Страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Вычислите, выбрав удобный порядок действий:

a) $42 + 61 + 28 + 39 + 30$;

б) $4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25$.

Какие свойства арифметических действий вы использовали?

а) $42 + 61 + 28 + 39 + 30$

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа: 42 и 28 (сумма 70), а также 61 и 39 (сумма 100).

$42 + 61 + 28 + 39 + 30 = (42 + 28) + (61 + 39) + 30$

Выполним сложение в скобках:

$70 + 100 + 30$

Теперь сложим полученные результаты:

$70 + 100 + 30 = 170 + 30 = 200$

Ответ: $200$.

б) $4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25$

Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители, которые в произведении дают круглые числа: 4 и 25 (произведение 100), а также 5 и 2 (произведение 10).

$4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 9$

Выполним умножение в скобках:

$100 \cdot 10 \cdot 9$

Теперь перемножим полученные результаты:

$100 \cdot 10 \cdot 9 = 1000 \cdot 9 = 9000$

Ответ: $9000$.

Какие свойства арифметических действий вы использовали?

При решении данных примеров были использованы следующие свойства арифметических действий:

1. Переместительное свойство (коммутативность), которое позволяет менять местами слагаемые (в пункте а) или множители (в пункте б) без изменения итогового результата. Формулы: $a + b = b + a$ для сложения и $a \cdot b = b \cdot a$ для умножения.

2. Сочетательное свойство (ассоциативность), которое позволяет группировать слагаемые или множители в любом порядке, что также не влияет на результат. Формулы: $(a + b) + c = a + (b + c)$ для сложения и $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ для умножения.

2 Дано выражение $18 \cdot (37 + 44)$. Не выполняя вычислений, определите, какое из следующих выражений имеет то же значение, что и данное выражение, и объясните почему.

1) $18 \cdot 37 + 44$2) $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$3) $37 + 18 \cdot 44$

Чтобы определить, какое из предложенных выражений имеет то же значение, что и $18 \cdot (37 + 44)$, нужно применить распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство гласит, что для умножения числа на сумму, нужно умножить это число на каждое слагаемое, а затем сложить полученные произведения.

Формула распределительного свойства: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Применим это свойство к нашему выражению, где $a=18$, $b=37$, $c=44$:

$18 \cdot (37 + 44) = 18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) $18 \cdot 37 + 44$

Это выражение неверно, так как множитель 18 применен только к первому слагаемому (37), а не ко второму (44), что противоречит распределительному свойству.

2) $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$

Это выражение полностью соответствует результату применения распределительного свойства. Каждый член в скобках (37 и 44) умножен на 18, и результаты сложены. Следовательно, это выражение имеет то же значение, что и исходное.

3) $37 + 18 \cdot 44$

Это выражение неверно, так как множитель 18 применен только ко второму слагаемому (44), а не к первому (37).

Ответ: То же значение, что и данное выражение, имеет выражение 2) $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$, так как оно получено путем применения распределительного свойства умножения относительно сложения.

3 Найдите значение выражения, вынося за скобки общий множитель:

a) $83 \cdot 17 + 27 \cdot 17$;

б) $98 \cdot 15 - 48 \cdot 15$.

а) В выражении $83 \cdot 17 + 27 \cdot 17$ общим множителем для обоих слагаемых является число $17$. Согласно распределительному свойству умножения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$), мы можем вынести общий множитель за скобки:

$83 \cdot 17 + 27 \cdot 17 = (83 + 27) \cdot 17$.

Сначала выполним действие в скобках:

$83 + 27 = 110$.

Затем умножим полученный результат на $17$:

$110 \cdot 17 = 1870$.

Ответ: 1870.

б) В выражении $98 \cdot 15 - 48 \cdot 15$ общим множителем является число $15$. Вынесем его за скобки, используя то же распределительное свойство умножения ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$):

$98 \cdot 15 - 48 \cdot 15 = (98 - 48) \cdot 15$.

Сначала выполним вычитание в скобках:

$98 - 48 = 50$.

Теперь умножим полученную разность на $15$:

$50 \cdot 15 = 750$.

Ответ: 750.

4 Решите задачу двумя способами.

Две грузовые машины перевозят картофель с овощной базы в магазины. На одну машину грузят 3500 кг картофеля, а на другую — 2500 кг. Сколько килограммов картофеля перевезут эти машины за три рейса?

Способ 1

1. Сначала узнаем, сколько всего килограммов картофеля перевозят обе машины за один рейс. Для этого сложим массу картофеля в каждой машине.

$3500 + 2500 = 6000$ (кг) – перевозят обе машины за один рейс.

2. Теперь умножим полученное количество на число рейсов, чтобы найти, сколько всего картофеля перевезут машины за три рейса.

$6000 \cdot 3 = 18000$ (кг).

Это решение можно записать одним выражением: $(3500 + 2500) \cdot 3 = 18000$ (кг).

Ответ: 18000 кг.

