Страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

266 С помощью кальки найдите на рисунке 5.5 угол, равный углу $A$.

5.5

Чтобы найти угол, равный углу А, необходимо выполнить сравнение углов с помощью кальки (полупрозрачной бумаги).

1. Шаг 1: Копирование угла А

   Положите лист кальки на рисунок так, чтобы он покрывал угол А. С помощью карандаша аккуратно перенесите на кальку вершину угла и два луча, образующие его стороны. На кальке получится точная копия угла А.

2. Шаг 2: Сравнение скопированного угла с другими углами

   Перемещая кальку, последовательно прикладывайте скопированный угол А к каждому из углов на рисунке 5.5 (B, C, D, K, M, N). При наложении необходимо совмещать вершину скопированного угла с вершиной проверяемого угла, а одну из его сторон — с одной из сторон проверяемого угла.

3. Шаг 3: Анализ результатов сравнения

   Наблюдайте за положением второй стороны скопированного угла относительно второй стороны проверяемого угла:

   • Углы B и C являются тупыми (больше $90^\circ$), в то время как угол А — острый (меньше $90^\circ$). Следовательно, они не могут быть равны углу А.
   • При наложении на угол D вторая сторона скопированного угла А окажется внутри угла D. Это значит, что $\angle D > \angle A$.
   • При наложении на угол K вторая сторона угла K окажется внутри скопированного угла А. Это значит, что $\angle K < \angle A$.
   • При наложении на угол N вторая сторона скопированного угла А окажется внутри угла N. Это значит, что $\angle N > \angle A$.
   • При наложении на угол M вершина и обе стороны скопированного угла А полностью совпадут с вершиной и сторонами угла M. Это значит, что $\angle M = \angle A$.

Таким образом, единственный угол на рисунке, равный углу А, это угол M.

Ответ: Угол M.

267 Начертите в тетради какой-нибудь угол и обозначьте его. А теперь от руки нарисуйте равный ему угол. С помощью кальки проверьте, действительно ли второй угол равен первому.

Начертите в тетради какой-нибудь угол и обозначьте его.

С помощью линейки и карандаша нарисуйте в тетради угол. Для этого поставьте точку, которая будет вершиной угла, и обозначьте ее, например, буквой O. Из этой точки проведите два луча в разных направлениях. На одном луче отметьте точку A, а на другом — точку B. У вас получился угол, который обозначается как $\angle AOB$.

А теперь от руки нарисуйте равный ему угол.

Рядом с первым углом нарисуйте второй, стараясь на глаз воспроизвести величину первого. Сделайте это от руки, без использования линейки. Обозначьте вершину нового угла буквой K, а точки на его сторонах — буквами M и N. У вас получится угол $\angle MKN$. Важно помнить, что длина нарисованных лучей не влияет на величину угла, имеет значение только "раскрытие" между ними.

С помощью кальки проверьте, действительно ли второй угол равен первому.

Для проверки равенства углов выполните следующие шаги:

1. Положите на первый угол ($\angle AOB$) лист кальки (тонкой полупрозрачной бумаги).
2. Аккуратно обведите карандашом вершину O и лучи OA и OB. На кальке получится точная копия первого угла.
3. Возьмите кальку с перерисованным углом и наложите её на второй угол ($\angle MKN$).
4. Совместите точку O на кальке с вершиной K второго угла.
5. Поворачивая кальку вокруг совмещенной вершины, добейтесь, чтобы один из лучей на кальке (например, OA) совпал с одним из лучей второго угла (например, KM).
6. Не сдвигая кальку, посмотрите, совпал ли второй луч на кальке (OB) со вторым лучом второго угла (KN).

Если лучи на кальке полностью совпали с лучами второго угла, значит, вы нарисовали углы правильно и они равны. Если лучи не совпали, то углы не равны. Так как второй угол рисовался от руки, небольшое расхождение является нормальным.

Ответ: Результат проверки с помощью кальки покажет, равны ли построенные углы. Если при наложении скопированного на кальку первого угла на второй их вершины и стороны полностью совмещаются, то углы равны. Если совмещения не происходит, то углы не равны.

268. Вырежьте из листа бумаги три неравных угла. Какой из них является наибольшим?

Для решения данной задачи нужно выполнить два шага: вырезать углы и затем сравнить их.

Вырежьте из листа бумаги три неравных угла.

Для выполнения этой части задания возьмите лист бумаги, карандаш и ножницы. Нарисуйте на бумаге три угла, которые заметно отличаются по своей величине. Например, один угол можно сделать острым (его раствор меньше, чем у прямого угла), второй — прямым (как угол в уголке тетрадного листа, равный $90^\circ$), а третий — тупым (его раствор больше, чем у прямого угла). После того как углы будут нарисованы, аккуратно вырежьте их.

