Номер 279, страница 85 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

279 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Постройте окружность и проведите её диаметр $AB$. Постройте угол $\angle ACB$ с вершиной $C$, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым) является этот угол? Постройте и измерьте ещё два угла с вершинами на окружности, «опирающиеся» на диаметр. Какой вывод можно сделать?

2) Начертите в тетради окружность. Проведите отрезок $AB$ с концами на окружности, не являющийся диаметром. Отметьте на окружности точки $C$, $D$ и $E$ так, чтобы угол $\angle ABC$ был прямым, угол $\angle ABD$ — острым, угол $\angle ABE$ — тупым.

1)

Построим окружность с центром в точке O. Проведем через центр O отрезок AB, концы которого лежат на окружности. Отрезок AB является диаметром окружности. Далее выберем на окружности произвольную точку C, не совпадающую с точками A и B. Соединим точку C с точками A и B, получив треугольник ABC и вписанный угол ACB.

Угол ACB является вписанным углом, который опирается на дугу AB. Так как AB — это диаметр, то дуга, на которую он опирается, является полуокружностью, и её градусная мера составляет $180^\circ$.

По свойству вписанных углов, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина угла ACB будет:

$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $

Таким образом, угол ACB является прямым. Если мы выберем любые другие две точки на окружности (например, D и E) и построим углы ADB и AEB, они также будут опираться на диаметр AB. Следовательно, эти углы также будут прямыми ($90^\circ$). Измерения этих углов с помощью транспортира подтвердят данный вывод.

Вывод: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым.

Ответ: Угол ACB является прямым. Все углы с вершинами на окружности, опирающиеся на диаметр, являются прямыми и равны $90^\circ$.

2)

Начертим окружность с центром в точке O и проведем хорду AB, которая не является диаметром.

Чтобы угол ABC был прямым:

Вписанный угол ($\angle ABC$) является прямым, если дуга, на которую он опирается (дуга AC), равна $180^\circ$. Это означает, что хорда AC должна быть диаметром окружности. Таким образом, чтобы найти точку C, нужно провести прямую через точку A и центр окружности O до пересечения с окружностью. Точка пересечения и будет искомой точкой C. Угол ABC, построенный таким образом, будет прямым, т.е. $\angle ABC = 90^\circ$.

Чтобы угол ABD был острым:

Вписанный угол ($\angle ABD$) является острым, если дуга, на которую он опирается (дуга AD), меньше $180^\circ$. Чтобы это условие выполнилось, нужно выбрать точку D на окружности так, чтобы точки A и D не были диаметрально противоположными. В нашем случае, после построения диаметра AC, окружность разделена на две полуокружности. Если выбрать точку D на той же дуге AC, на которой лежит точка B, то дуга AD будет меньше дуги AC ($180^\circ$). Следовательно, угол $\angle ABD$ будет меньше $\angle ABC$, то есть $\angle ABD < 90^\circ$.

Чтобы угол ABE был тупым:

Вписанный угол ($\angle ABE$) является тупым, если дуга, на которую он опирается (дуга AE), больше $180^\circ$. Для этого нужно выбрать точку E на окружности так, чтобы она лежала на большей дуге, стягиваемой хордой AE. В нашем случае, если выбрать точку E на дуге AC, не содержащей точку B, то дуга AE (проходящая через точку B) будет больше полуокружности. Следовательно, угол $\angle ABE$ будет больше $90^\circ$.

Ответ: Для получения прямого угла $\angle ABC$, точка C должна быть такова, что AC является диаметром. Для острого угла $\angle ABD$, точка D должна лежать на дуге AC, содержащей B. Для тупого угла $\angle ABE$, точка E должна лежать на дуге AC, не содержащей B.