Номер 278, страница 85 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

278 1) Начертите угол $BOC$. Постройте угол $AOB$, дополняющий его до развёрнутого угла. Постройте угол $DOC$, дополняющий угол $BOC$ до развёрнутого.

2) Каким является угол $AOB$, если угол $BOC$ острый; прямой; тупой?

3) Верно ли, что углы $AOB$ и $DOC$ равны? Почему?

1)

Чтобы выполнить построение, следуйте шагам:

1. Начертите произвольный угол $BOC$. Он имеет вершину в точке $O$ и стороны, образованные лучами $OB$ и $OC$.
2. Чтобы построить угол $AOB$, дополняющий угол $BOC$ до развёрнутого, необходимо из вершины $O$ провести луч $OA$ так, чтобы он являлся продолжением луча $OC$. В результате лучи $OA$ и $OC$ образуют прямую линию $AC$. Углы $AOB$ и $BOC$ будут смежными, а их сумма будет равна $180^\circ$.
3. Аналогично, чтобы построить угол $DOC$, дополняющий угол $BOC$ до развёрнутого, необходимо из вершины $O$ провести луч $OD$ так, чтобы он являлся продолжением луча $OB$. В результате лучи $OD$ и $OB$ образуют прямую линию $DB$. Углы $DOC$ и $BOC$ также будут смежными, и их сумма будет равна $180^\circ$.

В результате такого построения получатся две прямые, $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$.

Ответ: Построение описано выше. В результате получаются две пересекающиеся в точке $O$ прямые $AC$ и $BD$.

2)

Углы $AOB$ и $BOC$ дополняют друг друга до развёрнутого угла, значит, они являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Из этого следует, что $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$.

Рассмотрим три случая в зависимости от вида угла $BOC$:

• Если угол $BOC$ — острый ($0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$), то $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$ будет больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Следовательно, угол $AOB$ — тупой.
• Если угол $BOC$ — прямой ($\angle BOC = 90^\circ$), то $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, угол $AOB$ — также прямой.
• Если угол $BOC$ — тупой ($90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$), то $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC$ будет больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Следовательно, угол $AOB$ — острый.

Ответ: Если угол $BOC$ острый, то угол $AOB$ — тупой; если угол $BOC$ прямой, то угол $AOB$ — прямой; если угол $BOC$ тупой, то угол $AOB$ — острый.

3)

Да, утверждение, что углы $AOB$ и $DOC$ равны, верно. Вот почему:

По условию, угол $AOB$ дополняет угол $BOC$ до развёрнутого, что математически записывается как:

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Также по условию, угол $DOC$ дополняет угол $BOC$ до развёрнутого, что записывается как:

$\angle DOC + \angle BOC = 180^\circ$

Мы имеем два выражения, которые равны $180^\circ$. Следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$\angle AOB + \angle BOC = \angle DOC + \angle BOC$

Вычтем из обеих частей равенства величину угла $BOC$:

$\angle AOB = \angle DOC$

Это доказывает, что углы $AOB$ и $DOC$ равны. Такие углы также называют вертикальными.

Ответ: Да, верно. Углы $AOB$ и $DOC$ равны, так как каждый из них является дополнением одного и того же угла $BOC$ до $180^\circ$.