Страница 98 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

312 a) Убедитесь, выполнив умножение, что верно равенство $24 \cdot 7 = 168$. Является ли делителем числа 168 число 24; число 7? Если является, то укажите соответствующее частное.

б) Убедитесь, выполнив умножение, что верно равенство $336 = 6 \cdot 7 \cdot 8$. Является ли делителем числа 336 число 6; число 7; число 56? Если является, то укажите соответствующее частное.

а)

Сначала убедимся, что равенство верно. Выполним умножение: $24 \cdot 7 = 168$. Можно посчитать столбиком или разложить число 24 на $20$ и $4$: $(20 + 4) \cdot 7 = 20 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 140 + 28 = 168$. Равенство верно.

Теперь ответим на вторую часть вопроса. Если произведение двух чисел равно третьему числу, то каждое из этих двух чисел является делителем третьего числа.

Так как $24 \cdot 7 = 168$, то:

• Число 24 является делителем числа 168. Соответствующее частное равно второму множителю, то есть 7. Проверка: $168 / 24 = 7$.
• Число 7 является делителем числа 168. Соответствующее частное равно первому множителю, то есть 24. Проверка: $168 / 7 = 24$.

Ответ: Равенство верно. Число 24 является делителем числа 168, соответствующее частное равно 7. Число 7 является делителем числа 168, соответствующее частное равно 24.

б)

Убедимся, что равенство верно, выполнив умножение по порядку: $6 \cdot 7 \cdot 8 = 42 \cdot 8 = 336$. Равенство $336 = 6 \cdot 7 \cdot 8$ верно.

Теперь определим, являются ли числа 6, 7 и 56 делителями числа 336.

• Является ли 6 делителем? Да, так как 336 можно представить в виде $6 \cdot (7 \cdot 8)$. Частное будет равно $7 \cdot 8 = 56$. Проверка: $336 / 6 = 56$.
• Является ли 7 делителем? Да, так как 336 можно представить в виде $7 \cdot (6 \cdot 8)$. Частное будет равно $6 \cdot 8 = 48$. Проверка: $336 / 7 = 48$.
• Является ли 56 делителем? Заметим, что $56 = 7 \cdot 8$. Тогда исходное равенство можно переписать как $336 = 6 \cdot (7 \cdot 8) = 6 \cdot 56$. Отсюда следует, что 56 является делителем числа 336. Частное равно 6. Проверка: $336 / 56 = 6$.

Ответ: Равенство верно. Число 6 является делителем числа 336, частное равно 56. Число 7 является делителем числа 336, частное равно 48. Число 56 является делителем числа 336, частное равно 6.

313 Докажите, что число 35 является делителем числа 560, а число 18 его делителем не является.

Чтобы определить, является ли одно число делителем другого, нужно проверить, делится ли второе число на первое без остатка.

Число 35 является делителем числа 560

Для доказательства этого утверждения выполним деление:

$560 \div 35 = 16$

Результатом деления является целое число 16, остаток равен нулю. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: число 35 является делителем числа 560, так как $560 = 35 \times 16$.

Число 18 не является делителем числа 560

Для доказательства этого утверждения проверим делимость числа 560 на 18. Можно использовать признаки делимости. Число делится на 18, если оно делится одновременно и на 2, и на 9, поскольку $18 = 2 \times 9$.

Проверим признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числа 560 равна: $5 + 6 + 0 = 11$.

Поскольку 11 не делится на 9 без остатка, то и 560 не делится на 9. А раз число не делится на 9, оно не может делиться и на 18. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: число 18 не является делителем числа 560, так как 560 не делится на 9.

314 Какие из чисел 2, 12, 35, 40, 112, 120, 200 являются делителями числа 240?

Для того чтобы определить, какие из чисел 2, 12, 35, 40, 112, 120, 200 являются делителями числа 240, необходимо проверить, делится ли число 240 на каждое из этих чисел без остатка.

1. Проверим число 2: $240 \div 2 = 120$. Деление происходит без остатка, значит, 2 является делителем числа 240.

2. Проверим число 12: $240 \div 12 = 20$. Деление происходит без остатка, значит, 12 является делителем числа 240.

3. Проверим число 35: $240 \div 35 = 6$ (остаток 30), так как $6 \times 35 = 210$. Деление происходит с остатком, значит, 35 не является делителем числа 240.

4. Проверим число 40: $240 \div 40 = 6$. Деление происходит без остатка, значит, 40 является делителем числа 240.

