Страница 99 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

322 Верно ли утверждение: если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме двух крайних, то это число делится на 11?

Совет. Вы можете проверить путём перебора всех трёхзначных чисел, обладающих указанным свойством. Это, например, числа 121, 440, 396. (Всего таких чисел 45.) Обсудите в классе способ перебора и разделите работу между группами. Потом подведите итоги.

Чтобы проверить данное утверждение, представим трёхзначное число в общем виде и применим к нему заданное условие.

Пусть наше трёхзначное число — это $\overline{abc}$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно записать как $100a + 10b + c$. При этом $a$ не может быть равно нулю.

По условию задачи, средняя цифра равна сумме двух крайних, что можно записать в виде уравнения:

$b = a + c$

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу числа:

$100a + 10b + c = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$100a + 10a + 10c + c = 110a + 11c$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$110a + 11c = 11(10a + c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются цифрами (целыми числами), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Следовательно, исходное число всегда представляется в виде произведения числа 11 и некоторого целого числа. Это доказывает, что оно всегда делится на 11.

Доказать это можно и с помощью признака делимости на 11. Число делится на 11, если знакопеременная сумма его цифр (сумма цифр на нечётных позициях минус сумма цифр на чётных позициях) делится на 11. для числа $\overline{abc}$ эта сумма равна $(a + c) - b$.

Подставив в это выражение условие $b = a + c$, получим:

$(a + c) - b = (a + c) - (a + c) = 0$

Число 0 делится на 11, так как $0 \div 11 = 0$. Значит, и само число делится на 11.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: да, утверждение верно.

323. Докажите, что число 825 кратно 15 и не кратно 35.

Чтобы доказать данное утверждение, мы проверим делимость числа 825 на 15 и на 35 по отдельности, используя признаки делимости и разложение на простые множители.

Доказательство того, что число 825 кратно 15

Число делится на 15 без остатка, если оно одновременно делится на 3 и на 5, так как $15 = 3 \cdot 5$ и эти множители являются взаимно простыми.

Проверка делимости на 5:
Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Последняя цифра числа 825 — это 5, следовательно, 825 кратно 5.

Проверка делимости на 3:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 825: $8 + 2 + 5 = 15$. Поскольку 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), число 825 кратно 3.

Так как 825 делится и на 3, и на 5, оно кратно 15. Это подтверждается прямым делением: $825 \div 15 = 55$.

Ответ: Доказано, что 825 кратно 15.

Доказательство того, что число 825 не кратно 35

Число делится на 35 без остатка, если оно одновременно делится на 5 и на 7, так как $35 = 5 \cdot 7$ и эти множители являются взаимно простыми.

Проверка делимости на 5:
Как мы установили ранее, 825 кратно 5.

Проверка делимости на 7:
Выполним деление 825 на 7: $825 \div 7 = 117$ (остаток 6), так как $117 \cdot 7 + 6 = 819 + 6 = 825$. Поскольку при делении на 7 образуется остаток, число 825 не кратно 7.

Так как 825 не делится на 7, оно не может делиться и на 35. Это также видно из разложения на простые множители: $825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$, а $35 = 5 \cdot 7$. В разложении числа 825 отсутствует множитель 7, необходимый для делимости на 35.

Ответ: Доказано, что 825 не кратно 35.

324. Как начинается последовательность чисел, кратных числу:

а) 4;

б) 9;

в) 15;

г) 11?

В каждом случае запишите первые десять чисел. Сколько всего сущест-вует таких чисел?

Чтобы найти последовательность чисел, кратных данному числу $n$, нужно последовательно умножать это число на натуральные числа: $1, 2, 3, 4, \dots$. Общая формула для нахождения $k$-го члена такой последовательности: $a_k = n \cdot k$.

