Страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

216 Назовите свойства, на основании которых выполнены преобразования, и вычислите сумму:

a) $19 + (11 + 6) = (19 + 11) + 6;$

б) $23 + (48 + 27) = 23 + (27 + 48) = (23 + 27) + 48.$

а) Преобразование $19 + (11 + 6) = (19 + 11) + 6$ выполнено на основании сочетательного свойства сложения. Это свойство позволяет изменять группировку слагаемых, при этом сумма не изменяется. Его общая формула: $a + (b + c) = (a + b) + c$.
Вычислим сумму, используя удобный порядок действий, который стал возможен благодаря этому свойству:
$(19 + 11) + 6 = 30 + 6 = 36$.
Ответ: 36.

б) В этом примере последовательно применены два свойства сложения.
1. На первом шаге, $23 + (48 + 27) = 23 + (27 + 48)$, используется переместительное свойство сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Общая формула: $a + b = b + a$. В данном случае, $48$ и $27$ поменяли местами.
2. На втором шаге, $23 + (27 + 48) = (23 + 27) + 48$, используется сочетательное свойство сложения. Общая формула: $a + (b + c) = (a + b) + c$. Группировка была изменена, чтобы сложить $23$ и $27$.
Эти преобразования позволяют упростить вычисления. Вычислим сумму:
$(23 + 27) + 48 = 50 + 48 = 98$.
Ответ: 98.

217 Найдите сумму:

а) $23 + 47 + 11 + 29;$

б) $18 + 15 + 32 + 45;$

в) $27 + 36 + 28 + 23 + 14;$

г) $276 + 118 + 324;$

д) $127 + 32 + 93 + 308;$

е) $15 + 45 + 65 + 35 + 40.$

а) Чтобы найти сумму $23 + 47 + 11 + 29$, сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:
$(23 + 47) + (11 + 29) = 70 + 40 = 110$
Ответ: 110

б) Чтобы найти сумму $18 + 15 + 32 + 45$, сгруппируем слагаемые удобным способом:
$(18 + 32) + (15 + 45) = 50 + 60 = 110$
Ответ: 110

в) Чтобы найти сумму $27 + 36 + 28 + 23 + 14$, сгруппируем слагаемые так, чтобы упростить вычисления:
$(27 + 23) + (36 + 14) + 28 = 50 + 50 + 28 = 100 + 28 = 128$
Ответ: 128

г) Чтобы найти сумму $276 + 118 + 324$, сгруппируем первое и третье слагаемые:
$(276 + 324) + 118 = 600 + 118 = 718$
Ответ: 718

д) Чтобы найти сумму $127 + 32 + 93 + 308$, сгруппируем слагаемые по парам:
$(127 + 93) + (32 + 308) = 220 + 340 = 560$
Ответ: 560

е) Чтобы найти сумму $15 + 45 + 65 + 35 + 40$, сгруппируем слагаемые:
$(15 + 65) + (45 + 35) + 40 = 80 + 80 + 40 = 160 + 40 = 200$
Или другим способом:
$(15 + 45) + (65 + 35) + 40 = 60 + 100 + 40 = (60 + 40) + 100 = 100 + 100 = 200$
Ответ: 200

218 Вычислите удобным способом сумму:

а) $99 + 64$;

б) $198 + 55$;

в) $46 + 197$;

г) $34 + 299$.

Образец. Сумму $98 + 37$ удобно вычислить, если преобразовать её следующим образом: $98 + 37 = 98 + (2 + 35) = (98 + 2) + 35 = 135$.

а) 99 + 64

Чтобы упростить вычисление, представим одно из слагаемых в виде суммы двух чисел. Числу 99 не хватает 1 до 100, поэтому удобно представить 64 как $1 + 63$. Затем, используя сочетательное свойство сложения, сгруппируем слагаемые:

$99 + 64 = 99 + (1 + 63) = (99 + 1) + 63 = 100 + 63 = 163$.

Ответ: 163

б) 198 + 55

Числу 198 не хватает 2 до 200. Представим число 55 в виде суммы $2 + 53$. Затем сгруппируем слагаемые для удобного вычисления:

$198 + 55 = 198 + (2 + 53) = (198 + 2) + 53 = 200 + 53 = 253$.

Ответ: 253

в) 46 + 197

Числу 197 не хватает 3 до 200. Представим число 46 как сумму $43 + 3$. Сгруппируем слагаемые так, чтобы получить круглое число:

$46 + 197 = (43 + 3) + 197 = 43 + (3 + 197) = 43 + 200 = 243$.

Ответ: 243

г) 34 + 299

Числу 299 не хватает 1 до 300. Представим число 34 как сумму $33 + 1$. Сгруппируем слагаемые для упрощения вычисления:

$34 + 299 = (33 + 1) + 299 = 33 + (1 + 299) = 33 + 300 = 333$.