5. Проверим число 112: $240 \div 112 = 2$ (остаток 16), так как $2 \times 112 = 224$. Деление происходит с остатком, значит, 112 не является делителем числа 240.

6. Проверим число 120: $240 \div 120 = 2$. Деление происходит без остатка, значит, 120 является делителем числа 240.

7. Проверим число 200: $240 \div 200 = 1$ (остаток 40), так как $1 \times 200 = 200$. Деление происходит с остатком, значит, 200 не является делителем числа 240.

Таким образом, из предложенного списка чисел делителями числа 240 являются: 2, 12, 40, 120.

Ответ: 2, 12, 40, 120.

315 Проверьте, верно ли утверждение. Неверное утверждение исправьте так, чтобы получилось верное.

1) Число 23 является делителем числа 92.

2) Число 9 не является делителем числа 126.

3) Число 18 — делитель числа 176.

4) Только числа 6 и 8 являются делителями числа 48.

1) Число 23 является делителем числа 92.

Чтобы проверить это утверждение, необходимо разделить 92 на 23. Если результатом будет целое число без остатка, то утверждение является верным.

Выполним деление: $92 : 23 = 4$.

Поскольку в результате деления получилось целое число 4, число 23 является делителем числа 92. Утверждение верное.

Ответ: Утверждение верное.

2) Число 9 не является делителем числа 126.

Чтобы проверить это утверждение, нужно выяснить, делится ли 126 на 9. Можно воспользоваться признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Найдем сумму цифр числа 126: $1 + 2 + 6 = 9$.

Сумма цифр (9) делится на 9, следовательно, и число 126 делится на 9. $126 : 9 = 14$.

Так как 126 делится на 9 без остатка, число 9 является делителем числа 126. Исходное утверждение неверно.

Исправленное верное утверждение: «Число 9 является делителем числа 126».

Ответ: Утверждение неверное. Исправленный вариант: Число 9 является делителем числа 126.

3) Число 18 — делитель числа 176.

Проверим, делится ли число 176 на 18 без остатка.

Выполним деление с остатком: $176 : 18 = 9$ (остаток 14), потому что $18 \times 9 = 162$, и $176 - 162 = 14$.

Поскольку деление происходит с остатком, число 18 не является делителем числа 176. Утверждение неверно.

Исправленное верное утверждение: «Число 18 не является делителем числа 176».

Ответ: Утверждение неверное. Исправленный вариант: Число 18 не является делителем числа 176.

4) Только числа 6 и 8 являются делителями числа 48.

Это утверждение неверно, так как оно утверждает, что у числа 48 нет других делителей, кроме 6 и 8. Проверим это, найдя все делители числа 48.

Делители числа — это числа, на которые оно делится без остатка.

Проверим числа 6 и 8: $48 : 6 = 8$; $48 : 8 = 6$. Они являются делителями.

Найдем другие делители: $48 : 1 = 48$; $48 : 2 = 24$; $48 : 3 = 16$; $48 : 4 = 12$.

Полный список делителей числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

У числа 48 гораздо больше двух делителей. Следовательно, утверждение неверно.

Исправленное верное утверждение: «Делителями числа 48 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48».

Ответ: Утверждение неверное. Исправленный вариант: Делителями числа 48 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

316 Из равенства $272 = 34 \cdot 8$ следует, что числа 34 и 8 являются делителями числа 272. Найдите ещё какие-нибудь делители числа 272 и запишите соответствующие равенства.

Для нахождения других делителей числа 272 воспользуемся данным равенством $272 = 34 \cdot 8$. Разложим множители 34 и 8 на более простые множители.

Число 34 можно представить как произведение $2 \cdot 17$.

Число 8 можно представить как произведение $2 \cdot 4$ или $2 \cdot 2 \cdot 2$.

Теперь мы можем перегруппировать эти множители, чтобы получить новые пары делителей для числа 272.

1. Найдем делители, используя разложение $272 = (2 \cdot 17) \cdot 8$.

Мы можем сгруппировать множители по-другому: $272 = 17 \cdot (2 \cdot 8) = 17 \cdot 16$.

Следовательно, числа 16 и 17 являются делителями числа 272.

Соответствующее равенство: $272 = 16 \cdot 17$.

2. Найдем делители, используя разложение $272 = 34 \cdot (2 \cdot 4)$.

Перегруппируем множители: $272 = (34 \cdot 2) \cdot 4 = 68 \cdot 4$.

