Страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

255 а) В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

б) В двух коробках 60 дисков. В одной из них на 12 дисков меньше, чем в другой. Сколько дисков в каждой коробке?

а)

Обозначим количество карандашей во второй коробке как $x$. По условию, в первой коробке на 6 карандашей больше, значит, в ней $(x + 6)$ карандашей. Всего в двух коробках 30 карандашей. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 6) = 30$

$2x + 6 = 30$

$2x = 30 - 6$

$2x = 24$

$x = 24 / 2$

$x = 12$

Таким образом, во второй коробке 12 карандашей. Теперь найдем количество карандашей в первой коробке:

$12 + 6 = 18$

Проверка: $12 + 18 = 30$.

Ответ: в первой коробке 18 карандашей, во второй — 12 карандашей.

б)

Пусть в одной из коробок (в той, где меньше дисков) находится $y$ дисков. Тогда в другой коробке на 12 дисков больше, то есть $(y + 12)$ дисков. Всего в двух коробках 60 дисков. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 12) = 60$

$2y + 12 = 60$

$2y = 60 - 12$

$2y = 48$

$y = 48 / 2$

$y = 24$

Значит, в коробке с меньшим количеством дисков — 24 диска. Тогда в другой коробке:

$24 + 12 = 36$

Проверка: $24 + 36 = 60$.

Ответ: в одной коробке 24 диска, в другой — 36 дисков.

256 Брат с сестрой собрали в лесу 25 белых грибов. Брат нашёл на 7 грибов больше, чем его сестра. Сколько грибов нашёл брат?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Арифметический

1. Сначала мы можем убрать "излишек" грибов, который нашёл брат, чтобы уравнять их количество. Брат нашёл на 7 грибов больше, поэтому вычтем 7 из общего числа грибов:
$25 - 7 = 18$ (грибов)
Это количество грибов, которое они собрали бы вместе, если бы нашли поровну.

2. Теперь разделим получившееся число на 2, чтобы узнать, сколько грибов приходится на долю сестры (меньшую долю):
$18 / 2 = 9$ (грибов)
Столько грибов нашла сестра.

3. По условию задачи, брат нашёл на 7 грибов больше, чем сестра. Прибавим 7 к количеству грибов, найденных сестрой, чтобы узнать, сколько грибов нашёл брат:
$9 + 7 = 16$ (грибов)

Проверка: $16$ (грибы брата) + $9$ (грибы сестры) = $25$ (всего грибов). $16 - 9 = 7$ (разница). Всё верно.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

1. Обозначим количество грибов, которое нашла сестра, за $x$.
Тогда количество грибов, которое нашёл брат, будет $(x + 7)$.

2. Вместе они собрали 25 грибов. Составим уравнение:
$x + (x + 7) = 25$

3. Решим это уравнение:
$2x + 7 = 25$
$2x = 25 - 7$
$2x = 18$
$x = 18 / 2$
$x = 9$
Таким образом, сестра нашла 9 грибов.

4. Найдём, сколько грибов нашёл брат:
$9 + 7 = 16$ (грибов)

Ответ: 16 грибов.

257 В школе 92 пятиклассника, причём девочек на 16 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в пятых классах?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество мальчиков. Согласно условию, девочек на 16 меньше, следовательно, их количество можно выразить как $(x - 16)$.

Общее число пятиклассников равно 92. Мы можем составить уравнение, сложив количество мальчиков и девочек:

$x + (x - 16) = 92$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Раскрываем скобки и объединяем слагаемые с $x$:

$2x - 16 = 92$

2. Переносим число 16 в правую часть уравнения, меняя знак на противоположный:

$2x = 92 + 16$

$2x = 108$

3. Находим $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 108 / 2$

$x = 54$

Таким образом, в пятых классах 54 мальчика.

4. Теперь найдем количество девочек, вычтя 16 из количества мальчиков:

$54 - 16 = 38$

В пятых классах 38 девочек.

Проверка: $54$ (мальчика) $+ 38$ (девочек) $= 92$ (всего учеников). Условие выполняется.

Ответ: в пятых классах 54 мальчика и 38 девочек.

258 Таня на 3 года младше своей сестры, а вместе им 27 лет. Сколько лет каждой из них?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Обозначим возраст одной из сестер через переменную.

Пусть $x$ — это возраст старшей сестры.Поскольку Таня на 3 года младше, то ее возраст можно выразить как $(x - 3)$ лет.

По условию задачи, сумма их возрастов равна 27 лет. Составим на основе этого уравнение:

Возраст сестры + Возраст Тани = 27

$x + (x - 3) = 27$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Раскроем скобки:

$x + x - 3 = 27$

2. Сложим переменные $x$:

$2x - 3 = 27$

3. Перенесем число -3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 27 + 3$

$2x = 30$

4. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 30 / 2$

$x = 15$

Таким образом, возраст старшей сестры составляет 15 лет.

Теперь найдем возраст Тани, который на 3 года меньше:

$15 - 3 = 12$ лет.

Проверим наше решение: $15 + 12 = 27$. Сумма возрастов верна. $15 - 12 = 3$. Разница в возрасте также верна.