Какой из них является наибольшим?

Чтобы определить, какой из трех вырезанных углов является наибольшим, не используя транспортир, следует применить метод наложения:

1. Возьмите любые два вырезанных угла (назовем их Угол 1 и Угол 2). Наложите один угол на другой так, чтобы их вершины совпали, а одна из сторон Угла 1 легла точно поверх одной из сторон Угла 2.

2. Посмотрите на положение вторых сторон. Тот угол, чья вторая сторона окажется снаружи, будет больше. Например, если вторая сторона Угла 1 находится внутри Угла 2, то Угол 1 меньше Угла 2 ($ \angle 1 < \angle 2 $). Если наоборот, то Угол 2 меньше Угла 1 ($ \angle 2 < \angle 1 $). Определите, какой из этих двух углов больше.

3. Теперь возьмите тот угол, который оказался больше в предыдущем сравнении, и сравните его с оставшимся третьим углом (Углом 3) точно таким же способом — наложением.

4. Угол, который окажется больше в этом финальном сравнении, и является наибольшим из трех.

Например, если в шаге 2 мы выяснили, что $ \angle 2 > \angle 1 $, а в шаге 3 — что $ \angle 3 > \angle 2 $, то, следовательно, наибольшим углом является Угол 3.

Ответ: Наибольшим является тот угол, который при сравнении методом наложения оказывается больше каждого из двух других. Чтобы его найти, нужно попарно сравнить все углы между собой.

269 Начертите в тетради угол и обозначьте его $AOC$. Проведите луч $OB$ так, чтобы он разделил угол $AOC$ на два угла. Назовите эти углы. Сравните их.

Сначала необходимо начертить произвольный угол. Обозначим его вершину буквой $O$, а стороны — лучами $OA$ и $OC$. Таким образом, мы получим угол $AOC$.

Далее, из вершины $O$ проведем луч $OB$ так, чтобы он находился внутри угла $AOC$, то есть между лучами $OA$ и $OC$.

Этот луч $OB$ разделил исходный угол $AOC$ на два новых угла. Эти углы называются: угол $AOB$ (или $∠AOB$) и угол $BOC$ (или $∠BOC$).

Для сравнения полученных углов $∠AOB$ и $∠BOC$ нужно рассмотреть их величины. Так как в условии не сказано, как именно должен быть проведен луч $OB$, то возможны три различных случая:

1. $∠AOB < ∠BOC$. В этом случае угол $AOB$ меньше угла $BOC$. Такое возможно, если луч $OB$ проходит ближе к стороне $OA$.
2. $∠AOB > ∠BOC$. В этом случае угол $AOB$ больше угла $BOC$. Такое возможно, если луч $OB$ проходит ближе к стороне $OC$.
3. $∠AOB = ∠BOC$. В этом случае углы $AOB$ и $BOC$ равны. Луч $OB$ при таком расположении является биссектрисой угла $AOC$, так как делит его пополам.

Вне зависимости от того, какой из трех случаев реализуется, всегда выполняется свойство, что сумма двух новых углов равна исходному углу: $∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$.

Ответ: Луч $OB$ разделяет угол $AOC$ на два угла: $∠AOB$ и $∠BOC$. В зависимости от положения луча $OB$, угол $∠AOB$ может быть меньше, больше или равен углу $∠BOC$.

270 Начертите на листе бумаги какой-нибудь угол и проведите его биссектрису. Вырежьте этот угол и проверьте перегибанием, правильно ли вы разделили угол пополам.

Для выполнения этого практического задания нужно следовать инструкции, состоящей из нескольких шагов.

Начертите на листе бумаги какой-нибудь угол и проведите его биссектрису

1. Построение угла. Возьмите лист бумаги, карандаш и линейку. Поставьте на листе точку, которая будет вершиной угла, и обозначьте её буквой $O$. Из этой точки проведите два луча в разных направлениях. Это будут стороны угла. Обозначим их $OA$ и $OB$. Полученная фигура является углом $\angle AOB$.

2. Построение биссектрисы. Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Её можно построить, например, одним из двух способов:

Способ 1: С помощью транспортира.

• Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла $O$, а нулевая отметка на его шкале — со стороной $OA$.
• По шкале транспортира определите градусную меру угла $\angle AOB$. Обозначим эту величину как $\alpha$.
• Вычислите половину значения угла: $\frac{\alpha}{2}$.
• Найдите на той же шкале транспортира отметку, соответствующую полученному значению $\frac{\alpha}{2}$, и поставьте рядом с ней точку $C$.
• С помощью линейки проведите луч из вершины $O$ через точку $C$. Луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$.

