Страница 74 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

230 Составьте два выражения для ответа на вопрос задачи:

а) Таня и Наташа выбежали одновременно из школы в противоположных направлениях. Таня побежала со скоростью 180 м/мин, а Наташа — со скоростью 150 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 мин? $(180 + 150) \times 4$

б) Дима и Серёжа вышли одновременно навстречу друг другу из своих домов и встретились через 5 мин. Дима шёл со скоростью 80 м/мин, а Серёжа — со скоростью 100 м/мин. Чему равно расстояние между домами Димы и Серёжи? $(80 + 100) \times 5$

а)

Чтобы найти расстояние между Таней и Наташей через 4 минуты, можно использовать два способа.

Способ 1: Найти скорость удаления. Так как они бегут в противоположных направлениях, их общая скорость удаления равна сумме их скоростей. Затем эту общую скорость умножить на время.

Скорость удаления: $v_{уд} = 180 \text{ м/мин} + 150 \text{ м/мин} = 330 \text{ м/мин}$.

Расстояние через 4 минуты: $S = v_{уд} \cdot t$.

Выражение 1: $(180 + 150) \cdot 4$

$(180 + 150) \cdot 4 = 330 \cdot 4 = 1320$ (м).

Способ 2: Найти, какое расстояние пробежала каждая девочка отдельно за 4 минуты, а затем сложить эти расстояния.

Расстояние, которое пробежала Таня: $S_1 = 180 \cdot 4$.

Расстояние, которое пробежала Наташа: $S_2 = 150 \cdot 4$.

Общее расстояние: $S = S_1 + S_2$.

Выражение 2: $180 \cdot 4 + 150 \cdot 4$

$180 \cdot 4 + 150 \cdot 4 = 720 + 600 = 1320$ (м).

Ответ: 1320 метров.

б)

Чтобы найти расстояние между домами Димы и Серёжи, можно также использовать два способа. Это расстояние равно общему пути, который они прошли вместе до встречи.

Способ 1: Найти скорость сближения. Так как они шли навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. Затем эту общую скорость умножить на время до встречи.

Скорость сближения: $v_{сбл} = 80 \text{ м/мин} + 100 \text{ м/мин} = 180 \text{ м/мин}$.

Расстояние между домами: $S = v_{сбл} \cdot t$.

Выражение 1: $(80 + 100) \cdot 5$

$(80 + 100) \cdot 5 = 180 \cdot 5 = 900$ (м).

Способ 2: Найти, какое расстояние прошел каждый мальчик отдельно до встречи, а затем сложить эти расстояния.

Расстояние, которое прошел Дима: $S_1 = 80 \cdot 5$.

Расстояние, которое прошел Серёжа: $S_2 = 100 \cdot 5$.

Общее расстояние: $S = S_1 + S_2$.

Выражение 2: $80 \cdot 5 + 100 \cdot 5$

$80 \cdot 5 + 100 \cdot 5 = 400 + 500 = 900$ (м).

Ответ: 900 метров.

231 Объясните приём, который использован при умножении:

a) $238 \cdot 6 = (200 + 30 + 8) \cdot 6 = 200 \cdot 6 + 30 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 1200 + 180 + 48 = 1428;$

б) $97 \cdot 14 = (100 - 3) \cdot 14 = 100 \cdot 14 - 3 \cdot 14 = 1400 - 42 = 1358.$

В обоих случаях используется распределительное свойство умножения. Оно гласит, что для умножения числа на сумму (или разность) можно умножить это число на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и полученные результаты сложить (или вычесть).

а) В этом примере используется распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы упростить вычисление, множитель 238 представляют в виде суммы его разрядных слагаемых: $200 + 30 + 8$. Затем второй множитель (6) умножается на каждое из этих слагаемых по отдельности, а результаты складываются.

Общая формула: $(a + b + c) \cdot d = a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d$.

Применение в примере:

$238 \cdot 6 = (200 + 30 + 8) \cdot 6 = 200 \cdot 6 + 30 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 1200 + 180 + 48 = 1428$.

Этот приём позволяет заменить одно сложное умножение на несколько более простых.

Ответ: Использован приём представления одного из множителей в виде суммы разрядных слагаемых и применение распределительного свойства умножения относительно сложения.