Ответ: Тане 12 лет, а ее сестре 15 лет.

259 Из «Арифметики» Л. Н. Толстого.

а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого овец?

а)

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Пусть у одного мужика, у которого овец меньше, было $x$ овец. Тогда у второго мужика, у которого на 9 овец больше, было $(x + 9)$ овец. Мы знаем, что в сумме у них 35 овец. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + (x + 9) = 35$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$2x + 9 = 35$

Перенесем число 9 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2x = 35 - 9$

$2x = 26$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 26 : 2$

$x = 13$

Таким образом, у одного мужика было 13 овец. Теперь найдем, сколько овец было у второго мужика:

$13 + 9 = 22$ (овцы)

Проверим полученные результаты: общее количество овец $13 + 22 = 35$, разница в количестве $22 - 13 = 9$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: У одного мужика 13 овец, а у другого 22 овцы.

б)

Эту задачу также решим с помощью уравнения. Пусть у мужика, у которого овец меньше, было $y$ овец. Условие "у одного меньше против другого на 6" означает, что у второго мужика было на 6 овец больше, то есть $(y + 6)$ овец. Всего у них 40 овец. Составим уравнение:

$y + (y + 6) = 40$

Упростим левую часть уравнения:

$2y + 6 = 40$

Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:

$2y = 40 - 6$

$2y = 34$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 2:

$y = 34 : 2$

$y = 17$

Следовательно, у одного мужика было 17 овец. Найдем количество овец у второго мужика:

$17 + 6 = 23$ (овцы)

Проверим результат: общее количество $17 + 23 = 40$, разница $23 - 17 = 6$. Условия задачи выполнены.

Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

260 Для занятий художественным творчеством ребята собрали библиотечку из 34 книг и разместили их на трёх полках. На верхней — книги по рисованию. На средней — книги по рукоделию; их на 6 меньше, чем книг по рисованию. На нижней полке — книги по лепке; их на 5 меньше, чем книг по рукоделию. Сколько в библиотечке книг по каждому виду творчества?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг по рисованию, которые находятся на верхней полке.

Исходя из условия, количество книг по рукоделию (на средней полке) на 6 меньше, чем книг по рисованию. Значит, их количество равно $x - 6$.

Количество книг по лепке (на нижней полке) на 5 меньше, чем книг по рукоделию. Следовательно, их количество равно $(x - 6) - 5$, что можно упростить до $x - 11$.

Всего в библиотечке 34 книги. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг на всех трех полках:

$x + (x - 6) + (x - 11) = 34$

Теперь решим это уравнение:

1. Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

$3x - 17 = 34$

2. Перенесем 17 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3x = 34 + 17$

$3x = 51$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части на 3:

$x = 51 / 3$

$x = 17$

Таким образом, мы нашли количество книг по рисованию. Теперь найдем количество книг по остальным видам творчества.

Количество книг по рисованию:

На верхней полке находится $x = 17$ книг.

Количество книг по рукоделию:

На средней полке находится $x - 6 = 17 - 6 = 11$ книг.

Количество книг по лепке:

На нижней полке находится $x - 11 = 17 - 11 = 6$ книг (или $11 - 5 = 6$ книг).

Для проверки сложим количество всех книг: $17 + 11 + 6 = 34$. Сумма совпадает с условием задачи.

Ответ: в библиотечке 17 книг по рисованию, 11 книг по рукоделию и 6 книг по лепке.

261 Найдите три последовательных числа, сумма которых равна:

а) 48;

б) 69.

а)

Обозначим три последовательных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$. Их сумма будет равна $(n-1) + n + (n+1)$. По условию задачи, эта сумма равна 48. Составим и решим уравнение:

$(n-1) + n + (n+1) = 48$

Сгруппируем слагаемые:

$3n = 48$

Найдем $n$, которое является средним из трех чисел:

$n = 48 / 3$

$n = 16$

Теперь найдем остальные два числа:

Первое число: $n-1 = 16 - 1 = 15$.

Третье число: $n+1 = 16 + 1 = 17$.

Искомые числа: 15, 16, 17.

Проверим: $15 + 16 + 17 = 31 + 17 = 48$.

Ответ: 15, 16, 17.

б)

Аналогично предыдущему пункту, обозначим три последовательных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$. По условию, их сумма равна 69. Составим уравнение:

$(n-1) + n + (n+1) = 69$

$3n = 69$

Найдем среднее число $n$:

$n = 69 / 3$

$n = 23$

Найдем остальные два числа:

Первое число: $n-1 = 23 - 1 = 22$.

Третье число: $n+1 = 23 + 1 = 24$.

Искомые числа: 22, 23, 24.

Проверим: $22 + 23 + 24 = 45 + 24 = 69$.

Ответ: 22, 23, 24.

262 а) Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 87, а разность 19. Найдите эти числа.

а)

Пусть первое число — это $x$, а второе — $y$. Согласно условию, их сумма равна 96, а разность — 18. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 96 \\ x - y = 18 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти значение $x$:

$(x + y) + (x - y) = 96 + 18$

$2x = 114$

$x = \frac{114}{2}$

$x = 57$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$57 + y = 96$

$y = 96 - 57$

$y = 39$

Таким образом, искомые числа — 57 и 39. Проверим: сумма $57 + 39 = 96$, разность $57 - 39 = 18$.