а) 4;

Чтобы найти первые десять чисел, кратных 4, умножим 4 на натуральные числа от 1 до 10:

$4 \cdot 1 = 4$;
$4 \cdot 2 = 8$;
$4 \cdot 3 = 12$;
$4 \cdot 4 = 16$;
$4 \cdot 5 = 20$;
$4 \cdot 6 = 24$;
$4 \cdot 7 = 28$;
$4 \cdot 8 = 32$;
$4 \cdot 9 = 36$;
$4 \cdot 10 = 40$.

Ответ: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

б) 9;

Чтобы найти первые десять чисел, кратных 9, умножим 9 на натуральные числа от 1 до 10:

$9 \cdot 1 = 9$;
$9 \cdot 2 = 18$;
$9 \cdot 3 = 27$;
$9 \cdot 4 = 36$;
$9 \cdot 5 = 45$;
$9 \cdot 6 = 54$;
$9 \cdot 7 = 63$;
$9 \cdot 8 = 72$;
$9 \cdot 9 = 81$;
$9 \cdot 10 = 90$.

Ответ: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

в) 15;

Чтобы найти первые десять чисел, кратных 15, умножим 15 на натуральные числа от 1 до 10:

$15 \cdot 1 = 15$;
$15 \cdot 2 = 30$;
$15 \cdot 3 = 45$;
$15 \cdot 4 = 60$;
$15 \cdot 5 = 75$;
$15 \cdot 6 = 90$;
$15 \cdot 7 = 105$;
$15 \cdot 8 = 120$;
$15 \cdot 9 = 135$;
$15 \cdot 10 = 150$.

Ответ: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150.

г) 11?

Чтобы найти первые десять чисел, кратных 11, умножим 11 на натуральные числа от 1 до 10:

$11 \cdot 1 = 11$;
$11 \cdot 2 = 22$;
$11 \cdot 3 = 33$;
$11 \cdot 4 = 44$;
$11 \cdot 5 = 55$;
$11 \cdot 6 = 66$;
$11 \cdot 7 = 77$;
$11 \cdot 8 = 88$;
$11 \cdot 9 = 99$;
$11 \cdot 10 = 110$.

Ответ: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110.

На вопрос "Сколько всего существует таких чисел?" можно ответить следующим образом:

Для любого натурального числа (например, 4, 9, 15 или 11) мы можем найти кратное ему число, умножив его на любое другое натуральное число. Так как ряд натуральных чисел ($1, 2, 3, \dots$) бесконечен, то и количество чисел, кратных любому заданному числу, также является бесконечным.

Ответ: Для каждого из этих случаев существует бесконечно много кратных чисел.

325 Коля выписывает числа, кратные 14, начиная с наименьшего. Каким по счёту он запишет число 70? Окажется ли в этом ряду кратных число 164; число 224? Если да, то под каким номером?

Коля выписывает числа, кратные 14, в порядке возрастания. Это арифметическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением порядкового номера $n$ на 14. Формула для $n$-го числа в этом ряду: $a_n = 14 \cdot n$.
Чтобы определить, есть ли какое-либо число в этом ряду и каким по счёту оно является, нужно разделить это число на 14. Если результат — целое число, то оно есть в ряду, и это число — его порядковый номер.

Каким по счёту он запишет число 70?

Разделим 70 на 14, чтобы найти его порядковый номер в последовательности:
$70 \div 14 = 5$
Поскольку результат — целое число, число 70 находится в этом ряду.
Ответ: число 70 будет записано пятым по счёту.

Окажется ли в этом ряду кратных число 164?

Проверим, делится ли 164 на 14 без остатка:
$164 \div 14 = 11$ (остаток 10)
Поскольку 164 не делится на 14 нацело, этого числа в ряду не будет.
Ответ: нет, число 164 не окажется в этом ряду.

Окажется ли в этом ряду кратных число 224? Если да, то под каким номером?

Проверим, делится ли 224 на 14 без остатка, и если да, найдём его номер:
$224 \div 14 = 16$
Поскольку результат — целое число, число 224 находится в этом ряду.
Ответ: да, число 224 окажется в этом ряду под номером 16.