б) Здесь используется распределительное свойство умножения относительно вычитания. Множитель 97 представляют в виде разности двух удобных для вычисления чисел: $100 - 3$. Такой способ удобен, так как умножать на круглое число 100 очень просто. Затем второй множитель (14) умножается на уменьшаемое (100) и на вычитаемое (3), и из первого результата вычитается второй.

Общая формула: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Применение в примере:

$97 \cdot 14 = (100 - 3) \cdot 14 = 100 \cdot 14 - 3 \cdot 14 = 1400 - 42 = 1358$.

Этот приём эффективен, когда один из множителей близок к круглому числу.

Ответ: Использован приём представления одного из множителей в виде разности удобных чисел и применение распределительного свойства умножения относительно вычитания.

232 Вычислите, используя приём, рассмотренный в упражнении 228:

а) $104 \cdot 14$;

б) $102 \cdot 22$;

в) $98 \cdot 3$;

г) $196 \cdot 15$.

а) Чтобы вычислить произведение $104 \cdot 14$, представим число 104 как сумму $100 + 4$ и применим распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
$104 \cdot 14 = (100 + 4) \cdot 14 = 100 \cdot 14 + 4 \cdot 14 = 1400 + 56 = 1456$.
Ответ: 1456.

б) Чтобы вычислить произведение $102 \cdot 22$, представим число 102 как сумму $100 + 2$ и применим распределительное свойство умножения:
$102 \cdot 22 = (100 + 2) \cdot 22 = 100 \cdot 22 + 2 \cdot 22 = 2200 + 44 = 2244$.
Ответ: 2244.

в) Чтобы вычислить произведение $98 \cdot 3$, представим число 98 как разность $100 - 2$ и применим распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.
$98 \cdot 3 = (100 - 2) \cdot 3 = 100 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 300 - 6 = 294$.
Ответ: 294.

г) Чтобы вычислить произведение $196 \cdot 15$, представим число 196 как разность $200 - 4$ и применим распределительное свойство умножения:
$196 \cdot 15 = (200 - 4) \cdot 15 = 200 \cdot 15 - 4 \cdot 15 = 3000 - 60 = 2940$.
Ответ: 2940.

233 Вынесите за скобки общий множитель и найдите значение выражения:

а) $90 \cdot 25 + 10 \cdot 25;$

б) $123 \cdot 27 - 23 \cdot 27;$

в) $23 \cdot 16 + 16 \cdot 27;$

г) $40 \cdot 87 - 39 \cdot 87.$

а) $90 \cdot 25 + 10 \cdot 25$

В этом выражении общий множитель — число 25. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

$90 \cdot 25 + 10 \cdot 25 = (90 + 10) \cdot 25$

Сначала выполним действие в скобках:

$90 + 10 = 100$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$100 \cdot 25 = 2500$

Ответ: 2500

б) $123 \cdot 27 - 23 \cdot 27$

Общим множителем является число 27. Вынесем его за скобки, применяя распределительное свойство умножения: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

$123 \cdot 27 - 23 \cdot 27 = (123 - 23) \cdot 27$

Вычислим значение в скобках:

$123 - 23 = 100$

Теперь умножим полученный результат на 27:

$100 \cdot 27 = 2700$

Ответ: 2700

в) $23 \cdot 16 + 16 \cdot 27$

В данном выражении общий множитель — это 16. Вынесем его за скобки:

$23 \cdot 16 + 16 \cdot 27 = (23 + 27) \cdot 16$

Найдем сумму чисел в скобках:

$23 + 27 = 50$

Умножим результат на 16:

$50 \cdot 16 = 800$

Ответ: 800

г) $40 \cdot 87 - 39 \cdot 87$

Общим множителем здесь является число 87. Вынесем его за скобки:

$40 \cdot 87 - 39 \cdot 87 = (40 - 39) \cdot 87$

Вычислим разность в скобках:

$40 - 39 = 1$

Умножим результат на 87:

$1 \cdot 87 = 87$

Ответ: 87

234 Не выполняя действий, сравните значения выражений:

а) $(30 + 56) \cdot 5$ и $30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$;

б) $(19 + 4) \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$;

в) $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21$ и $(18 + 17) \cdot 6$;

г) $(14 - 7) \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$;

д) $(18 - 9) \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$;

е) $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15$ и $(23 - 7) \cdot 15$.