Ответ: 333

219 Решите задачу, составив выражение.

a) Туристы прошли маршрут за 5 дней. В первый день они прошли 15 км, а в каждый следующий день — на 5 км больше, чем в предыдущий. Какова длина маршрута?

б) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 23 мин, а каждую следующую — на 2 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

а) Чтобы найти общую длину маршрута, необходимо сложить расстояния, пройденные туристами за каждый из 5 дней. Расстояние, пройденное в каждый следующий день, представляет собой арифметическую прогрессию.

В первый день они прошли 15 км.
Во второй день: $15 + 5 = 20$ км.
В третий день: $20 + 5 = 25$ км.
В четвертый день: $25 + 5 = 30$ км.
В пятый день: $30 + 5 = 35$ км.

Составим выражение для нахождения общей длины маршрута, сложив расстояния за все дни:

$15 + (15 + 5) + (15 + 5 + 5) + (15 + 5 + 5 + 5) + (15 + 5 + 5 + 5 + 5)$

Выполним вычисления:

$15 + 20 + 25 + 30 + 35 = 125$ км.

Ответ: 125 км.

б) Чтобы найти общее время, затраченное на обработку всех деталей, нужно сложить время обработки каждой из 6 деталей. Время обработки каждой следующей детали уменьшается, что также является арифметической прогрессией.

На первую деталь потребовалось 23 мин.
На вторую деталь: $23 - 2 = 21$ мин.
На третью деталь: $21 - 2 = 19$ мин.
На четвертую деталь: $19 - 2 = 17$ мин.
На пятую деталь: $17 - 2 = 15$ мин.
На шестую деталь: $15 - 2 = 13$ мин.

Составим выражение для нахождения общего времени:

$23 + (23 - 2) + (23 - 2 \cdot 2) + (23 - 2 \cdot 3) + (23 - 2 \cdot 4) + (23 - 2 \cdot 5)$

Выполним вычисления:

$23 + 21 + 19 + 17 + 15 + 13 = 108$ минут.

Ответ: 108 минут.

220 Известно, что $b + c = 21$.

Чему равно значение выражения:

а) $c + (b + 3)$,

$c + (b + 6)$,

$c + (b + 9)$;

б) $(c + 5) + b$,

$(c + 10) + b$,

$(c + 15) + b$?

По условию задачи нам дано, что $b + c = 21$. Для нахождения значений выражений мы будем использовать переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать слагаемые $b$ и $c$ и заменить их сумму на 21.

а)

Чтобы найти значение выражения $c + (b + 3)$, мы можем раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые:
$c + (b + 3) = (c + b) + 3$
Так как $b + c = 21$, то и $c + b = 21$. Подставим это значение в выражение:
$21 + 3 = 24$
Ответ: 24.

Аналогично для выражения $c + (b + 6)$:
$c + (b + 6) = (c + b) + 6 = 21 + 6 = 27$
Ответ: 27.

И для выражения $c + (b + 9)$:
$c + (b + 9) = (c + b) + 9 = 21 + 9 = 30$
Ответ: 30.

б)

Чтобы найти значение выражения $(c + 5) + b$, мы также перегруппируем слагаемые:
$(c + 5) + b = (c + b) + 5$
Подставим известное значение $c + b = 21$:
$21 + 5 = 26$
Ответ: 26.

Аналогично для выражения $(c + 10) + b$:
$(c + 10) + b = (c + b) + 10 = 21 + 10 = 31$
Ответ: 31.

И для выражения $(c + 15) + b$:
$(c + 15) + b = (c + b) + 15 = 21 + 15 = 36$
Ответ: 36.

221 Вычислите сумму, используя приём Гаусса:

а) $1 + 2 + 3 + ... + 20$;

б) $21 + 22 + 23 + ... + 30$;

в) $1 + 2 + 3 + ... + 200$;

г) $101 + 102 + 103 + ... + 200$;

д) $5 + 10 + 15 + ... + 95 + 100$;

е) $2 + 4 + 6 + ... + 198 + 200$.

а) $1 + 2 + 3 + ... + 20$

Это сумма первых 20 натуральных чисел. Они образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$, последним членом $a_{20} = 20$ и количеством членов $n = 20$.
Сгруппируем слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.
$1 + 20 = 21$
$2 + 19 = 21$
...
$10 + 11 = 21$
Всего таких пар будет половина от общего количества членов: $20 / 2 = 10$ пар. Каждая пара в сумме даёт 21.
Сумма равна произведению суммы одной пары на количество пар:
$S = 21 \times 10 = 210$.
По формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{20} = \frac{20 \times (1 + 20)}{2} = 10 \times 21 = 210$.
Ответ: 210.

