Страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

280 a) Повернитесь на $90^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$. Покажите руками угол $90^\circ$, $180^\circ$.

б) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин, 30 мин, 1 ч?

а)

Это задание описывает действия, связанные с пониманием углов и поворотов в пространстве.

Описание поворотов:

1. Поворот на $90^\circ$ (прямой угол): Это поворот на четверть полного круга. Если вы стоите лицом в определенном направлении, то после поворота на $90^\circ$ вы будете смотреть ровно направо или налево от первоначального направления.

2. Поворот на $180^\circ$ (развернутый угол): Это поворот на половину полного круга. В результате вы разворачиваетесь и смотрите в сторону, прямо противоположную исходной.

3. Поворот на $360^\circ$ (полный угол): Это полный оборот вокруг своей оси. Вы вернетесь в то же самое положение и будете смотреть в том же направлении, что и до поворота.

Как показать углы руками:

1. Угол $90^\circ$: Чтобы показать прямой угол, можно одну руку вытянуть прямо перед собой, а другую — в сторону (налево или направо). Угол между руками будет равен $90^\circ$.

2. Угол $180^\circ$: Чтобы показать развернутый угол, нужно развести руки в противоположные стороны так, чтобы они вместе с плечами образовали прямую линию.

Ответ: Выполнение поворотов и демонстрация углов руками согласно приведенным выше описаниям.

б)

Полный оборот по кругу составляет $360^\circ$. Минутная стрелка часов совершает один полный оборот за 60 минут.

Сначала найдем, на какой угол поворачивается минутная стрелка за 1 минуту. Для этого разделим градусную меру полного круга на количество минут, за которое стрелка его проходит:

$360^\circ \div 60 \text{ мин} = 6^\circ \text{ в минуту}$

Теперь, зная, что за 1 минуту стрелка поворачивается на $6^\circ$, мы можем рассчитать угол поворота для заданных промежутков времени:

1. За 15 мин минутная стрелка повернется на:
$15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.

2. За 30 мин минутная стрелка повернется на:
$30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.

3. За 1 час (то есть за 60 мин) минутная стрелка повернется на:
$60 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 360^\circ$.

Ответ: за 15 мин стрелка поворачивается на $90^\circ$, за 30 мин — на $180^\circ$, за 1 ч — на $360^\circ$.

281 а) Каким (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является угол, величина которого равна $22^{\circ}$, $163^{\circ}$, $90^{\circ}$, $18^{\circ}$, $98^{\circ}$, $180^{\circ}$, $89^{\circ}$, $178^{\circ}$?

б) Выберите из данных углов сначала острые, а затем тупые углы: $114^{\circ}$, $54^{\circ}$, $81^{\circ}$, $100^{\circ}$, $139^{\circ}$, $99^{\circ}$, $90^{\circ}$, $77^{\circ}$.

а) Чтобы определить вид угла, необходимо сравнить его градусную меру со значениями $90°$ и $180°$. Существуют следующие виды углов:
- Острый угол — угол, который меньше $90°$.
- Прямой угол — угол, который равен $90°$.
- Тупой угол — угол, который больше $90°$, но меньше $180°$.
- Развёрнутый угол — угол, который равен $180°$.

Применим эти правила для каждого из данных углов:
- $22°$ — это острый угол, так как $22° < 90°$.
- $163°$ — это тупой угол, так как $90° < 163° < 180°$.
- $90°$ — это прямой угол.
- $18°$ — это острый угол, так как $18° < 90°$.
- $98°$ — это тупой угол, так как $90° < 98° < 180°$.
- $180°$ — это развёрнутый угол.
- $89°$ — это острый угол, так как $89° < 90°$.
- $178°$ — это тупой угол, так как $90° < 178° < 180°$.

Ответ:
Острые углы: $22°, 18°, 89°$.
Прямой угол: $90°$.
Тупые углы: $163°, 98°, 178°$.
Развёрнутый угол: $180°$.

б) Из данного набора углов $114°, 54°, 81°, 100°, 139°, 99°, 90°, 77°$ выберем сначала острые, а затем тупые.

1. Находим острые углы (те, что меньше $90°$):
Это углы $54°, 81°, 77°$.

