Страница 78 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

247 Купили 1 кг 800 г сухофруктов из яблок, груш и слив. Яблок в них 4 части, груш — 3 части, слив — 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в сухофруктах в отдельности?

Указание. Выразите массу сухофруктов в граммах.

Для решения задачи сначала переведем общую массу сухофруктов в граммы, как предложено в указании.

1. В одном килограмме 1000 граммов, следовательно, общая масса сухофруктов составляет:

$1 \text{ кг } 800 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 800 \text{ г} = 1800 \text{ г}$.

2. Далее найдем общее количество частей в смеси. Согласно условию, смесь состоит из 4 частей яблок, 3 частей груш и 2 частей слив. Сложим эти части:

$4 + 3 + 2 = 9$ (частей).

3. Теперь определим, какая масса приходится на одну часть. Для этого разделим общую массу сухофруктов на общее количество частей:

$1800 \text{ г} \div 9 = 200 \text{ г}$.

Таким образом, одна часть весит 200 граммов.

4. Наконец, рассчитаем массу каждого вида сухофруктов в отдельности, умножив количество их частей на массу одной части.

Яблоки

Масса яблок составляет 4 части:

$4 \times 200 \text{ г} = 800 \text{ г}$.
Ответ: 800 г.

Груши

Масса груш составляет 3 части:

$3 \times 200 \text{ г} = 600 \text{ г}$.
Ответ: 600 г.

Сливы

Масса слив составляет 2 части:

$2 \times 200 \text{ г} = 400 \text{ г}$.
Ответ: 400 г.

248 В сухофруктах яблоки составляют 7 частей, груши – 4 части, сливы – 5 частей. Сколько всего сухофруктов, если в них:

а) 160 г груш;

б) 280 г яблок;

в) 225 г слив?

Сначала найдем общее количество частей в смеси сухофруктов. Согласно условию, яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы — 5 частей.

1) $7 + 4 + 5 = 16$ (частей) — общее количество частей в смеси.

Теперь решим каждую подзадачу.

а) 160 г груш

Известно, что масса груш составляет 160 г, и это соответствует 4 частям смеси. Найдем массу одной части:

1) $160 : 4 = 40$ (г) — масса одной части.

Чтобы найти общую массу сухофруктов, умножим массу одной части на общее количество частей:

2) $40 * 16 = 640$ (г) — общая масса сухофруктов.

Ответ: 640 г.

б) 280 г яблок

Известно, что масса яблок составляет 280 г, и это соответствует 7 частям смеси. Найдем массу одной части:

1) $280 : 7 = 40$ (г) — масса одной части.

Теперь найдем общую массу сухофруктов:

2) $40 * 16 = 640$ (г) — общая масса сухофруктов.

Ответ: 640 г.

в) 225 г слив

Известно, что масса слив составляет 225 г, и это соответствует 5 частям смеси. Найдем массу одной части:

1) $225 : 5 = 45$ (г) — масса одной части.

Теперь найдем общую массу сухофруктов:

2) $45 * 16 = 720$ (г) — общая масса сухофруктов.

Ответ: 720 г.

При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова. Сколько свинца и олова содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?

Решите эту задачу по плану:

1) Сколько частей составляют 360 г?

2) Сколько граммов приходится на 1 часть?

3) Сколько свинца в сплаве?

4) Сколько олова в сплаве?

1) Сколько частей составляют 360 г?

Согласно условию, сплав содержит 5 частей олова и 2 части свинца. Чтобы найти, на сколько частей олова больше, чем свинца, нужно из количества частей олова вычесть количество частей свинца: $5 - 2 = 3$ части. По условию задачи, эта разница в 3 части соответствует 360 г.
Ответ: 360 г составляют 3 части.

2) Сколько граммов приходится на 1 часть?

Мы знаем, что 3 части составляют 360 г. Чтобы найти массу одной части, нужно общую разницу в массе разделить на разницу в частях: $360 / 3 = 120$ г.
Ответ: на 1 часть приходится 120 граммов.