Способ 2

1. Сначала посчитаем, сколько килограммов картофеля перевезет первая машина за три рейса.

$3500 \cdot 3 = 10500$ (кг) – перевезет первая машина за три рейса.

2. Затем посчитаем, сколько килограммов картофеля перевезет вторая машина за три рейса.

$2500 \cdot 3 = 7500$ (кг) – перевезет вторая машина за три рейса.

3. Теперь сложим эти два значения, чтобы найти общее количество картофеля, перевезенное обеими машинами.

$10500 + 7500 = 18000$ (кг).

Это решение можно записать одним выражением: $3500 \cdot 3 + 2500 \cdot 3 = 18000$ (кг).

Ответ: 18000 кг.

5 Вычислите удобным способом:

a) $17 \cdot 34 + 26 \cdot 17 + 13 \cdot 60;$

б) $4 \cdot 45 + 4 \cdot 55 + 6 \cdot 55 + 6 \cdot 45.$

а) $17 \cdot 34 + 26 \cdot 17 + 13 \cdot 60$

Для решения этого примера удобным способом применим распределительное свойство умножения ($a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$). Сначала сгруппируем первые два слагаемых, так как у них есть общий множитель 17, и вынесем его за скобки:

$17 \cdot 34 + 26 \cdot 17 = 17 \cdot (34 + 26)$

Вычислим сумму в скобках:

$34 + 26 = 60$

Теперь наше выражение выглядит так:

$17 \cdot 60 + 13 \cdot 60$

Мы видим, что у оставшихся слагаемых есть общий множитель 60. Снова вынесем его за скобки:

$(17 + 13) \cdot 60$

Вычислим сумму в скобках и затем умножение:

$17 + 13 = 30$

$30 \cdot 60 = 1800$

Ответ: 1800

б) $4 \cdot 45 + 4 \cdot 55 + 6 \cdot 55 + 6 \cdot 45$

Для удобства вычислений перегруппируем слагаемые так, чтобы объединить слагаемые с одинаковыми множителями. Можно сгруппировать слагаемые с множителями 4 и 6, или с множителями 45 и 55. Выберем второй способ, сгруппировав слагаемые с множителями 45 и слагаемые с множителями 55:

$(4 \cdot 45 + 6 \cdot 45) + (4 \cdot 55 + 6 \cdot 55)$

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$(4 + 6) \cdot 45 + (4 + 6) \cdot 55$

Вычислим сумму в скобках:

$4 + 6 = 10$

Подставим результат в выражение:

$10 \cdot 45 + 10 \cdot 55$

Теперь у нас появился новый общий множитель 10. Вынесем его за скобки:

$10 \cdot (45 + 55)$

Выполним сложение в скобках и итоговое умножение:

$45 + 55 = 100$

$10 \cdot 100 = 1000$

Ответ: 1000

6 Известно, что $x + y = 10$. Найдите значение выражения $2x + 2y$.

Дано выражение $x + y = 10$. Необходимо найти значение выражения $2x + 2y$.

Рассмотрим выражение $2x + 2y$. Мы можем вынести общий множитель 2 за скобки, используя распределительный закон умножения.

$2x + 2y = 2(x + y)$

Из условия задачи мы знаем, что значение суммы $(x + y)$ равно 10. Подставим это значение в наше преобразованное выражение:

$2(x + y) = 2 \cdot 10$

Выполним умножение:

$2 \cdot 10 = 20$

Следовательно, значение выражения $2x + 2y$ равно 20.

Ответ: 20

7 Для приготовления гречневой каши на 2 части гречки берут 3 части воды. Сколько граммов воды надо взять на 300 г гречневой крупы?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: через нахождение веса одной части или через составление пропорции.

Способ 1: Нахождение веса одной части

1. По условию, 300 г гречневой крупы составляют 2 части. Чтобы найти, сколько граммов в одной части, нужно разделить массу гречки на количество частей:

$300 \text{ г} \div 2 = 150 \text{ г}$

Таким образом, одна часть весит 150 граммов.

2. Для каши требуется 3 части воды. Чтобы найти необходимую массу воды, умножим вес одной части на 3:

$150 \text{ г} \times 3 = 450 \text{ г}$

Способ 2: Решение через пропорцию

Соотношение гречки к воде составляет 2 к 3. Пусть $x$ — это необходимое количество граммов воды. Составим пропорцию:

$ \frac{2 \text{ части гречки}}{3 \text{ части воды}} = \frac{300 \text{ г гречки}}{x \text{ г воды}} $

Запишем пропорцию в числовом виде:

$ \frac{2}{3} = \frac{300}{x} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$ 2 \cdot x = 3 \cdot 300 $

$ 2x = 900 $

Чтобы найти $x$, разделим 900 на 2:

$ x = \frac{900}{2} $

$ x = 450 $

Оба способа показывают, что для 300 г гречки нужно 450 г воды.

Ответ: 450 г.