2. Находим тупые углы (те, что больше $90°$, но меньше $180°$):
Это углы $114°, 100°, 139°, 99°$.

Угол $90°$ является прямым, поэтому он не входит ни в группу острых, ни в группу тупых углов.

Ответ:
Острые углы: $54°, 81°, 77°$.
Тупые углы: $114°, 100°, 139°, 99°$.

282 a) Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1 ч, 3 ч, 4 ч, 11 ч 30 мин?

б) Сейчас на часах 10 ч. На сколько градусов изменится величина угла между стрелками через 1 ч?

ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Для решения задачи необходимо знать, как движутся стрелки на аналоговых часах. Циферблат представляет собой окружность, которая содержит 360 градусов ($360^\circ$).
На циферблате 12 часовых делений. Следовательно, угол между двумя соседними часовыми делениями равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$.
Минутная стрелка проходит полный круг ($360^\circ$) за 60 минут. Ее скорость составляет $360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту.
Часовая стрелка проходит полный круг ($360^\circ$) за 12 часов (720 минут). Ее скорость составляет $360^\circ / 12 \text{ ч} = 30^\circ$ в час, или $30^\circ / 60 \text{ мин} = 0.5^\circ$ в минуту.

а)

Найдем угол между стрелками для каждого указанного времени.

• 1 ч (1:00)
  Минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 1. Расстояние между ними составляет одно часовое деление. Угол равен: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$.
• 3 ч (3:00)
  Минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3. Расстояние между ними составляет три часовых деления. Угол равен: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$.
• 4 ч (4:00)
  Минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 4. Расстояние между ними составляет четыре часовых деления. Угол равен: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
• 11 ч 30 мин (11:30)
  Минутная стрелка указывает на 6 (прошла 30 минут). Часовая стрелка прошла половину пути между 11 и 12. Расстояние между минутной стрелкой (на 6) и часовой (на 11.5) составляет $11.5 - 6 = 5.5$ часовых делений. Угол равен: $5.5 \times 30^\circ = 165^\circ$.

Ответ: в 1 ч — $30^\circ$, в 3 ч — $90^\circ$, в 4 ч — $120^\circ$, в 11 ч 30 мин — $165^\circ$.

б)

Сначала найдем угол между стрелками в 10 ч, а затем — через 1 час (в 11 ч).

• Сейчас 10 ч (10:00)
  Минутная стрелка на 12, часовая — на 10. Между ними 2 часовых деления ($12 - 10 = 2$). Угол равен: $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
• Через 1 час будет 11 ч (11:00)
  Минутная стрелка будет на 12, а часовая — на 11. Между ними 1 часовое деление ($12 - 11 = 1$). Угол равен: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$.

Теперь найдем, на сколько изменилась величина угла.
Изменение = $|60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.
Ответ: величина угла между стрелками изменится на $30^\circ$.

283 Начертите прямой угол и проведите на глаз его биссектрису. Проверьте себя с помощью транспортира.

Это задание представляет собой практическую задачу по геометрии, для выполнения которой необходимо следовать шагам, описанным ниже.

Сначала начертите прямой угол. Прямой угол — это угол, градусная мера которого составляет $90^\circ$. Для его построения можно использовать угольник, транспортир или даже угол обычного листа бумаги. Обозначим вершину угла буквой O, а стороны угла — лучами OA и OB. Таким образом, мы получаем угол $\angle AOB$, равный $90^\circ$.

Далее, согласно заданию, необходимо провести биссектрису этого угла «на глаз». Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Визуально оцените, где должна проходить линия, чтобы разделить угол $\angle AOB$ пополам, и проведите из вершины O луч OC.

Последний шаг — проверка точности вашего построения с помощью транспортира. Прежде чем выполнять проверку, давайте теоретически рассчитаем, какими должны получиться углы. Поскольку биссектриса делит исходный угол пополам, каждый из двух образовавшихся углов должен быть равен половине прямого угла:

$\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Следовательно, мы должны получить два равных угла, $\angle AOC$ и $\angle COB$, каждый из которых равен $45^\circ$.