3) Сколько свинца в сплаве?

В сплаве содержится 2 части свинца. Чтобы найти массу свинца, нужно количество его частей умножить на массу одной части: $2 \times 120 = 240$ г.
Ответ: в сплаве 240 г свинца.

4) Сколько олова в сплаве?

В сплаве содержится 5 частей олова. Чтобы найти массу олова, нужно количество его частей умножить на массу одной части: $5 \times 120 = 600$ г. Можно также проверить, что разница между массой олова и свинца равна 360 г: $600 - 240 = 360$ г.
Ответ: в сплаве 600 г олова.

250 Купили 60 тетрадей, причём тетрадей в клетку в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку (рис. 4.3). Сколько частей приходится на тетради в линейку? на тетради в клетку? на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько — в клетку?

4.3

60

I

II

Для решения задачи примем количество тетрадей в линейку за одну часть. Тогда, согласно условию, количество тетрадей в клетку будет составлять две части.

Сколько частей приходится на тетради в линейку?

Примем количество тетрадей в линейку за 1 часть.
Ответ: 1 часть.

на тетради в клетку?

Так как тетрадей в клетку в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку, на них приходится в 2 раза больше частей:
$1 \cdot 2 = 2$ (части).
Ответ: 2 части.

на все тетради?

Сложим части, приходящиеся на тетради в линейку и в клетку, чтобы найти общее количество частей:
$1 + 2 = 3$ (части).
Ответ: 3 части.

Сколько купили тетрадей в линейку?

Всего купили 60 тетрадей, что соответствует 3 частям. Найдем, сколько тетрадей приходится на одну часть:
$60 \div 3 = 20$ (тетрадей).
Поскольку тетради в линейку составляют 1 часть, их количество равно 20.
Ответ: 20 тетрадей.

Сколько — в клетку?

Тетради в клетку составляют 2 части. Умножим количество тетрадей в одной части на 2:
$20 \cdot 2 = 40$ (тетрадей).
Проверка: $20 + 40 = 60$ тетрадей.
Ответ: 40 тетрадей.

251 a) На двух полках вместе 120 книг, причём на первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в этих вагонах 72 места. Сколько спальных мест в мягком вагоне?

а)

Обозначим количество книг на второй полке через $x$. По условию, на первой полке книг в 3 раза больше, значит, на ней находится $3x$ книг. Суммарное количество книг на двух полках равно 120. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 120$

$4x = 120$

$x = 120 / 4$

$x = 30$

Таким образом, на второй полке 30 книг. Теперь найдем количество книг на первой полке:

$3 * 30 = 90$ (книг).

Проверка: $30 + 90 = 120$.

Ответ: на первой полке 90 книг, на второй — 30 книг.

б)

Обозначим количество спальных мест в мягком вагоне через $y$. По условию, в плацкартном вагоне мест в 3 раза больше, то есть $3y$ мест. Всего в двух вагонах 72 места. Составим и решим уравнение:

$y + 3y = 72$

$4y = 72$

$y = 72 / 4$

$y = 18$

Следовательно, в мягком вагоне 18 спальных мест.

Ответ: в мягком вагоне 18 спальных мест.

252 а) Коля и Таня рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 орехов. Таня сорвала в 2 раза меньше орехов, чем Коля. Сколько орехов было у Коли и сколько у Тани?

б) Алина прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала Алина?

Подсказка. Переформулируйте каждую задачу, используя слово «больше».

а)

Давайте решим эту задачу, используя подсказку и переформулировав условие. Если Таня сорвала в 2 раза меньше орехов, чем Коля, это значит, что Коля сорвал в 2 раза больше орехов, чем Таня.

Примем количество орехов, которое сорвала Таня, за одну часть. Тогда количество орехов, которое сорвал Коля, составляет две такие же части.

1. Найдем общее количество частей:

$1 + 2 = 3$ (части)

2. Теперь разделим общее количество орехов на количество частей, чтобы узнать, сколько орехов приходится на одну часть (то есть сколько орехов сорвала Таня):

$120 / 3 = 40$ (орехов) — сорвала Таня.