326 Серёжа записал ряд кратных некоторого числа, начиная с наименьшего, и на двенадцатом месте у него оказалось число 60. Найдите первое, шестое и двадцатое числа в этом ряду.

По условию, Серёжа записал ряд кратных некоторого числа, начиная с наименьшего. Это означает, что он записал арифметическую прогрессию, где первый член равен этому числу, а разность прогрессии также равна этому числу. Обозначим это неизвестное число как $a$.

Тогда ряд чисел можно представить в виде: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, где $a_n = n \cdot a$.

Нам известно, что двенадцатое число в ряду ($a_{12}$) равно 60. Используя формулу, получаем:

$a_{12} = 12 \cdot a = 60$

Отсюда мы можем найти число $a$:

$a = 60 \div 12 = 5$

Таким образом, Серёжа записывал ряд чисел, кратных 5: 5, 10, 15, 20, ...

Теперь найдем требуемые члены этого ряда.

первое

Первое число в ряду — это $a_1$.

$a_1 = 1 \cdot a = 1 \cdot 5 = 5$

Ответ: 5

шестое

Шестое число в ряду — это $a_6$.

$a_6 = 6 \cdot a = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

двадцатое

Двадцатое число в ряду — это $a_{20}$.

$a_{20} = 20 \cdot a = 20 \cdot 5 = 100$

Ответ: 100

327 В большой коробке лежат карандаши. Их больше 40, но меньше 50. Все эти карандаши можно упаковать в коробки по 3 карандаша в каждую либо в коробки по 4 карандаша в каждую. Сколько карандашей в большой коробке?

Подсказка.

Подходит число, которое расположено между числами 40 и 50, делится и на 3, и на 4.

Пусть $N$ — искомое количество карандашей в большой коробке.
Из условия задачи мы знаем, что это число больше 40, но меньше 50. Запишем это в виде двойного неравенства:$40 < N < 50$.

Также нам дано, что все карандаши можно упаковать в коробки по 3 штуки или в коробки по 4 штуки. Это означает, что общее количество карандашей $N$ должно делиться нацело и на 3, и на 4.

Если число делится одновременно на 3 и на 4, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 3 и 4 являются взаимно простыми, их НОК равно их произведению:$НОК(3, 4) = 3 \times 4 = 12$.

Следовательно, мы ищем число $N$, которое кратно 12 и находится в интервале от 40 до 50.Выпишем числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, ...

Теперь выберем из этого списка число, которое удовлетворяет нашему неравенству $40 < N < 50$:

• 36 < 40 (не подходит)
• 48 > 40 и 48 < 50 (подходит)
• 60 > 50 (не подходит)

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 48.

Проверим:
1. Число 48 находится между 40 и 50.
2. Число 48 делится на 3 без остатка: $48 \div 3 = 16$.
3. Число 48 делится на 4 без остатка: $48 \div 4 = 12$.
Все условия выполнены.

Ответ: 48

328 Некоторое количество яиц можно разложить в коробки, по 10 штук в каждую или по 12 штук в каждую (в обоих случаях коробки будут заполнены и яиц не останется). Сколько всего яиц, если известно, что их больше 100, но меньше 150?

Пусть $N$ — искомое количество яиц.

По условию задачи, количество яиц можно разложить в коробки по 10 штук без остатка. Это означает, что число $N$ должно быть кратно 10.

Также это количество яиц можно разложить в коробки по 12 штук без остатка, что означает, что число $N$ должно быть кратно 12.

Следовательно, искомое число $N$ является общим кратным для чисел 10 и 12. Чтобы найти все возможные значения $N$, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих двух чисел.

Разложим числа 10 и 12 на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Теперь найдем НОК, взяв все простые множители в их наибольшей степени из разложений:
$НОК(10, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Это означает, что общее количество яиц должно быть кратно 60. Возможные значения для количества яиц: 60, 120, 180, 240 и так далее.

