Страница 85 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

273 Скопируйте в тетрадь углы, изображённые на рисунке 5.7. Какой из этих углов острый, какой — тупой, а какой — прямой?

$∠ABC$

$∠KED$

$∠MON$

Для того чтобы определить вид каждого угла, сравним его с прямым углом, который равен $90^\circ$.

• Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (меньше $90^\circ$).
• Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого угла (больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$).
• Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$.

Угол ABC
Этот угол меньше, чем прямой угол. Если из вершины B провести перпендикуляр к стороне BC, он будет направлен вертикально вверх, а сторона BA проходит ниже этого перпендикуляра. Следовательно, угол ABC меньше $90^\circ$.
Ответ: острый.

Угол KED
Этот угол больше, чем прямой угол. Если мысленно построить прямой угол с вершиной в точке E (например, состоящий из горизонтальной и вертикальной линий), то можно увидеть, что стороны KE и ED расходятся шире. Следовательно, угол KED больше $90^\circ$.
Ответ: тупой.

Угол MON
Этот угол является прямым. Его стороны OM и ON симметричны относительно вертикальной линии, проходящей через вершину O. Луч OM проходит через диагонали клеток сетки (смещаясь на 2 клетки влево и на 2 вверх), а луч ON также проходит через диагонали (смещаясь на 2 клетки вправо и 2 вверх). Такое расположение образует угол в $90^\circ$.
Ответ: прямой.

274 Начертите на листе в клетку прямой угол. С помощью перегибания листа найдите его биссектрису и начертите её карандашом.

Чтобы начертить прямой угол и найти его биссектрису с помощью перегибания листа, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построение прямого угла на листе в клетку

Возьмите лист бумаги в клетку. Выберите точку на пересечении горизонтальной и вертикальной линий сетки — это будет вершина угла. С помощью линейки и карандаша проведите из этой вершины два луча вдоль линий сетки: один луч по горизонтальной линии, а второй — по вертикальной. Так как линии сетки перпендикулярны друг другу, полученный угол будет прямым, то есть его величина составит $90^\circ$.

2. Нахождение биссектрисы с помощью перегибания листа

Биссектриса — это луч, который делит угол пополам. Чтобы найти её, аккуратно согните лист бумаги так, чтобы один начерченный луч (сторона угла) точно совпал с другим лучом. Линия сгиба при этом должна проходить через вершину угла. После того как стороны угла будут совмещены, тщательно прогладьте сгиб, чтобы на бумаге остался чёткий след.

3. Построение биссектрисы карандашом

Разверните лист бумаги. Вы увидите линию сгиба, которая начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Эта линия и является искомой биссектрисой. Возьмите линейку, приложите её к линии сгиба и проведите карандашом луч, исходящий из вершины угла. Этот луч разделит прямой угол ($90^\circ$) на два равных угла, каждый из которых равен $45^\circ$. На листе в клетку эта биссектриса будет проходить точно по диагоналям клеток.

Ответ: В результате выполненных действий на листе бумаги будет начерчен прямой угол и его биссектриса. Биссектриса — это луч, который делит прямой угол на два равных угла по $45^\circ$ и который был найден с помощью перегибания листа.

275 1) Сравните углы, на которые поворачивается стрелка часов от цифры 1 до цифры 3 и от цифры 4 до цифры 6.

2) На какой угол (острый, прямой, тупой или развёрнутый) поворачивается часовая стрелка за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч, 6 ч?

3) Минутная стрелка за 15 мин поворачивается на некоторый угол. За какое время на тот же угол поворачивается часовая стрелка?

1) Сравните углы, на которые поворачивается стрелка часов от цифры 1 до цифры 3 и от цифры 4 до цифры 6.
Циферблат часов представляет собой окружность ($360^\circ$), разделенную на 12 часовых делений. Следовательно, угол между двумя соседними цифрами составляет $360^\circ / 12 = 30^\circ$.
При движении от цифры 1 до цифры 3 часовая стрелка проходит $3 - 1 = 2$ часовых деления. Угол поворота в этом случае равен $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
При движении от цифры 4 до цифры 6 часовая стрелка также проходит $6 - 4 = 2$ часовых деления. Угол поворота также равен $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Поскольку $60^\circ = 60^\circ$, углы равны.
Ответ: Углы, на которые поворачивается стрелка часов в обоих случаях, равны.