Следовательно, числа 4 и 68 являются делителями числа 272.

Соответствующее равенство: $272 = 4 \cdot 68$.

3. Найдем делители, используя разложение $272 = 34 \cdot (4 \cdot 2)$.

Перегруппируем множители: $272 = (34 \div 2) \cdot (8 \cdot 2) = 17 \cdot 16$. Это тот же результат, что и в первом пункте.

Другой вариант: так как 272 - четное число, оно делится на 2. $272 \div 2 = 136$.

Следовательно, числа 2 и 136 являются делителями числа 272.

Соответствующее равенство: $272 = 2 \cdot 136$.

Ответ: Другими делителями числа 272 являются, например, 2, 4, 16, 17, 68, 136. Соответствующие равенства могут быть такими: $272 = 16 \cdot 17$; $272 = 4 \cdot 68$; $272 = 2 \cdot 136$.

317 Найдите с помощью перебора всех возможных вариантов все делители числа:

а) 6;

б) 7;

в) 14;

г) 18;

д) 70.

а) 6;

Чтобы найти все делители числа 6, будем последовательно делить число 6 на натуральные числа, начиная с 1. Если деление происходит без остатка, то это число является делителем.
$6 : 1 = 6$ (делится без остатка), значит 1 — делитель.
$6 : 2 = 3$ (делится без остатка), значит 2 — делитель.
$6 : 3 = 2$ (делится без остатка), значит 3 — делитель.
$6 : 4 = 1$ (остаток 2), значит 4 не является делителем.
$6 : 5 = 1$ (остаток 1), значит 5 не является делителем.
$6 : 6 = 1$ (делится без остатка), значит 6 — делитель.
Перебор закончен. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Ответ: 1, 2, 3, 6.

б) 7;

Чтобы найти все делители числа 7, будем последовательно делить число 7 на натуральные числа, начиная с 1.
$7 : 1 = 7$ (делится без остатка), значит 1 — делитель.
При делении на 2, 3, 4, 5, 6 образуется остаток.
$7 : 7 = 1$ (делится без остатка), значит 7 — делитель.
Число 7 является простым, так как имеет только два делителя: 1 и само себя.
Ответ: 1, 7.

в) 14;

Чтобы найти все делители числа 14, будем последовательно делить число 14 на натуральные числа, начиная с 1.
$14 : 1 = 14$ (делится), значит 1 — делитель.
$14 : 2 = 7$ (делится), значит 2 — делитель.
При делении на 3, 4, 5, 6 образуется остаток.
$14 : 7 = 2$ (делится), значит 7 — делитель.
При делении на 8, 9, 10, 11, 12, 13 образуется остаток.
$14 : 14 = 1$ (делится), значит 14 — делитель.
Делители числа 14: 1, 2, 7, 14.
Ответ: 1, 2, 7, 14.

г) 18;

Чтобы найти все делители числа 18, будем последовательно делить число 18 на натуральные числа, начиная с 1.
$18 : 1 = 18$ (делится), значит 1 — делитель.
$18 : 2 = 9$ (делится), значит 2 — делитель.
$18 : 3 = 6$ (делится), значит 3 — делитель.
При делении на 4, 5 образуется остаток.
$18 : 6 = 3$ (делится), значит 6 — делитель.
При делении на 7, 8 образуется остаток.
$18 : 9 = 2$ (делится), значит 9 — делитель.
При делении на числа с 10 по 17 образуется остаток.
$18 : 18 = 1$ (делится), значит 18 — делитель.
Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

д) 70.

Чтобы найти все делители числа 70, будем последовательно делить число 70 на натуральные числа, начиная с 1. Удобно искать делители парами: если мы нашли один делитель, то частное от деления также будет делителем.
$70 : 1 = 70$, значит 1 и 70 — делители.
$70 : 2 = 35$, значит 2 и 35 — делители.
70 не делится на 3 и 4.
$70 : 5 = 14$, значит 5 и 14 — делители.
70 не делится на 6.
$70 : 7 = 10$, значит 7 и 10 — делители.
Дальнейший перебор до 70 не даст новых делителей.
Выпишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
Ответ: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

318 Сколько делителей имеет число:

а) 8;

б) 9;

в) 12;

г) 13?