Для проверки возьмите транспортир. Совместите его центр с вершиной угла O, а основание (линию с отметкой $0^\circ$) выровняйте по одной из сторон угла, например, по лучу OA. Убедитесь, что вторая сторона угла, луч OB, проходит через отметку $90^\circ$, что подтвердит правильность построения прямого угла. Затем посмотрите на положение луча OC, который вы провели на глаз. Если ваше построение было точным, этот луч должен проходить через отметку $45^\circ$ на шкале транспортира.

Если луч OC проходит через отметку $45^\circ$, значит, вы успешно справились с задачей. Небольшие отклонения допустимы, так как построение «на глаз» не является точным методом, но стремиться нужно именно к этому результату.

Ответ: Биссектриса делит прямой угол ($90^\circ$) на два равных угла по $45^\circ$. Проверка с помощью транспортира покажет, что построенный на глаз луч образует со сторонами исходного угла два угла, каждый из которых должен быть равен $45^\circ$.

284 Начертите в тетради прямой угол и разделите его на глаз на три равные части. Какой должна быть величина каждой части? Проверьте себя с помощью транспортира.

Эта задача состоит из теоретического расчета и практического задания по построению и проверке.

Какой должна быть величина каждой части?

Прямой угол имеет величину $90^\circ$.
Чтобы найти величину одной из трех равных частей, на которые разделен прямой угол, необходимо его общую величину разделить на 3.
Выполним вычисление:
$90^\circ \div 3 = 30^\circ$
Следовательно, величина каждой части должна быть $30^\circ$.

Ответ: величина каждой части должна быть $30^\circ$.

Построение и проверка с помощью транспортира

Практическая часть задания выполняется в следующей последовательности:

1. Начертите прямой угол. С помощью угольника или транспортира начертите в тетради угол, равный $90^\circ$.
2. Разделите его на глаз. Проведите из вершины угла два луча так, чтобы они, по вашему мнению, разделили исходный угол на три равные части.
3. Проверьте себя. Возьмите транспортир и измерьте каждый из трех получившихся углов. Для этого совместите центр транспортира с вершиной угла, а его нулевую отметку – с одной из сторон. В идеале, два луча, которые вы провели, должны проходить через отметки $30^\circ$ и $60^\circ$ на шкале транспортира. Сравните полученные при измерении значения с расчетным значением $30^\circ$, чтобы оценить точность вашего глазомера.

285. Начертите в тетради два острых и два тупых угла. Измерьте каждый из них.

Для выполнения этого задания необходимо знать определения острого и тупого углов и уметь пользоваться транспортиром для их построения и измерения.

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0°$ и меньше $90°$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90°$ и меньше $180°$.

Так как задание предполагает практическое выполнение, ниже приведены примеры построения и измерения углов.

Два острых угла

1. Начертим первый острый угол. Например, угол $AOB$, равный $45°$. Для этого:
а) Проведите луч $OA$.
б) Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$ (вершиной угла), а его основание прошло по лучу $OA$.
в) Найдите на шкале транспортира отметку $45°$ и поставьте точку $B$.
г) Проведите луч $OB$. Угол $AOB$ — искомый острый угол.
При измерении этого угла с помощью транспортира мы получим величину $45°$.

2. Начертим второй острый угол. Например, угол $CKD$, равный $70°$. Повторяя алгоритм, описанный выше, построим угол, величина которого $70°$. Это также острый угол, так как $70° < 90°$.
Измерение угла транспортиром подтвердит, что его величина равна $70°$.

Ответ: начерчены и измерены два острых угла, например, $45°$ и $70°$.

Два тупых угла

1. Начертим первый тупой угол. Например, угол $MNP$, равный $110°$. Построение выполняется аналогично:
а) Проведите луч $NM$.
б) Приложите транспортир центром в точке $N$ и основанием по лучу $NM$.
в) Найдите на шкале отметку $110°$ и поставьте точку $P$.
г) Проведите луч $NP$. Угол $MNP$ — тупой, так как $110° > 90°$.
Измерение покажет, что величина угла равна $110°$.