2) На какой угол (острый, прямой, тупой или развёрнутый) поворачивается часовая стрелка за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч, 6 ч?
За 1 час часовая стрелка поворачивается на $360^\circ / 12 = 30^\circ$.
- За 1 ч стрелка повернется на $1 \times 30^\circ = 30^\circ$. Это острый угол (меньше $90^\circ$).
- За 2 ч стрелка повернется на $2 \times 30^\circ = 60^\circ$. Это острый угол.
- За 3 ч стрелка повернется на $3 \times 30^\circ = 90^\circ$. Это прямой угол.
- За 4 ч стрелка повернется на $4 \times 30^\circ = 120^\circ$. Это тупой угол (больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$).
- За 5 ч стрелка повернется на $5 \times 30^\circ = 150^\circ$. Это тупой угол.
- За 6 ч стрелка повернется на $6 \times 30^\circ = 180^\circ$. Это развёрнутый угол.
Ответ: за 1 ч и 2 ч – на острый угол; за 3 ч – на прямой угол; за 4 ч и 5 ч – на тупой угол; за 6 ч – на развёрнутый угол.

3) Минутная стрелка за 15 мин поворачивается на некоторый угол. За какое время на тот же угол поворачивается часовая стрелка?
Сначала определим угол поворота минутной стрелки. За 60 минут она совершает полный оборот ($360^\circ$). Скорость ее движения составляет $360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту.
За 15 минут минутная стрелка повернется на угол: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.
Теперь найдем, за какое время часовая стрелка повернется на тот же угол, то есть на $90^\circ$. Скорость движения часовой стрелки составляет $30^\circ$ в час.
Чтобы найти время, разделим величину угла на скорость движения стрелки: $Время = \frac{90^\circ}{30^\circ/\text{час}} = 3$ часа.
Ответ: Часовая стрелка повернется на тот же угол за 3 часа.

276 С помощью угольника найдите на рисунке 5.8 прямой угол. Найдите и назовите острые углы, тупые углы. Сравните углы $AOD$ и $COB$, $AOC$ и $BOD$. Сколько всего углов, меньших развёрнутого, на рисунке?

$D$

$C$

$A$ $O$ $B$

5.8

С помощью угольника найдите на рисунке 5.8 прямой угол.

Если приложить угольник к вершине $O$ так, чтобы одна его сторона совпала с лучом $OC$, то другая сторона совпадет с лучом $OD$. Это означает, что угол $ \angle DOC $ является прямым, то есть его градусная мера равна $ 90^\circ $.
Ответ: Прямой угол на рисунке — это $ \angle DOC $.

Найдите и назовите острые углы, тупые углы.

Острый угол — это угол, меньший $ 90^\circ $. Тупой угол — это угол, больший $ 90^\circ $, но меньший $ 180^\circ $.
Угол $ \angle AOB $ является развёрнутым, его величина составляет $ 180^\circ $. Он состоит из суммы трёх углов: $ \angle AOD $, $ \angle DOC $ и $ \angle COB $.
$ \angle AOB = \angle AOD + \angle DOC + \angle COB = 180^\circ $.
Поскольку мы установили, что $ \angle DOC = 90^\circ $, то сумма двух других углов равна:
$ \angle AOD + \angle COB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.
Так как оба угла, $ \angle AOD $ и $ \angle COB $, имеют положительную величину, то каждый из них меньше $ 90^\circ $. Следовательно, углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $ — острые.
Рассмотрим угол $ \angle AOC $. Он состоит из суммы углов $ \angle AOD $ и $ \angle DOC $.
$ \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC $. Так как $ \angle DOC = 90^\circ $ и $ \angle AOD > 0^\circ $, то $ \angle AOC > 90^\circ $. Следовательно, $ \angle AOC $ — тупой.
Рассмотрим угол $ \angle BOD $. Он состоит из суммы углов $ \angle BOC $ и $ \angle DOC $.
$ \angle BOD = \angle BOC + \angle DOC $. Так как $ \angle DOC = 90^\circ $ и $ \angle BOC > 0^\circ $, то $ \angle BOD > 90^\circ $. Следовательно, $ \angle BOD $ — тупой.
Ответ: Острые углы: $ \angle AOD, \angle COB $. Тупые углы: $ \angle AOC, \angle BOD $.

