Страница 94 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Какой угол называют острым, а какой — тупым? Начертите острый угол $AOB$. Проведите луч $OC$ так, чтобы угол $AOC$ был прямым, угол $COB$ — тупым.

Какой угол называют острым, а какой — тупым?

Острым углом называют угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$.

Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Для полноты картины стоит также упомянуть прямой угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$.

Ответ: Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (меньше $90^\circ$). Тупой угол — это угол, который больше прямого (больше $90^\circ$), но меньше развернутого угла ($180^\circ$).

Начертите острый угол AOB. Проведите луч OC так, чтобы угол AOC был прямым, угол COB — тупым.

Для выполнения этого задания следуем пошаговому плану:

1. Начертим острый угол $\angle AOB$. Пусть его градусная мера равна $\alpha$. По определению острого угла, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

2. Из вершины $O$ проведем луч $OC$ так, чтобы угол $\angle AOC$ был прямым, то есть $\angle AOC = 90^\circ$.

3. Чтобы угол $\angle COB$ получился тупым, необходимо расположить луч $OC$ таким образом, чтобы луч $OA$ находился между лучами $OC$ и $OB$. Это значит, что углы $\angle AOC$ и $\angle AOB$ должны иметь общую сторону $OA$, но их внутренние области не должны пересекаться.

4. При таком расположении лучей, согласно аксиоме измерения углов, градусная мера угла $\angle COB$ будет равна сумме градусных мер углов $\angle AOC$ и $\angle AOB$:
$\angle COB = \angle AOC + \angle AOB$

Подставляя известные значения, получаем:
$\angle COB = 90^\circ + \alpha$

5. Так как $\alpha$ — это величина острого угла ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то для угла $\angle COB$ будет выполняться следующее двойное неравенство:
$90^\circ + 0^\circ < \angle COB < 90^\circ + 90^\circ$
$90^\circ < \angle COB < 180^\circ$

Это означает, что угол $\angle COB$ является тупым, что полностью соответствует условию задачи.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий данное построение. На нем $\angle AOB$ — острый, $\angle AOC$ — прямой (обозначен квадратиком), а $\angle COB$ — тупой.

Ответ: Для выполнения условия задачи необходимо начертить острый угол $\angle AOB$, а затем провести луч $OC$ из той же вершины $O$ так, чтобы он образовывал прямой угол с лучом $OA$ и при этом луч $OA$ лежал между лучами $OC$ и $OB$. В результате угол $\angle COB$ будет равен сумме прямого и острого углов и, следовательно, будет тупым.

2 Что называют биссектрисой угла? Начертите тупой угол $AOB$. Измерьте и запишите его величину. Постройте биссектрису этого угла.

Что называют биссектрисой угла?

Биссектрисой угла называют луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных по величине угла. Часто используется мнемоническое правило: "Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам".

Ответ: Биссектриса угла — это луч, делящий угол на две равные части.

Начертите тупой угол АОВ. Измерьте и запишите его величину.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

1. Начертим луч ОА.
2. С помощью транспортира отложим от луча ОА угол, больший $90^\circ$. Например, выберем угол в $140^\circ$.
3. Проведем второй луч ОВ через отметку $140^\circ$ на транспортире.

В результате мы получили тупой угол АОВ.

Измерив его транспортиром, мы подтверждаем его величину.

Ответ: Величина начерченного тупого угла АОВ равна $140^\circ$.

Постройте биссектрису этого угла.

Чтобы построить биссектрису угла АОВ, нужно разделить его градусную меру пополам.

Величина угла АОВ равна $140^\circ$. Найдем половину этой величины:
$140^\circ / 2 = 70^\circ$

Теперь с помощью транспортира отложим от луча ОА (или ОВ) угол, равный $70^\circ$, и проведем из вершины О новый луч ОС.

Луч ОС является биссектрисой угла АОВ, так как он делит его на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB = 70^\circ$.

Ответ: Построена биссектриса ОС, которая делит угол АОВ на два равных угла по $70^\circ$.

3 Острым, прямым или тупым является угол, величина которого равна $120^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$? Постройте эти углы с помощью транспортира.

Для определения вида угла необходимо сравнить его градусную меру с $90°$:

• Острый угол — угол, который меньше $90°$.
• Прямой угол — угол, который равен $90°$.
• Тупой угол — угол, который больше $90°$, но меньше $180°$.

120°

Угол, величина которого равна $120°$, является тупым, так как его градусная мера больше $90°$ ($120° > 90°$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертите горизонтальный луч с началом в точке О. Это будет первая сторона угла.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой О, а нулевая отметка на шкале легла на начерченный луч.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $120°$ и поставьте в этом месте точку (например, А).
4. Уберите транспортир и проведите второй луч из точки О через точку А.
5. Полученный угол будет равен $120°$.

Ответ: тупой угол.

45°

Угол, величина которого равна $45°$, является острым, так как его градусная мера меньше $90°$ ($45° < 90°$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертите луч с началом в точке О.
2. Совместите центр транспортира с точкой О, а его основание — с лучом.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $45°$ и поставьте точку (например, В).
4. Проведите луч из точки О через точку В.
5. Полученный угол будет равен $45°$.

Ответ: острый угол.

90°

Угол, величина которого равна $90°$, является прямым.

Построение с помощью транспортира:

1. Начертите луч с началом в точке О.
2. Приложите транспортир центром к точке О и совместите его основание с лучом.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $90°$ и поставьте точку (например, С).
4. Проведите луч из точки О через точку С.
5. Полученный угол будет прямым и равен $90°$.

Ответ: прямой угол.

4 Измерьте и запишите величины углов.