а) Сравним выражения $(30 + 56) \cdot 5$ и $30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

Используем распределительное свойство умножения относительно сложения: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Применив это свойство к первому выражению, получим: $(30 + 56) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

Таким образом, значения выражений равны.

Ответ: $(30 + 56) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

б) Сравним выражения $(19 + 4) \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Преобразуем первое выражение с помощью распределительного свойства: $(19 + 4) \cdot 7 = 19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$.

Теперь сравним $19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$. Оба выражения содержат одинаковое слагаемое $19 \cdot 7$. Значит, результат сравнения зависит от вторых слагаемых: $4 \cdot 7$ и $10 \cdot 7$.

Так как $4 < 10$, то и произведение $4 \cdot 7 < 10 \cdot 7$.

Следовательно, сумма $19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$ меньше суммы $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Ответ: $(19 + 4) \cdot 7 < 19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

в) Сравним выражения $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21$ и $(18 + 17) \cdot 6$.

Преобразуем оба выражения, используя распределительное свойство.

Первое выражение: $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 = 6 \cdot (18 + 21)$.

Второе выражение: $(18 + 17) \cdot 6 = 6 \cdot (18 + 17)$.

Теперь сравним $6 \cdot (18 + 21)$ и $6 \cdot (18 + 17)$. Оба выражения имеют общий множитель 6. Сравним суммы в скобках: $(18 + 21)$ и $(18 + 17)$.

Поскольку $21 > 17$, то $18 + 21 > 18 + 17$.

Так как мы умножаем большую сумму на то же положительное число, результат будет больше.

Ответ: $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 > (18 + 17) \cdot 6$.

г) Сравним выражения $(14 - 7) \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

Используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Преобразуем первое выражение: $(14 - 7) \cdot 6 = 14 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

Теперь сравним $14 \cdot 6 - 7 \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$. В обоих выражениях вычитаемое одинаково ($7 \cdot 6$). Сравним уменьшаемые: $14 \cdot 6$ и $16 \cdot 6$.

Так как $14 < 16$, то и $14 \cdot 6 < 16 \cdot 6$.

При вычитании одного и того же числа из меньшего уменьшаемого получится меньшая разность.

Ответ: $(14 - 7) \cdot 6 < 16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

д) Сравним выражения $(18 - 9) \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

Преобразуем первое выражение, используя распределительное свойство: $(18 - 9) \cdot 7 = 18 \cdot 7 - 9 \cdot 7$.

Теперь сравним $18 \cdot 7 - 9 \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$. Уменьшаемое в обоих выражениях одинаково ($18 \cdot 7$). Сравним вычитаемые: $9 \cdot 7$ и $11 \cdot 7$.

Так как $9 < 11$, то и $9 \cdot 7 < 11 \cdot 7$.

При вычитании меньшего числа из одного и того же уменьшаемого получится большая разность.

Ответ: $(18 - 9) \cdot 7 > 18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

е) Сравним выражения $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15$ и $(23 - 7) \cdot 15$.

Преобразуем первое выражение, вынеся общий множитель за скобки: $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 = (23 - 5) \cdot 15$.

Теперь сравним $(23 - 5) \cdot 15$ и $(23 - 7) \cdot 15$. Оба выражения имеют общий множитель 15. Сравним разности в скобках: $(23 - 5)$ и $(23 - 7)$.

Так как $5 < 7$, при вычитании меньшего числа из 23 получится больший результат: $23 - 5 > 23 - 7$.

Следовательно, при умножении на одно и то же положительное число 15, первое выражение будет больше второго.

Ответ: $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 > (23 - 7) \cdot 15$.

Вычислите удобным способом:

a) $12 \cdot 17 + 35 \cdot 13 + 17 \cdot 23;$

б) $41 \cdot 80 - 25 \cdot 41 + 55 \cdot 29;$

в) $29 \cdot 25 + 15 \cdot 6 + 19 \cdot 15;$

г) $26 \cdot 18 + 26 \cdot 17 + 14 \cdot 35.$

а) В выражении $12 \cdot 17 + 35 \cdot 13 + 17 \cdot 23$ сгруппируем слагаемые с общим множителем 17 и вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения: $ (12 \cdot 17 + 17 \cdot 23) + 35 \cdot 13 = 17 \cdot (12 + 23) + 35 \cdot 13 $. Выполним сложение в скобках: $17 \cdot 35 + 35 \cdot 13$. Теперь вынесем за скобки общий множитель 35: $35 \cdot (17 + 13)$. Выполним сложение в скобках и умножение: $35 \cdot 30 = 1050$.
Ответ: 1050