Сравните углы $AOD$ и $COB$, $AOC$ и $BOD$.

Сравним углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $. Визуально по рисунку можно определить, что лучи $OD$ и $OC$ не симметричны относительно перпендикуляра к прямой $AB$, проведенного из точки $O$. Значит, эти углы не равны.
$ \angle AOD \neq \angle COB $.
Теперь сравним углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $. Мы знаем, что:
$ \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC = \angle AOD + 90^\circ $
$ \angle BOD = \angle COB + \angle DOC = \angle COB + 90^\circ $
Поскольку $ \angle AOD \neq \angle COB $, то и $ \angle AOC \neq \angle BOD $.
Ответ: $ \angle AOD \neq \angle COB $; $ \angle AOC \neq \angle BOD $.

Сколько всего углов, меньших развёрнутого, на рисунке?

Развёрнутый угол на рисунке — это $ \angle AOB = 180^\circ $. Нам нужно посчитать все углы, которые меньше него. Это углы, образованные лучами $OA, OD, OC, OB$, выходящими из вершины $O$.
Перечислим все такие углы:
1. $ \angle AOD $ (острый)
2. $ \angle DOC $ (прямой)
3. $ \angle COB $ (острый)
4. $ \angle AOC $ (составной, $ \angle AOD + \angle DOC $, тупой)
5. $ \angle DOB $ (составной, $ \angle DOC + \angle COB $, тупой)
Таким образом, на рисунке 5 углов, меньших развёрнутого.
Ответ: 5 углов.

277 Начертите два угла с общей стороной так, чтобы вместе они составляли:

а) развёрнутый угол;

б) тупой угол;

в) острый угол.

а) развёрнутый угол

Развёрнутый угол — это угол, градусная мера которого равна $180^\circ$. Его стороны представляют собой два луча, выходящие из одной точки и образующие прямую линию. Чтобы два угла с общей стороной вместе составляли развёрнутый угол, они должны быть смежными, а их сумма должна равняться $180^\circ$.

Для построения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить прямую линию и отметить на ней точку O. Эта точка будет общей вершиной двух углов.
2. Провести из точки O луч OB, который не лежит на этой прямой. Этот луч будет общей стороной двух углов.
3. Прямая, на которой лежит точка O, разделена этой точкой на два луча, например, OA и OC, направленные в противоположные стороны.
4. В результате мы получаем два смежных угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Их общая сторона — луч OB.
5. Сумма этих углов составляет развёрнутый угол $\angle AOC$, так как лучи OA и OC лежат на одной прямой: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 180^\circ$.

Например, можно взять острый угол $\angle AOB = 70^\circ$ и тупой угол $\angle BOC = 110^\circ$. Их сумма будет $70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Нужно начертить два смежных угла, сумма градусных мер которых равна $180^\circ$. Например, один угол $70^\circ$ и второй $110^\circ$.

б) тупой угол

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Чтобы два угла с общей стороной вместе составляли тупой угол, сумма их градусных мер должна находиться в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$.

Для построения:

1. Начертим произвольный тупой угол, например, $\angle AOC = 120^\circ$. Точка O — вершина, лучи OA и OC — стороны.
2. Из вершины O проведём луч OB так, чтобы он проходил между сторонами OA и OC. Этот луч будет общей стороной.
3. В результате тупой угол $\angle AOC$ разделится на два меньших угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$.
4. Сумма этих двух углов равна исходному тупому углу: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$.

Например, можно взять два острых угла: пусть $\angle AOB = 50^\circ$ и $\angle BOC = 70^\circ$. Вместе они составляют угол $\angle AOC = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, полученный угол является тупым.