Угол ABC: $ \angle ABC $

Угол LKM: $ \angle LKM $

Чтобы измерить углы, изображенные на рисунке, необходимо воспользоваться транспортиром.

Угол BAC

1. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла — точкой А.

2. Расположим транспортир так, чтобы сторона АС угла прошла через начало отсчета на шкале транспортира (отметку 0°).

3. Посмотрим, через какую отметку на той же шкале проходит вторая сторона угла — луч АВ. Луч АВ пересекает шкалу транспортира на отметке 75°.

Следовательно, величина угла BAC равна 75°. Этот угол является острым, так как его градусная мера меньше 90° ($75^\circ < 90^\circ$).

Ответ: $\angle BAC = 75^\circ$.

Угол LKM

1. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла — точкой K.

2. Расположим транспортир так, чтобы сторона KM угла прошла через начало отсчета на шкале транспортира (отметку 0°).

3. Посмотрим, через какую отметку на той же шкале проходит вторая сторона угла — луч KL. Луч KL пересекает шкалу транспортира на отметке 115°.

Следовательно, величина угла LKM равна 115°. Этот угол является тупым, так как его градусная мера больше 90°, но меньше 180° ($90^\circ < 115^\circ < 180^\circ$).

Ответ: $\angle LKM = 115^\circ$.

5 Найдите периметр треугольника, имеющего стороны 2 см 5 мм, 3 см, 4 см 7 мм.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр, сложим длины всех трёх сторон: 2 см 5 мм, 3 см и 4 см 7 мм.

Для удобства вычислений можно отдельно сложить сантиметры и отдельно миллиметры.

1. Складываем сантиметры:

$2 \text{ см } + 3 \text{ см } + 4 \text{ см } = 9 \text{ см}$

2. Складываем миллиметры:

$5 \text{ мм } + 7 \text{ мм } = 12 \text{ мм}$

3. Объединяем полученные значения. Периметр равен 9 см 12 мм.

4. Так как в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см } = 10 \text{ мм}$), мы можем преобразовать 12 мм в сантиметры и миллиметры:

$12 \text{ мм } = 10 \text{ мм } + 2 \text{ мм } = 1 \text{ см } 2 \text{ мм}$

5. Добавляем полученный 1 см к 9 см:

$9 \text{ см } + 1 \text{ см } 2 \text{ мм } = 10 \text{ см } 2 \text{ мм}$

Ответ: $10 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

6 Начертите треугольник, один из углов которого равен $100^\circ$. Измерьте величину одного из острых углов.

Начертите треугольник, один из углов которого равен 100°

Для построения такого треугольника необходимо воспользоваться линейкой и транспортиром. Построение выполняется в несколько шагов:

1. С помощью линейки начертите произвольный луч с началом в точке А.

2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой А, а его нулевая отметка (начало отсчета) легла на построенный луч.

3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее 100°, и поставьте в этом месте точку С.

4. Проведите второй луч из точки А через точку С. Угол между двумя построенными лучами равен 100°.

5. На первом луче выберите произвольную точку В (не совпадающую с А), а на втором — произвольную точку D (не совпадающую с А).

6. Соедините точки В и D отрезком. Полученный треугольник ABD является искомым, так как его угол ∠BAD по построению равен 100°.

Измерьте величину одного из острых углов

Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Поскольку один из углов в нашем треугольнике равен 100°, то сумма двух других углов (∠B и ∠D) будет равна:

$180° - 100° = 80°$

Так как сумма этих двух углов равна 80°, и величина каждого из них больше нуля, то каждый из них будет меньше 80°, а значит, и меньше 90°. Углы, которые меньше 90°, называются острыми. Таким образом, у построенного треугольника есть два острых угла.

Для измерения величины одного из них, например угла B, нужно выполнить следующие действия:

1. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной B.

2. Совместить нулевую отметку транспортира со стороной BA.

3. Посмотреть, на какое деление на шкале транспортира указывает сторона BD. Это и будет величина угла B.

Величина этого угла зависит от того, как именно был начерчен треугольник (то есть от выбора положения точек B и D на лучах). Поэтому результат измерения может быть разным. Например, в одном из возможных треугольников величина острого угла может составить 45°.

Ответ: 45°.

7 Начертите произвольный выпуклый пятиугольник $ABCDE$ и проведите диагональ $AD$. Запишите, на какие многоугольники разбила пятиугольник эта диагональ.

Выполните необходимые измерения и найдите периметр пятиугольника.

Начертим произвольный выпуклый пятиугольник ABCDE и проведем в нем диагональ AD.

Запишите, на какие многоугольники разбила пятиугольник эта диагональ.

Диагональ AD соединяет две несоседние вершины A и D. Эта диагональ разбивает исходный пятиугольник ABCDE на две фигуры: треугольник ADE (с вершинами A, D, E) и четырехугольник ABCD (с вершинами A, B, C, D).

Ответ: диагональ AD разбила пятиугольник на треугольник ADE и четырехугольник ABCD.

Выполните необходимые измерения и найдите периметр пятиугольника.

Поскольку выполнить реальные измерения невозможно, зададим произвольные, но конкретные длины сторонам нашего начерченного пятиугольника. Например:

AB = 3 см
BC = 4 см
CD = 3,5 см
DE = 2,5 см
EA = 5 см

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для пятиугольника ABCDE формула периметра $P$ выглядит так:

$P_{ABCDE} = AB + BC + CD + DE + EA$

Подставим наши измеренные (заданные) значения в формулу и вычислим периметр:

$P_{ABCDE} = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 3,5 \text{ см} + 2,5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Ответ: периметр пятиугольника равен 18 см.