а)

Чтобы найти количество делителей числа 8, нужно найти все натуральные числа, на которые 8 делится без остатка. Перечислим их, выполнив деление:
$8 \div 1 = 8$
$8 \div 2 = 4$
$8 \div 4 = 2$
$8 \div 8 = 1$
Делителями числа 8 являются: 1, 2, 4, 8. Всего 4 делителя.
Альтернативный способ: разложим число на простые множители: $8 = 2^3$. Количество натуральных делителей равно показателю степени, увеличенному на единицу: $(3+1) = 4$.
Ответ: 4.

б)

Чтобы найти количество делителей числа 9, нужно найти все натуральные числа, на которые 9 делится без остатка. Перечислим их:
$9 \div 1 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$9 \div 9 = 1$
Делителями числа 9 являются: 1, 3, 9. Всего 3 делителя.
Альтернативный способ: разложим число на простые множители: $9 = 3^2$. Количество натуральных делителей равно показателю степени, увеличенному на единицу: $(2+1) = 3$.
Ответ: 3.

в)

Чтобы найти количество делителей числа 12, нужно найти все натуральные числа, на которые 12 делится без остатка. Перечислим их:
$12 \div 1 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$12 \div 3 = 4$
$12 \div 4 = 3$
$12 \div 6 = 2$
$12 \div 12 = 1$
Делителями числа 12 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Всего 6 делителей.
Альтернативный способ: разложим число на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3^1$. Чтобы найти количество делителей, нужно к каждому показателю степени прибавить единицу и перемножить полученные результаты: $(2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6.

г)

Чтобы найти количество делителей числа 13, нужно найти все натуральные числа, на которые 13 делится без остатка. Число 13 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
$13 \div 1 = 13$
$13 \div 13 = 1$
Делителями числа 13 являются: 1, 13. Всего 2 делителя.
Альтернативный способ: разложение простого числа 13 на множители имеет вид $13^1$. Количество делителей равно $(1+1) = 2$.
Ответ: 2.

319 а) Сколько существует способов разделить 36 конфет на одинаковые порции? (В порции должно быть больше одной конфеты.)

б) В классе 24 ученика. Их надо разбить на равные группы. По сколько человек может быть в этих группах?

а)

Задача заключается в том, чтобы найти количество способов разделить 36 конфет на одинаковые порции, при условии, что в каждой порции должно быть больше одной конфеты. Это означает, что нам нужно найти количество всех делителей числа 36, которые строго больше 1.

Сначала найдем все натуральные делители числа 36. Делитель — это число, на которое 36 делится без остатка.

Найдем пары множителей, которые в произведении дают 36:

$1 \times 36 = 36$

$2 \times 18 = 36$

$3 \times 12 = 36$

$4 \times 9 = 36$

$6 \times 6 = 36$

Таким образом, все делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Всего их 9.

Каждый из этих делителей представляет собой возможный размер порции. Однако, согласно условию, в порции должно быть больше одной конфеты. Это значит, что вариант с порцией в 1 конфету мы должны исключить.

Исключив 1, мы получаем следующие возможные размеры порций: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Посчитав количество этих вариантов, получаем 8.

Ответ: существует 8 способов.

б)

В классе 24 ученика, которых нужно разбить на равные группы. Необходимо определить, по сколько человек может быть в каждой такой группе.

Для того чтобы всех учеников можно было разделить на равные группы, количество человек в группе должно быть делителем общего числа учеников, то есть 24. Нам нужно найти все натуральные делители числа 24.

Найдем все пары чисел, произведение которых равно 24:

$1 \times 24 = 24$

$2 \times 12 = 24$

$3 \times 8 = 24$

$4 \times 6 = 24$

Делителями числа 24 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Каждое из этих чисел является возможным размером группы. Например, можно разбить класс на 12 групп по 2 ученика, или на 4 группы по 6 учеников. В отличие от предыдущего пункта, здесь нет дополнительных ограничений, поэтому мы рассматриваем все математически возможные варианты, включая 24 группы по 1 человеку или 1 группу из 24 человек (весь класс).

Ответ: в этих группах может быть 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24 человека.

320 Учитель дал каждому из учащихся в классе одно и то же количество тетрадей. Всего он раздал 87 тетрадей. Сколько тетрадей получил каждый ученик и сколько учащихся в классе?

Пусть $x$ — количество учащихся в классе, а $y$ — количество тетрадей, которое получил каждый ученик. По условию задачи, учитель раздал каждому ученику одно и то же количество тетрадей, а всего было роздано 87 тетрадей. Это можно выразить математически как произведение количества учащихся на количество тетрадей, выданных каждому:

$x \cdot y = 87$

Здесь $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами. Чтобы найти возможные значения $x$ и $y$, нужно найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 87. Для этого разложим число 87 на простые множители.