Ответ: Нужно начертить два угла с общей стороной, сумма которых больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Например, можно сложить два острых угла $50^\circ$ и $70^\circ$.

в) острый угол

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Чтобы два угла с общей стороной вместе составляли острый угол, сумма их градусных мер должна быть меньше $90^\circ$. Это означает, что оба исходных угла должны быть острыми.

Для построения:

1. Начертим произвольный острый угол, например, $\angle AOC = 80^\circ$. Точка O — вершина, лучи OA и OC — стороны.
2. Из вершины O проведём луч OB, который проходит между сторонами OA и OC. Этот луч будет общей стороной.
3. В результате острый угол $\angle AOC$ разделится на два меньших острых угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$.
4. Сумма этих двух углов равна исходному острому углу: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$.

Например, возьмём два острых угла: пусть $\angle AOB = 30^\circ$ и $\angle BOC = 50^\circ$. Вместе они составляют угол $\angle AOC = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$. Так как $0^\circ < 80^\circ < 90^\circ$, полученный угол является острым.

Ответ: Нужно начертить два острых угла с общей стороной, сумма которых меньше $90^\circ$. Например, можно сложить углы $30^\circ$ и $50^\circ$.

278 1) Начертите угол $BOC$. Постройте угол $AOB$, дополняющий его до развёрнутого угла. Постройте угол $DOC$, дополняющий угол $BOC$ до развёрнутого.

2) Каким является угол $AOB$, если угол $BOC$ острый; прямой; тупой?

3) Верно ли, что углы $AOB$ и $DOC$ равны? Почему?

1)

Чтобы выполнить построение, следуйте шагам:

1. Начертите произвольный угол $BOC$. Он имеет вершину в точке $O$ и стороны, образованные лучами $OB$ и $OC$.
2. Чтобы построить угол $AOB$, дополняющий угол $BOC$ до развёрнутого, необходимо из вершины $O$ провести луч $OA$ так, чтобы он являлся продолжением луча $OC$. В результате лучи $OA$ и $OC$ образуют прямую линию $AC$. Углы $AOB$ и $BOC$ будут смежными, а их сумма будет равна $180^\circ$.
3. Аналогично, чтобы построить угол $DOC$, дополняющий угол $BOC$ до развёрнутого, необходимо из вершины $O$ провести луч $OD$ так, чтобы он являлся продолжением луча $OB$. В результате лучи $OD$ и $OB$ образуют прямую линию $DB$. Углы $DOC$ и $BOC$ также будут смежными, и их сумма будет равна $180^\circ$.

В результате такого построения получатся две прямые, $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$.

Ответ: Построение описано выше. В результате получаются две пересекающиеся в точке $O$ прямые $AC$ и $BD$.

2)

Углы $AOB$ и $BOC$ дополняют друг друга до развёрнутого угла, значит, они являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Из этого следует, что $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$.

Рассмотрим три случая в зависимости от вида угла $BOC$:

• Если угол $BOC$ — острый ($0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$), то $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$ будет больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Следовательно, угол $AOB$ — тупой.
• Если угол $BOC$ — прямой ($\angle BOC = 90^\circ$), то $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, угол $AOB$ — также прямой.
• Если угол $BOC$ — тупой ($90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$), то $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$ будет больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Следовательно, угол $AOB$ — острый.

Ответ: Если угол $BOC$ острый, то угол $AOB$ — тупой; если угол $BOC$ прямой, то угол $AOB$ — прямой; если угол $BOC$ тупой, то угол $AOB$ — острый.

3)

Да, утверждение, что углы $AOB$ и $DOC$ равны, верно. Вот почему:

По условию, угол $AOB$ дополняет угол $BOC$ до развёрнутого, что математически записывается как:

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Также по условию, угол $DOC$ дополняет угол $BOC$ до развёрнутого, что записывается как:

$\angle DOC + \angle BOC = 180^\circ$

Мы имеем два выражения, которые равны $180^\circ$. Следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$\angle AOB + \angle BOC = \angle DOC + \angle BOC$

Вычтем из обеих частей равенства величину угла $BOC$:

$\angle AOB = \angle DOC$

Это доказывает, что углы $AOB$ и $DOC$ равны. Такие углы также называют вертикальными.