б) $21 + 22 + 23 + ... + 30$

Это арифметическая прогрессия.
Первый член $a_1 = 21$.
Последний член $a_n = 30$.
Количество членов $n = 30 - 21 + 1 = 10$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$21 + 30 = 51$
$22 + 29 = 51$
...
$25 + 26 = 51$
Количество пар равно $10 / 2 = 5$.
Сумма равна произведению суммы одной пары на количество пар: $S = 51 \times 5 = 255$.
По формуле:
$S_{10} = \frac{10 \times (21 + 30)}{2} = 5 \times 51 = 255$.
Ответ: 255.

в) $1 + 2 + 3 + ... + 200$

Это сумма первых 200 натуральных чисел. Это арифметическая прогрессия с $a_1 = 1$, $a_{200} = 200$ и $n = 200$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$1 + 200 = 201$
$2 + 199 = 201$
...
$100 + 101 = 201$
Количество пар равно $200 / 2 = 100$.
Сумма равна: $S = 201 \times 100 = 20100$.
По формуле:
$S_{200} = \frac{200 \times (1 + 200)}{2} = 100 \times 201 = 20100$.
Ответ: 20100.

г) $101 + 102 + 103 + ... + 200$

Это арифметическая прогрессия.
Первый член $a_1 = 101$.
Последний член $a_n = 200$.
Количество членов $n = 200 - 101 + 1 = 100$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$101 + 200 = 301$
$102 + 199 = 301$
...
$150 + 151 = 301$
Количество пар равно $100 / 2 = 50$.
Сумма равна: $S = 301 \times 50 = 15050$.
По формуле:
$S_{100} = \frac{100 \times (101 + 200)}{2} = 50 \times 301 = 15050$.
Ответ: 15050.

д) $5 + 10 + 15 + ... + 95 + 100$

Это арифметическая прогрессия с разностью $d=5$.
Первый член $a_1 = 5$.
Последний член $a_n = 100$.
Найдем количество членов $n$: $a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 100 = 5 + (n-1) \times 5 \Rightarrow 95 = 5 \times (n-1) \Rightarrow n-1 = 19 \Rightarrow n = 20$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$5 + 100 = 105$
$10 + 95 = 105$
...
Количество пар равно $20 / 2 = 10$.
Сумма равна: $S = 105 \times 10 = 1050$.
По формуле:
$S_{20} = \frac{20 \times (5 + 100)}{2} = 10 \times 105 = 1050$.
Ответ: 1050.

е) $2 + 4 + 6 + ... + 198 + 200$

Это сумма чётных чисел от 2 до 200. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=2$.
Первый член $a_1 = 2$.
Последний член $a_n = 200$.
Количество членов можно найти, зная, что это числа вида $2k$. $200 = 2 \times 100$, значит всего 100 членов. $n = 100$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$2 + 200 = 202$
$4 + 198 = 202$
...
$100 + 102 = 202$
Количество пар равно $100 / 2 = 50$.
Сумма равна: $S = 202 \times 50 = 10100$.
По формуле:
$S_{100} = \frac{100 \times (2 + 200)}{2} = 50 \times 202 = 10100$.
Ответ: 10100.

222 Назовите свойства, на основании которых выполнены преобразования, и вычислите результат:

а) $15 \cdot (7 \cdot 2) = 15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7;$

б) $(4 \cdot 11) \cdot 25 = (11 \cdot 4) \cdot 25 = 11 \cdot (4 \cdot 25).$

а) $15 \cdot (7 \cdot 2) = 15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7$

В этом выражении используются два свойства умножения:

• Переместительное свойство умножения: оно применено при переходе от $15 \cdot (7 \cdot 2)$ к $15 \cdot (2 \cdot 7)$. Согласно этому свойству, от перестановки мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$). В данном случае $7 \cdot 2$ заменено на $2 \cdot 7$.

• Сочетательное свойство умножения: оно применено при переходе от $15 \cdot (2 \cdot 7)$ к $(15 \cdot 2) \cdot 7$. Это свойство позволяет группировать множители в любом порядке ($(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$).

Вычислим результат, используя наиболее удобную группировку:

$(15 \cdot 2) \cdot 7 = 30 \cdot 7 = 210$.

Ответ: 210.

б) $(4 \cdot 11) \cdot 25 = (11 \cdot 4) \cdot 25 = 11 \cdot (4 \cdot 25)$

Здесь также применены два свойства умножения:

• Переместительное свойство умножения: использовано для преобразования $(4 \cdot 11) \cdot 25$ в $(11 \cdot 4) \cdot 25$. Множители 4 и 11 поменялись местами.

• Сочетательное свойство умножения: использовано для преобразования $(11 \cdot 4) \cdot 25$ в $11 \cdot (4 \cdot 25)$. Изменена группировка множителей для удобства вычислений.

Вычислим результат:

$11 \cdot (4 \cdot 25) = 11 \cdot 100 = 1100$.

Ответ: 1100.