Номер 221, страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

221 Вычислите сумму, используя приём Гаусса:

а) $1 + 2 + 3 + ... + 20$;

б) $21 + 22 + 23 + ... + 30$;

в) $1 + 2 + 3 + ... + 200$;

г) $101 + 102 + 103 + ... + 200$;

д) $5 + 10 + 15 + ... + 95 + 100$;

е) $2 + 4 + 6 + ... + 198 + 200$.

а) $1 + 2 + 3 + ... + 20$

Это сумма первых 20 натуральных чисел. Они образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$, последним членом $a_{20} = 20$ и количеством членов $n = 20$.
Сгруппируем слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.
$1 + 20 = 21$
$2 + 19 = 21$
...
$10 + 11 = 21$
Всего таких пар будет половина от общего количества членов: $20 / 2 = 10$ пар. Каждая пара в сумме даёт 21.
Сумма равна произведению суммы одной пары на количество пар:
$S = 21 \times 10 = 210$.
По формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{20} = \frac{20 \times (1 + 20)}{2} = 10 \times 21 = 210$.
Ответ: 210.

б) $21 + 22 + 23 + ... + 30$

Это арифметическая прогрессия.
Первый член $a_1 = 21$.
Последний член $a_n = 30$.
Количество членов $n = 30 - 21 + 1 = 10$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$21 + 30 = 51$
$22 + 29 = 51$
...
$25 + 26 = 51$
Количество пар равно $10 / 2 = 5$.
Сумма равна произведению суммы одной пары на количество пар: $S = 51 \times 5 = 255$.
По формуле:
$S_{10} = \frac{10 \times (21 + 30)}{2} = 5 \times 51 = 255$.
Ответ: 255.

в) $1 + 2 + 3 + ... + 200$

Это сумма первых 200 натуральных чисел. Это арифметическая прогрессия с $a_1 = 1$, $a_{200} = 200$ и $n = 200$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$1 + 200 = 201$
$2 + 199 = 201$
...
$100 + 101 = 201$
Количество пар равно $200 / 2 = 100$.
Сумма равна: $S = 201 \times 100 = 20100$.
По формуле:
$S_{200} = \frac{200 \times (1 + 200)}{2} = 100 \times 201 = 20100$.
Ответ: 20100.

г) $101 + 102 + 103 + ... + 200$

Это арифметическая прогрессия.
Первый член $a_1 = 101$.
Последний член $a_n = 200$.
Количество членов $n = 200 - 101 + 1 = 100$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$101 + 200 = 301$
$102 + 199 = 301$
...
$150 + 151 = 301$
Количество пар равно $100 / 2 = 50$.
Сумма равна: $S = 301 \times 50 = 15050$.
По формуле:
$S_{100} = \frac{100 \times (101 + 200)}{2} = 50 \times 301 = 15050$.
Ответ: 15050.

д) $5 + 10 + 15 + ... + 95 + 100$

Это арифметическая прогрессия с разностью $d=5$.
Первый член $a_1 = 5$.
Последний член $a_n = 100$.
Найдем количество членов $n$: $a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 100 = 5 + (n-1) \times 5 \Rightarrow 95 = 5 \times (n-1) \Rightarrow n-1 = 19 \Rightarrow n = 20$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$5 + 100 = 105$
$10 + 95 = 105$
...
Количество пар равно $20 / 2 = 10$.
Сумма равна: $S = 105 \times 10 = 1050$.
По формуле:
$S_{20} = \frac{20 \times (5 + 100)}{2} = 10 \times 105 = 1050$.
Ответ: 1050.

е) $2 + 4 + 6 + ... + 198 + 200$

Это сумма чётных чисел от 2 до 200. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=2$.
Первый член $a_1 = 2$.
Последний член $a_n = 200$.
Количество членов можно найти, зная, что это числа вида $2k$. $200 = 2 \times 100$, значит всего 100 членов. $n = 100$.
Сгруппируем слагаемые парами:
$2 + 200 = 202$
$4 + 198 = 202$
...
$100 + 102 = 202$
Количество пар равно $100 / 2 = 50$.
Сумма равна: $S = 202 \times 50 = 10100$.
По формуле:
$S_{100} = \frac{100 \times (2 + 200)}{2} = 50 \times 202 = 10100$.
Ответ: 10100.