Ответ: Да, верно. Углы $AOB$ и $DOC$ равны, так как каждый из них является дополнением одного и того же угла $BOC$ до $180^\circ$.

279 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Постройте окружность и проведите её диаметр $AB$. Постройте угол $\angle ACB$ с вершиной $C$, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым) является этот угол? Постройте и измерьте ещё два угла с вершинами на окружности, «опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать?

2) Начертите в тетради окружность. Проведите отрезок $AB$ с концами на окружности, не являющийся диаметром. Отметьте на окружности точки $C$, $D$ и $E$ так, чтобы угол $\angle ABC$ был прямым, угол $\angle ABD$ — острым, угол $\angle ABE$ — тупым.

1)

Построим окружность с центром в точке O. Проведем через центр O отрезок AB, концы которого лежат на окружности. Отрезок AB является диаметром окружности. Далее выберем на окружности произвольную точку C, не совпадающую с точками A и B. Соединим точку C с точками A и B, получив треугольник ABC и вписанный угол ACB.

Угол ACB является вписанным углом, который опирается на дугу AB. Так как AB — это диаметр, то дуга, на которую он опирается, является полуокружностью, и её градусная мера составляет $180^\circ$.

По свойству вписанных углов, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина угла ACB будет:

$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $

Таким образом, угол ACB является прямым. Если мы выберем любые другие две точки на окружности (например, D и E) и построим углы ADB и AEB, они также будут опираться на диаметр AB. Следовательно, эти углы также будут прямыми ($90^\circ$). Измерения этих углов с помощью транспортира подтвердят данный вывод.

Вывод: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым.

Ответ: Угол ACB является прямым. Все углы с вершинами на окружности, опирающиеся на диаметр, являются прямыми и равны $90^\circ$.

2)

Начертим окружность с центром в точке O и проведем хорду AB, которая не является диаметром.

Чтобы угол ABC был прямым:

Вписанный угол ($\angle ABC$) является прямым, если дуга, на которую он опирается (дуга AC), равна $180^\circ$. Это означает, что хорда AC должна быть диаметром окружности. Таким образом, чтобы найти точку C, нужно провести прямую через точку A и центр окружности O до пересечения с окружностью. Точка пересечения и будет искомой точкой C. Угол ABC, построенный таким образом, будет прямым, т.е. $\angle ABC = 90^\circ$.

Чтобы угол ABD был острым:

Вписанный угол ($\angle ABD$) является острым, если дуга, на которую он опирается (дуга AD), меньше $180^\circ$. Чтобы это условие выполнилось, нужно выбрать точку D на окружности так, чтобы точки A и D не были диаметрально противоположными. В нашем случае, после построения диаметра AC, окружность разделена на две полуокружности. Если выбрать точку D на той же дуге AC, на которой лежит точка B, то дуга AD будет меньше дуги AC ($180^\circ$). Следовательно, угол $\angle ABD$ будет меньше $\angle ABC$, то есть $\angle ABD < 90^\circ$.

Чтобы угол ABE был тупым:

Вписанный угол ($\angle ABE$) является тупым, если дуга, на которую он опирается (дуга AE), больше $180^\circ$. Для этого нужно выбрать точку E на окружности так, чтобы она лежала на большей дуге, стягиваемой хордой AE. В нашем случае, если выбрать точку E на дуге AC, не содержащей точку B, то дуга AE (проходящая через точку B) будет больше полуокружности. Следовательно, угол $\angle ABE$ будет больше $90^\circ$.

Ответ: Для получения прямого угла $\angle ABC$, точка C должна быть такова, что AC является диаметром. Для острого угла $\angle ABD$, точка D должна лежать на дуге AC, содержащей B. Для тупого угла $\angle ABE$, точка E должна лежать на дуге AC, не содержащей B.