ними будет равно сумме расстояний, которые прошел каждый из них:
$S_{общее} = S_{Андрея} + S_{Николая} = 1350 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1850 \text{ м}$

Ответ: 1850 м.

б) через 20 мин после выхода Андрея

1. По условию, Андрей находится в пути 20 минут. Определим, сколько времени к этому моменту будет в пути Николай. Так как он вышел на 10 минут позже, его время в пути составит:
$t_{Николая} = 20 \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 10 \text{ мин}$

2. Найдем расстояние, которое пройдет Андрей за 20 минут:
$S_{Андрея} = 90 \text{ м/мин} \cdot 20 \text{ мин} = 1800 \text{ м}$

3. Найдем расстояние, которое пройдет Николай за 10 минут:
$S_{Николая} = 100 \text{ м/мин} \cdot 10 \text{ мин} = 1000 \text{ м}$

4. Общее расстояние между мальчиками, движущимися в противоположных направлениях, будет равно сумме пройденных ими расстояний:
$S_{общее} = S_{Андрея} + S_{Николая} = 1800 \text{ м} + 1000 \text{ м} = 2800 \text{ м}$

Ответ: 2800 м.

201 От станции в направлении посёлка, расстояние до которого $24 \text{ км}$, вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через $2 \text{ ч}$ навстречу ему из посёлка выехал велосипедист со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Через сколько часов после своего выхода пешеход встретится с велосипедистом?

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов.

1. Сначала найдем расстояние, которое пешеход успел пройти за 2 часа, пока велосипедист еще не выехал. Скорость пешехода составляет $v_п = 4$ км/ч. Время его одиночного движения $t_1 = 2$ ч. Расстояние, которое он прошел за это время, равно:

$S_1 = v_п \cdot t_1 = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

2. Теперь определим, какое расстояние было между пешеходом и велосипедистом в момент, когда велосипедист начал свое движение. Изначально расстояние между станцией и посёлком составляло $S_{общ} = 24$ км. После того как пешеход прошел 8 км, оставшееся расстояние между ними стало:

$S_2 = S_{общ} - S_1 = 24 \text{ км} - 8 \text{ км} = 16 \text{ км}$

3. Пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения, которая равна сумме их скоростей. Скорость велосипедиста $v_в = 12$ км/ч.

$v_{сбл} = v_п + v_в = 4 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

4. Зная расстояние между ними и скорость их сближения, найдем время, через которое они встретятся после выезда велосипедиста. Обозначим это время как $t_2$.

$t_2 = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{16 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$

5. Вопрос задачи — через сколько часов после своего выхода пешеход встретится с велосипедистом. Это время равно сумме времени, которое пешеход шел один ($t_1$), и времени, которое они двигались одновременно до встречи ($t_2$).

$T_{общ} = t_1 + t_2 = 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: 3 часа.