2. Начертим второй тупой угол. Например, угол $RST$, равный $165°$. Используя тот же метод, построим угол в $165°$. Это тупой угол, так как $90° < 165° < 180°$.
Измерив построенный угол, убедимся, что его градусная мера составляет $165°$.

Ответ: начерчены и измерены два тупых угла, например, $110°$ и $165°$.

286 Определите сначала, каким (острым или тупым) является угол, а затем с помощью транспортира постройте его:

а) $35^\circ$;

б) $64^\circ$;

в) $95^\circ$;

г) $119^\circ$;

д) $153^\circ$.

Для решения этой задачи необходимо для каждого угла сначала определить его вид (острый или тупой), а затем описать, как построить этот угол с помощью транспортира.

Вспомним правила определения вида угла:
• Угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$, называется острым.
• Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$, называется тупым.

а)

Задан угол $35^\circ$.
Определение вида угла: Сравниваем градусную меру с $90^\circ$. Так как $35^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым.
Построение угла:
1. Проведем произвольный луч, например, OA. Точка O будет вершиной будущего угла.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой O, а нулевая отметка (начало отсчета) на его шкале прошла через луч OA.
3. На шкале транспортира найдем деление, соответствующее $35^\circ$, и поставим напротив него точку B.
4. С помощью линейки проведем луч OB.
Полученный угол AOB и есть искомый угол в $35^\circ$.
Ответ: острый.

б)

Задан угол $64^\circ$.
Определение вида угла: Сравниваем градусную меру с $90^\circ$. Так как $64^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым.
Построение угла: Построение выполняется аналогично предыдущему пункту. От произвольного луча с помощью транспортира откладывается угол в $64^\circ$.
Ответ: острый.

в)

Задан угол $95^\circ$.
Определение вида угла: Сравниваем градусную меру с $90^\circ$. Так как $95^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым.
Построение угла: Построение выполняется по тому же алгоритму, что и в пункте а). От луча откладывается угол в $95^\circ$.
Ответ: тупой.

г)

Задан угол $119^\circ$.
Определение вида угла: Сравниваем градусную меру с $90^\circ$. Так как $119^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым.
Построение угла: Построение выполняется по тому же алгоритму, что и в пункте а). От луча откладывается угол в $119^\circ$.
Ответ: тупой.

д)

Задан угол $153^\circ$.
Определение вида угла: Сравниваем градусную меру с $90^\circ$. Так как $153^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым.
Построение угла: Построение выполняется по тому же алгоритму, что и в пункте а). От луча откладывается угол в $153^\circ$.
Ответ: тупой.

287 Используя линии квадратной сетки, постройте углы, равные $45^\circ$ и $135^\circ$.

Подсказка. $45^\circ = 90^\circ : 2$, $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$.

Построение угла 45°

Чтобы построить угол в $45^\circ$, мы используем подсказку: $45^\circ = 90^\circ : 2$. Линии квадратной сетки пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Диагональ квадрата делит его угол пополам, то есть создает два угла по $45^\circ$.

Порядок построения:

1. Выбираем на пересечении линий сетки точку, которая будет вершиной угла (назовем ее O).
2. От точки O проводим луч вдоль одной из линий сетки (например, по горизонтали). Это будет одна сторона угла.
3. От той же точки O проводим второй луч точно по диагонали клеток сетки. Это будет вторая сторона угла.

Угол, образованный этими двумя лучами, будет равен $45^\circ$.

Ответ: Угол в $45^\circ$ построен. Его одна сторона лежит на линии сетки, а вторая проходит по диагонали клеток.

Построение угла 135°

Для построения угла в $135^\circ$ используем подсказку: $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$. Это означает, что нам нужно к прямому углу добавить угол в $45^\circ$.

Порядок построения:

1. Выбираем на пересечении линий сетки точку, которая будет вершиной угла (назовем ее O).
2. От точки O проводим луч вдоль одной из линий сетки (например, по горизонтали вправо). Это будет первая сторона угла.
3. Вторая сторона угла должна быть повернута на $135^\circ$ относительно первой. Это то же самое, что повернуть на $90^\circ$ (вверх по линии сетки), а затем добавить еще $45^\circ$ (по диагонали в том же направлении вращения).
4. Таким образом, проводим второй луч из точки O по диагонали клеток в соседнем квадранте (например, вверх и влево).