Ответ: 57 и 39.

б)

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 87, а разность — 19. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 87 \\ x - y = 19 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить $y$ и найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 87 + 19$

$2x = 106$

$x = \frac{106}{2}$

$x = 53$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$53 + y = 87$

$y = 87 - 53$

$y = 34$

Таким образом, искомые числа — 53 и 34. Проверим: сумма $53 + 34 = 87$, разность $53 - 34 = 19$.

Ответ: 53 и 34.

263 Андрей на 2 года старше Бориса, а Борис на 1 год старше Василия. Сколько лет каждому, если вместе им 40 лет?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Удобнее всего выразить все возрасты через возраст самого младшего — Василия.

Пусть возраст Василия равен $x$ лет.

Из условия известно, что Борис на 1 год старше Василия, следовательно, возраст Бориса составляет $(x + 1)$ лет.

Андрей на 2 года старше Бориса, значит, его возраст можно выразить как $(x + 1) + 2$, что равно $(x + 3)$ лет.

Сумма возрастов всех троих равна 40 лет. Составим уравнение, сложив их возрасты:

$(x + 3) + (x + 1) + x = 40$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Сгруппируем слагаемые в левой части:

$3x + 4 = 40$

2. Перенесем число 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 40 - 4$

$3x = 36$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли возраст Василия — ему 12 лет.

Теперь определим возраст Бориса и Андрея:

Возраст Бориса: $x + 1 = 12 + 1 = 13$ лет.

Возраст Андрея: $x + 3 = 12 + 3 = 15$ лет.

Проведем проверку: $15 \text{ (Андрей)} + 13 \text{ (Борис)} + 12 \text{ (Василий)} = 40$ лет. Условие задачи выполнено.

Ответ: Андрею 15 лет, Борису 13 лет, Василию 12 лет.

264 a) Сумма всех сторон прямоугольника равна 48 см. Его длина на 4 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

б) Периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина на 5 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

а)

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, его длина на 4 см больше, значит, длина равна $(x + 4)$ см. Сумма всех сторон (периметр) прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его стороны. Зная, что периметр равен 48 см, составим и решим уравнение:

$2(x + (x + 4)) = 48$
$2(2x + 4) = 48$
$2x + 4 = 24$
$2x = 24 - 4$
$2x = 20$
$x = 10$

Таким образом, ширина прямоугольника равна 10 см.
Длина прямоугольника равна: $10 + 4 = 14$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 14 см.

б)

Пусть ширина прямоугольника равна $y$ см. По условию, его длина на 5 см больше, следовательно, длина равна $(y + 5)$ см. Периметр прямоугольника равен 54 см.

Составим и решим уравнение для нахождения сторон:
$2(y + (y + 5)) = 54$
$2(2y + 5) = 54$
$2y + 5 = 27$
$2y = 22$
$y = 11$

Ширина прямоугольника равна 11 см.
Длина прямоугольника равна: $11 + 5 = 16$ см.

Теперь найдем площадь прямоугольника. Площадь ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$:
$S = 16 \cdot 11 = 176$ см².

Ответ: площадь прямоугольника равна 176 см².

265 Семья состоит из четырёх человек: матери, отца, сына и дочери. Отец на 5 лет старше матери. Мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов 103 года?

Указание. Примите возраст матери за 20 частей.

Для решения задачи воспользуемся указанием и примем возраст матери за 20 частей. Пусть одна часть равна $x$ лет.

Тогда возраст матери составляет $20x$ лет.

Поскольку мать в 4 раза старше сына, возраст сына равен возрасту матери, деленному на 4:
Возраст сына = $20x \div 4 = 5x$ лет.

Мать в 5 раз старше дочери, значит, возраст дочери равен возрасту матери, деленному на 5:
Возраст дочери = $20x \div 5 = 4x$ лет.

Отец на 5 лет старше матери, поэтому его возраст составляет:
Возраст отца = $(20x + 5)$ лет.

Сумма возрастов всех членов семьи равна 103 года. Составим уравнение, сложив возрасты всех членов семьи, выраженные через $x$:

$20x + (20x + 5) + 5x + 4x = 103$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим все части с $x$:

$20x + 20x + 5x + 4x = 49x$

2. Уравнение принимает вид:

$49x + 5 = 103$

3. Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$49x = 103 - 5$

$49x = 98$

4. Найдем значение $x$:

$x = 98 \div 49$

$x = 2$

Таким образом, одна часть равна 2 годам. Теперь вычислим возраст каждого члена семьи:

• Возраст матери: $20x = 20 \cdot 2 = 40$ лет.
• Возраст отца: $20x + 5 = 40 + 5 = 45$ лет.
• Возраст сына: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ лет.
• Возраст дочери: $4x = 4 \cdot 2 = 8$ лет.

Проверка: $40 + 45 + 10 + 8 = 103$. Сумма возрастов верна.

Ответ: матери 40 лет, отцу 45 лет, сыну 10 лет, дочери 8 лет.