3. Найдем, сколько орехов сорвал Коля, умножив количество орехов в одной части на два:

$40 * 2 = 80$ (орехов) — сорвал Коля.

Проверка: $40 + 80 = 120$.

Ответ: у Коли было 80 орехов, а у Тани 40 орехов.

б)

Переформулируем задачу, как предложено в подсказке. Если Алина прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать, значит, ей осталось прочитать в 3 раза больше страниц, чем она уже прочитала.

Примем количество прочитанных страниц за одну часть. Тогда количество страниц, которые осталось прочитать, составляет три такие же части.

1. Найдем общее количество частей в книге:

$1 + 3 = 4$ (части)

2. Разделим общее количество страниц в книге на общее количество частей, чтобы узнать, сколько страниц в одной части (то есть сколько страниц прочитала Алина):

$176 / 4 = 44$ (страницы)

Проверка: Алина прочитала 44 страницы. Ей осталось прочитать $44 * 3 = 132$ страницы. Всего в книге $44 + 132 = 176$ страниц, что соответствует условию.

Ответ: Алина прочитала 44 страницы.

253 Дочка младше мамы в 4 раза и младше бабушки в 9 раз. Сколько лет каждой, если вместе им 98 лет?

Решение

Обозначим возраст дочки за $x$ лет.

Из условия задачи следует, что дочка младше мамы в 4 раза. Это значит, что возраст мамы в 4 раза больше возраста дочки, то есть возраст мамы составляет $4x$ лет.

Также дочка младше бабушки в 9 раз. Следовательно, возраст бабушки в 9 раз больше возраста дочки, то есть возраст бабушки составляет $9x$ лет.

Суммарный возраст дочки, мамы и бабушки равен 98 лет. Мы можем составить уравнение, сложив их возрасты:

$x + 4x + 9x = 98$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$14x = 98$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 14:

$x = \frac{98}{14}$

$x = 7$

Итак, возраст дочки — 7 лет.

Теперь, зная возраст дочки, мы можем найти возраст мамы и бабушки:

• Возраст мамы: $4x = 4 \cdot 7 = 28$ лет.
• Возраст бабушки: $9x = 9 \cdot 7 = 63$ года.

Проверим наше решение, сложив возрасты всех троих:

$7 + 28 + 63 = 98$

Сумма возрастов совпадает с условием задачи.

Ответ: возраст дочки — 7 лет, возраст мамы — 28 лет, возраст бабушки — 63 года.

254 У Серёжи в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Васи, а у Андрея в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея на 80 марок больше, чем у Серёжи?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество марок у Серёжи.

Согласно условию, у Серёжи в 3 раза меньше марок, чем у Васи. Это означает, что у Васи в 3 раза больше марок, чем у Серёжи. Таким образом, количество марок у Васи равно $3x$.

Также в условии сказано, что у Андрея в 2 раза больше марок, чем у Васи. Значит, количество марок у Андрея равно $2 \cdot (3x) = 6x$.

Нам известно, что у Андрея на 80 марок больше, чем у Серёжи. Составим уравнение, исходя из этого условия:

Количество марок у Андрея $-$ Количество марок у Серёжи = 80

$6x - x = 80$

Теперь решим это уравнение:

$5x = 80$

$x = \frac{80}{5}$

$x = 16$

Итак, мы нашли, что у Серёжи 16 марок.

Теперь найдем количество марок у Васи и Андрея:

• Количество марок у Васи: $3x = 3 \cdot 16 = 48$ марок.
• Количество марок у Андрея: $6x = 6 \cdot 16 = 96$ марок.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности расчетов. Разница между количеством марок у Андрея и Серёжи должна быть 80:

$96 - 16 = 80$

Условие выполняется, значит, задача решена верно.

Ответ: у Серёжи — 16 марок, у Васи — 48 марок, у Андрея — 96 марок.