б) В выражении $41 \cdot 80 - 25 \cdot 41 + 55 \cdot 29$ сгруппируем первые два члена и вынесем за скобки общий множитель 41: $41 \cdot (80 - 25) + 55 \cdot 29$. Выполним вычитание в скобках: $41 \cdot 55 + 55 \cdot 29$. Теперь вынесем за скобки общий множитель 55: $55 \cdot (41 + 29)$. Выполним сложение в скобках и умножение: $55 \cdot 70 = 3850$.
Ответ: 3850

в) В выражении $29 \cdot 25 + 15 \cdot 6 + 19 \cdot 15$ сгруппируем слагаемые с общим множителем 15: $29 \cdot 25 + (15 \cdot 6 + 19 \cdot 15)$. Вынесем за скобки общий множитель 15: $29 \cdot 25 + 15 \cdot (6 + 19)$. Выполним сложение в скобках: $29 \cdot 25 + 15 \cdot 25$. Теперь вынесем за скобки общий множитель 25: $25 \cdot (29 + 15)$. Выполним сложение в скобках и умножение: $25 \cdot 44 = 1100$.
Ответ: 1100

г) В выражении $26 \cdot 18 + 26 \cdot 17 + 14 \cdot 35$ сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 26: $26 \cdot (18 + 17) + 14 \cdot 35$. Выполним сложение в скобках: $26 \cdot 35 + 14 \cdot 35$. Теперь вынесем за скобки общий множитель 35: $35 \cdot (26 + 14)$. Выполним сложение в скобках и умножение: $35 \cdot 40 = 1400$.
Ответ: 1400

236 Найдите значение выражения:

а) $8 \cdot 28 + 48 \cdot 7;$

б) $38 \cdot 150 - 45 \cdot 80;$

в) $24 \cdot 9 + 12 \cdot 27;$

г) $46 \cdot 75 - 65 \cdot 30.$

а) $8 \cdot 28 + 48 \cdot 7$
Для упрощения вычислений воспользуемся распределительным свойством умножения. Заметим, что $48 = 6 \cdot 8$.
$8 \cdot 28 + 48 \cdot 7 = 8 \cdot 28 + (6 \cdot 8) \cdot 7 = 8 \cdot 28 + 8 \cdot (6 \cdot 7) = 8 \cdot 28 + 8 \cdot 42$
Вынесем общий множитель $8$ за скобки:
$8 \cdot (28 + 42) = 8 \cdot 70 = 560$
Ответ: 560

б) $38 \cdot 150 - 45 \cdot 80$
Сначала вычислим каждое произведение по отдельности:
$38 \cdot 150 = 5700$
$45 \cdot 80 = 3600$
Теперь найдем разность полученных результатов:
$5700 - 3600 = 2100$
Ответ: 2100

в) $24 \cdot 9 + 12 \cdot 27$
Для упрощения вычислений представим $27$ как $3 \cdot 9$.
$24 \cdot 9 + 12 \cdot 27 = 24 \cdot 9 + 12 \cdot (3 \cdot 9) = 24 \cdot 9 + (12 \cdot 3) \cdot 9 = 24 \cdot 9 + 36 \cdot 9$
Вынесем общий множитель $9$ за скобки:
$(24 + 36) \cdot 9 = 60 \cdot 9 = 540$
Ответ: 540

г) $46 \cdot 75 - 65 \cdot 30$
Найдем общий множитель у чисел $75$ и $30$. Заметим, что $75 = 5 \cdot 15$ и $30 = 2 \cdot 15$.
$46 \cdot 75 - 65 \cdot 30 = 46 \cdot (5 \cdot 15) - 65 \cdot (2 \cdot 15) = (46 \cdot 5) \cdot 15 - (65 \cdot 2) \cdot 15$
Вычислим произведения в скобках:
$46 \cdot 5 = 230$
$65 \cdot 2 = 130$
Подставим полученные значения и вынесем общий множитель $15$ за скобки:
$230 \cdot 15 - 130 \cdot 15 = (230 - 130) \cdot 15 = 100 \cdot 15 = 1500$
Ответ: 1500