8 Чтобы сварить варенье из слив, берут 10 частей слив, 15 частей сахара и 2 части воды. Было приготовлено 540 кг варенья. Сколько слив пошло на варенье?

Для решения задачи необходимо найти, какой вес соответствует одной "части" в рецепте, а затем рассчитать вес 10 частей слив.

1. Сначала определим общее количество частей в варенье. Для этого сложим части всех ингредиентов:

$10$ (сливы) $+ 15$ (сахар) $+ 2$ (вода) $= 27$ (частей).

Всего варенье состоит из 27 равных частей.

2. Общий вес приготовленного варенья составляет 540 кг. Этот вес приходится на 27 частей. Найдем вес одной части, разделив общий вес на количество частей:

$540 \text{ кг} \div 27 \text{ частей} = 20$ кг.

Таким образом, одна часть весит 20 кг.

3. Теперь вычислим массу слив, которая составляет 10 частей. Для этого умножим количество частей слив на вес одной части:

$10 \text{ частей} \times 20 \text{ кг/часть} = 200$ кг.

Ответ: на варенье пошло 200 кг слив.

9 Журнал дороже газеты в 10 раз, а вместе они стоят 110 р. Сколько стоят газета и журнал в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть стоимость газеты будет $x$ рублей.

По условию задачи, журнал дороже газеты в 10 раз. Это означает, что стоимость журнала равна $10x$ рублей.

Вместе газета и журнал стоят 110 рублей. На основании этого мы можем составить уравнение:

Стоимость газеты + Стоимость журнала = Общая стоимость

$x + 10x = 110$

Теперь решим полученное уравнение:

$11x = 110$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 11:

$x = \frac{110}{11}$

$x = 10$

Таким образом, стоимость газеты составляет 10 рублей.

Далее найдем стоимость журнала, зная, что она в 10 раз больше стоимости газеты:

$10 \cdot x = 10 \cdot 10 = 100$

Стоимость журнала составляет 100 рублей.

Проверка: $10 \text{ р.} + 100 \text{ р.} = 110 \text{ р.}$ Условие выполнено.

Ответ: газета стоит 10 рублей, а журнал — 100 рублей.

10 В двух аквариумах 205 л воды. В одном из них на 35 л воды больше, чем в другом. Сколько литров воды в каждом аквариуме?

Для решения этой задачи можно воспользоваться алгебраическим методом. Обозначим количество воды в аквариуме, где её меньше, за $x$ литров.

Согласно условию, в другом аквариуме на 35 литров воды больше, значит, в нём $(x + 35)$ литров.

Суммарный объём воды в двух аквариумах составляет 205 литров. Мы можем составить уравнение, сложив объёмы воды в обоих аквариумах:

$x + (x + 35) = 205$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$2x + 35 = 205$

Перенесём 35 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 205 - 35$

$2x = 170$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 170 / 2$

$x = 85$

Таким образом, в меньшем аквариуме 85 литров воды.

Теперь найдём количество воды в большем аквариуме, прибавив 35 литров:

$85 + 35 = 120$

В большем аквариуме 120 литров воды.

Проверим результат: $85 + 120 = 205$ литров (общий объём), $120 - 85 = 35$ литров (разница). Условия задачи выполнены.

Ответ: в одном аквариуме 85 литров воды, а в другом 120 литров.

11 Сын на 23 года младше матери, а его мать на 5 лет младше его отца. Сколько лет каждому, если вместе им 87 лет?

Для решения задачи введем переменную. Пусть возраст сына равен $x$ лет. Это самый младший член семьи, поэтому удобно выразить возраст остальных через его возраст.

Согласно условию, сын на 23 года младше матери. Это значит, что мать на 23 года старше сына. Таким образом, возраст матери составляет $(x + 23)$ лет.

Также известно, что мать на 5 лет младше отца. Следовательно, отец на 5 лет старше матери. Его возраст можно выразить как возраст матери плюс 5 лет: $(x + 23) + 5 = (x + 28)$ лет.

Суммарный возраст всех троих равен 87 лет. Составим уравнение, сложив выражения для возраста каждого члена семьи:

Возраст сына + Возраст матери + Возраст отца = 87

$x + (x + 23) + (x + 28) = 87$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$x + x + 23 + x + 28 = 87$

$(x + x + x) + (23 + 28) = 87$

$3x + 51 = 87$

2. Перенесем число 51 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 87 - 51$

$3x = 36$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Итак, мы определили, что возраст сына равен 12 годам.

Теперь найдем возраст матери и отца, подставив значение $x$ в соответствующие выражения:

Возраст матери: $x + 23 = 12 + 23 = 35$ лет.

Возраст отца: $x + 28 = 12 + 28 = 40$ лет.

Проведем проверку: убедимся, что сумма возрастов равна 87.

$12 + 35 + 40 = 87$

Условие выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: сыну 12 лет, матери 35 лет, отцу 40 лет.