Угол, образованный первой стороной (горизонтальный луч) и второй стороной (диагональный луч в соседнем квадранте), будет равен $135^\circ$.

Ответ: Угол в $135^\circ$ построен. Его одна сторона лежит на линии сетки, а вторая проходит по диагонали клеток в смежном квадранте.

288 Начертите окружность и постройте два её радиуса так, чтобы угол между ними был равен:

a) $45^{\circ}$;

б) $90^{\circ}$;

в) $135^{\circ}$;

г) $180^{\circ}$.

Для выполнения этого задания потребуются циркуль, линейка и транспортир. Алгоритм действий будет следующим:
1. С помощью циркуля начертим окружность произвольного радиуса с центром в точке O.
2. Проведём из центра O к любой точке на окружности, назовём её A, отрезок OA. Это будет первый радиус.
3. От радиуса OA отложим нужный угол с помощью транспортира и проведём второй радиус.

а) 45°
Для построения угла в $45^\circ$, приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности O, а отметка $0^\circ$ на шкале — с лучом OA.
Найдём на шкале транспортира деление $45^\circ$ и поставим в этом месте точку C.
Соединим центр O с точкой C и продолжим этот отрезок до пересечения с окружностью в точке B.
Полученный отрезок OB является вторым радиусом. Угол $\angle AOB$ равен $45^\circ$.
Ответ: Построение выполнено, угол между радиусами OA и OB равен $45^\circ$.

б) 90°
Для построения угла в $90^\circ$, приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности O, а отметка $0^\circ$ на шкале — с лучом OA.
Найдём на шкале транспортира деление $90^\circ$ и поставим в этом месте точку C.
Соединим центр O с точкой C и продолжим этот отрезок до пересечения с окружностью в точке B.
Полученный отрезок OB является вторым радиусом. Угол $\angle AOB$ равен $90^\circ$. Такие радиусы называются перпендикулярными.
Ответ: Построение выполнено, угол между радиусами OA и OB равен $90^\circ$.

в) 135°
Для построения угла в $135^\circ$, приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности O, а отметка $0^\circ$ на шкале — с лучом OA.
Найдём на шкале транспортира деление $135^\circ$ и поставим в этом месте точку C.
Соединим центр O с точкой C и продолжим этот отрезок до пересечения с окружностью в точке B.
Полученный отрезок OB является вторым радиусом. Угол $\angle AOB$ равен $135^\circ$.
Ответ: Построение выполнено, угол между радиусами OA и OB равен $135^\circ$.

г) 180°
Угол в $180^\circ$ является развёрнутым. Два радиуса, образующие такой угол, лежат на одной прямой и вместе составляют диаметр окружности.
Для построения такого угла достаточно провести первый радиус OA, а затем с помощью линейки продлить его через центр O до пересечения с окружностью в противоположной точке, которую назовём B.
Радиусы OA и OB лежат на одной прямой, образуя диаметр AB. Угол $\angle AOB$ равен $180^\circ$.
Ответ: Построение выполнено, угол между радиусами OA и OB равен $180^\circ$.

289 Начертите в тетради полукруг и разделите его с помощью транспортира:

а) на 4 равные части;

б) на 6 равных частей;

в) на 3 равные части. Какова градусная мера каждого из получившихся углов?

Полукруг представляет собой развернутый угол, градусная мера которого составляет $180^\circ$. Чтобы разделить полукруг на несколько равных частей, нужно его градусную меру разделить на количество этих частей.

а) Чтобы разделить полукруг на 4 равные части, необходимо выполнить деление:
$180^\circ : 4 = 45^\circ$
Градусная мера каждого из получившихся углов будет равна $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$

б) Чтобы разделить полукруг на 6 равных частей, необходимо выполнить деление:
$180^\circ : 6 = 30^\circ$
Градусная мера каждого из получившихся углов будет равна $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$

в) Чтобы разделить полукруг на 3 равные части, необходимо выполнить деление:
$180^\circ : 3 = 60^\circ$
Градусная мера каждого из получившихся углов будет равна $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$