Номер 321, страница 98 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

321 а) В одной группе 36 спортсменов, а в другой — 40 спортсменов. Сколько имеется возможностей для построения спортсменов так, чтобы группы шли одна за другой одинаковыми рядами?

б) У Тимура 18 синих и 12 жёлтых палочек. Их нужно разложить в одинаковые кучки так, чтобы в каждой были и синие, и жёлтые палочки. Сколькими способами Тимур может это сделать?

а)

Чтобы обе группы спортсменов можно было построить одинаковыми рядами, количество человек в ряду должно быть общим делителем для числа спортсменов в каждой группе, то есть для 36 и 40. Таким образом, количество возможностей для построения равно количеству общих делителей этих чисел.

Для нахождения всех общих делителей найдём Наибольший Общий Делитель (НОД) чисел 36 и 40. Для этого разложим их на простые множители:

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

НОД(36, 40) равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Общий множитель — 2, наименьший показатель — 2. Следовательно, НОД(36, 40) = $2^2 = 4$.

Все общие делители чисел 36 и 40 являются делителями их НОД, то есть числа 4. Делителями числа 4 являются: 1, 2, 4.

Это означает, что спортсменов можно построить в ряды по 1, по 2 или по 4 человека. Всего существует 3 таких возможности.

Ответ: 3

б)

Тимуру нужно разложить 18 синих и 12 жёлтых палочек в одинаковые кучки. Это значит, что количество кучек должно быть общим делителем как для числа синих палочек (18), так и для числа жёлтых (12). Количество способов, которыми Тимур может это сделать, равно количеству таких общих делителей, удовлетворяющих всем условиям задачи.

Найдём все общие делители чисел 18 и 12. Для этого сначала найдём их НОД.

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОД(18, 12) = $2 \cdot 3 = 6$.

Все общие делители чисел 18 и 12 являются делителями их НОД, то есть числа 6. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Каждый из этих делителей представляет собой возможное количество кучек. В условии задачи используется слово "кучки" (множественное число), что подразумевает, что количество кучек должно быть больше одной. Поэтому вариант с 1 кучкой мы исключаем.

Остаются следующие возможные способы:

• Разложить на 2 одинаковые кучки. В каждой будет $18 \div 2 = 9$ синих и $12 \div 2 = 6$ жёлтых палочек.
• Разложить на 3 одинаковые кучки. В каждой будет $18 \div 3 = 6$ синих и $12 \div 3 = 4$ жёлтых палочек.
• Разложить на 6 одинаковых кучек. В каждой будет $18 \div 6 = 3$ синих и $12 \div 6 = 2$ жёлтых палочек.

Таким образом, у Тимура есть 3 способа разложить палочки.

Ответ: 3