Сумма цифр числа 87 равна $8 + 7 = 15$. Поскольку 15 делится на 3, то и 87 делится на 3.

$87 : 3 = 29$

Число 29 является простым (делится только на 1 и на само себя). Таким образом, разложение числа 87 на простые множители имеет вид:

$87 = 3 \cdot 29$

Теперь рассмотрим возможные пары множителей для числа 87:

• $1 \cdot 87 = 87$
• $3 \cdot 29 = 87$

Так как в условии задачи слово "учащихся" употреблено во множественном числе, это означает, что в классе было больше одного ученика. Следовательно, вариант, где в классе 1 ученик, которому дали 87 тетрадей, маловероятен, хотя математически и является решением. Аналогично, вариант, где было 87 учеников, и каждый получил по одной тетради, тоже является возможным, но в школьных задачах чаще всего рассматриваются нетривиальные делители.

Наиболее вероятным решением, исходя из контекста, является пара множителей 3 и 29. Это приводит к двум возможным ситуациям:

1. В классе было 3 ученика, и каждый из них получил по 29 тетрадей ($3 \cdot 29 = 87$).
2. В классе было 29 учеников, и каждый из них получил по 3 тетради ($29 \cdot 3 = 87$).

Оба этих варианта полностью соответствуют условию задачи, так как в ней не содержится дополнительной информации для однозначного выбора между ними.

Ответ: в классе было 3 ученика и каждый получил по 29 тетрадей, или в классе было 29 учеников и каждый получил по 3 тетради.

321 а) В одной группе 36 спортсменов, а в другой — 40 спортсменов. Сколько имеется возможностей для построения спортсменов так, чтобы группы шли одна за другой одинаковыми рядами?

б) У Тимура 18 синих и 12 жёлтых палочек. Их нужно разложить в одинаковые кучки так, чтобы в каждой были и синие, и жёлтые палочки. Сколькими способами Тимур может это сделать?

а)

Чтобы обе группы спортсменов можно было построить одинаковыми рядами, количество человек в ряду должно быть общим делителем для числа спортсменов в каждой группе, то есть для 36 и 40. Таким образом, количество возможностей для построения равно количеству общих делителей этих чисел.

Для нахождения всех общих делителей найдём Наибольший Общий Делитель (НОД) чисел 36 и 40. Для этого разложим их на простые множители:

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

НОД(36, 40) равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Общий множитель — 2, наименьший показатель — 2. Следовательно, НОД(36, 40) = $2^2 = 4$.

Все общие делители чисел 36 и 40 являются делителями их НОД, то есть числа 4. Делителями числа 4 являются: 1, 2, 4.

Это означает, что спортсменов можно построить в ряды по 1, по 2 или по 4 человека. Всего существует 3 таких возможности.

Ответ: 3

б)

Тимуру нужно разложить 18 синих и 12 жёлтых палочек в одинаковые кучки. Это значит, что количество кучек должно быть общим делителем как для числа синих палочек (18), так и для числа жёлтых (12). Количество способов, которыми Тимур может это сделать, равно количеству таких общих делителей, удовлетворяющих всем условиям задачи.

Найдём все общие делители чисел 18 и 12. Для этого сначала найдём их НОД.

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОД(18, 12) = $2 \cdot 3 = 6$.

Все общие делители чисел 18 и 12 являются делителями их НОД, то есть числа 6. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Каждый из этих делителей представляет собой возможное количество кучек. В условии задачи используется слово "кучки" (множественное число), что подразумевает, что количество кучек должно быть больше одной. Поэтому вариант с 1 кучкой мы исключаем.

Остаются следующие возможные способы:

• Разложить на 2 одинаковые кучки. В каждой будет $18 \div 2 = 9$ синих и $12 \div 2 = 6$ жёлтых палочек.
• Разложить на 3 одинаковые кучки. В каждой будет $18 \div 3 = 6$ синих и $12 \div 3 = 4$ жёлтых палочек.
• Разложить на 6 одинаковых кучек. В каждой будет $18 \div 6 = 3$ синих и $12 \div 6 = 2$ жёлтых палочек.

Таким образом, у Тимура есть 3 способа разложить палочки.

Ответ: 3