Способ 2: С помощью циркуля и линейки.

• Установите ножку циркуля в вершину угла $O$ и начертите дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла, $OA$ и $OB$. Обозначим точки пересечения как $M$ и $N$.
• Теперь из точек $M$ и $N$ начертите две дуги одинакового радиуса внутри угла так, чтобы они пересеклись. Точку их пересечения обозначим как $C$.
• С помощью линейки соедините вершину $O$ с точкой $C$. Полученный луч $OC$ и есть биссектриса угла $\angle AOB$.

Вырежьте этот угол и проверьте перегибанием, правильно ли вы разделили угол пополам

1. Вырезание. С помощью ножниц аккуратно вырежьте начерченный угол $\angle AOB$ по сторонам $OA$ и $OB$.

2. Проверка. Возьмите вырезанный из бумаги угол и согните его по проведенной линии биссектрисы $OC$.

Если биссектриса была построена правильно, то при сгибании сторона $OA$ полностью совпадет со стороной $OB$. Это наглядное подтверждение того, что биссектриса разделила исходный угол на два равных угла ($\angle AOC = \angle BOC$). Если же стороны при сгибании не совпали, значит, при построении биссектрисы была допущена неточность.

Ответ:

Для решения задачи необходимо начертить на бумаге произвольный угол $\angle AOB$, построить его биссектрису $OC$, используя транспортир или циркуль. Затем нужно вырезать полученный угол по сторонам и проверить правильность построения, согнув его по линии биссектрисы. Если стороны угла $OA$ и $OB$ при сгибании полностью совпадут, это будет означать, что угол был разделен пополам правильно.

271 Какие из углов, изображённых на рисунке 5.6, являются острыми, а какие — тупыми? Есть ли здесь прямой угол?

Острые углы

Острым называется угол, градусная мера которого меньше 90° ($< 90^\circ$). На рисунке к острым углам относятся те, что визуально меньше прямого угла. К ним относятся углы A, C и M, так как их лучи расположены достаточно близко друг к другу. Ответ: острые углы — A, C, M.

Тупые углы

Тупым называется угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180° ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). На рисунке видно, что углы B и D значительно больше прямого угла, следовательно, они тупые. Их лучи расходятся широко. Ответ: тупые углы — B, D.

Прямой угол

Прямой угол — это угол, равный 90° ($= 90^\circ$). Его стороны перпендикулярны друг другу. Среди изображенных углов угол K выглядит как прямой, его стороны образуют "идеальный угол", как у квадрата. Ответ: да, на рисунке есть прямой угол — это угол K.

272 Начертите в тетради острый, прямой и тупой углы.

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что линии сетки образуют прямые углы.

Для выполнения этого задания нужно знать определения острого, прямого и тупого углов и использовать линии сетки в тетради для их построения.

Острый угол

Острый угол — это угол, который меньше прямого, то есть его градусная мера находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Чтобы начертить острый угол, нужно: 1. Поставить точку-вершину угла в месте пересечения линий сетки (в узле). 2. Провести из этой точки один луч вдоль одной из линий сетки (например, горизонтальной). 3. Провести второй луч из той же вершины так, чтобы он располагался внутри прямого угла, образованного линиями сетки. Например, если первый луч идёт вправо по горизонтальной линии, то второй луч может быть направлен вправо и вверх. Полученный угол будет острым.

Ответ: Начерчен угол, который визуально меньше прямого угла (угла, образованного пересечением линий сетки).

Прямой угол

Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. Как сказано в подсказке, линии сетки в тетради пересекаются под прямым углом. Поэтому для его построения: 1. Выберите точку-вершину на пересечении линий сетки. 2. Проведите первый луч по одной из линий (например, по горизонтальной). 3. Проведите второй луч из той же вершины по другой линии, перпендикулярной первой (по вертикальной). Угол между этими лучами будет прямым.

Ответ: Начерчен угол, стороны которого лежат на линиях сетки тетради.

Тупой угол

Тупой угол — это угол, который больше прямого, но меньше развёрнутого. Его градусная мера находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Для построения тупого угла: 1. Установите вершину угла в узле сетки. 2. Проведите первый луч вдоль одной из линий, например, горизонтально вправо. 3. Проведите второй луч из той же вершины так, чтобы он находился вне прямого угла, образованного линиями сетки. Например, если первый луч направлен вправо, второй луч может быть направлен вверх и влево. Угол между первым и вторым лучом будет больше $90^\circ$, то есть тупым.

Ответ: Начерчен угол, который визуально больше прямого угла.