В задаче указано, что количество яиц больше 100, но меньше 150. Запишем это условие в виде двойного неравенства: $100 < N < 150$.

Из списка чисел, кратных 60, выберем то, которое удовлетворяет этому неравенству.
- 60 не подходит, так как $60 < 100$.
- 120 подходит, так как $100 < 120 < 150$.
- 180 не подходит, так как $180 > 150$.

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 120.

Ответ: 120.

329 a) Сколько чисел, кратных 9, содержится среди первых ста чисел?

б) Найдите наименьшее и наибольшее двузначные числа, кратные 7.

а) Чтобы найти количество чисел, кратных 9, среди первых ста натуральных чисел (от 1 до 100), необходимо разделить 100 на 9 и взять целую часть от полученного результата.

Выполним деление с остатком:

$100 \div 9 = 11$ (остаток 1)

Целая часть от деления равна 11. Это означает, что в числовом ряду от 1 до 100 ровно 11 чисел делятся на 9 без остатка. Вот эти числа: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.

Ответ: 11.

б) Требуется найти наименьшее и наибольшее двузначные числа, которые кратны 7. Диапазон двузначных чисел — от 10 до 99.

Нахождение наименьшего числа:

Наименьшее двузначное число — это 10. Проверим, делится ли оно на 7:

$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)

Так как есть остаток, число 10 не кратно 7. Чтобы найти следующее за ним число, кратное 7, можно умножить 7 на следующее целое число после частного (1), то есть на 2:

$7 \times 2 = 14$

Число 14 является двузначным, поэтому это наименьшее двузначное число, кратное 7.

Нахождение наибольшего числа:

Наибольшее двузначное число — это 99. Проверим, делится ли оно на 7, найдя остаток от деления:

$99 \div 7 = 14$ (остаток 1)

Чтобы найти самое большое двузначное число, кратное 7, нужно от 99 отнять полученный остаток:

$99 - 1 = 98$

Число 98 является двузначным, поэтому это наибольшее двузначное число, кратное 7.

Ответ: наименьшее число — 14, наибольшее число — 98.

330 Найдите:

а) какое-нибудь число, кратное 35, заключённое в промежутке от 500 до 600;

б) среди чисел, больших 1000, наименьшее число, кратное 80.

а) Чтобы найти число, кратное 35, в промежутке от 500 до 600, необходимо найти такое целое число $k$, для которого выполняется неравенство $500 \le 35 \cdot k \le 600$.

Для нахождения диапазона возможных значений $k$, разделим все части неравенства на 35:
$500 \div 35 \le k \le 600 \div 35$
$14.28... \le k \le 17.14...$

Целыми значениями $k$, удовлетворяющими этому условию, являются 15, 16 и 17. Поскольку в задаче требуется найти любое такое число, мы можем выбрать любое из этих значений $k$. Возьмем, к примеру, наименьшее из них: $k=15$.

Теперь вычислим искомое число, умножив 35 на $k$:
$35 \cdot 15 = 525$.

Проверяем, что полученное число 525 действительно находится в заданном промежутке от 500 до 600. Условие $500 \le 525 \le 600$ выполняется.

Ответ: 525.

б) Требуется найти наименьшее число, которое больше 1000 и кратно 80. Пусть искомое число равно $N$. Тогда должны выполняться два условия: $N > 1000$ и $N$ делится на 80 без остатка. Это означает, что $N$ можно представить в виде $N = 80 \cdot m$, где $m$ — некоторое целое число.

Подставим выражение для $N$ в неравенство:
$80 \cdot m > 1000$.

Чтобы найти наименьшее $N$, нужно найти наименьшее целое $m$, удовлетворяющее этому неравенству. Для этого разделим обе части неравенства на 80:
$m > 1000 \div 80$
$m > 12.5$

Наименьшее целое число $m$, которое больше 12.5, — это 13.

Теперь, зная $m$, найдем искомое число $N$:
$N = 80 \cdot 13 = 1040$.

Число 1040 больше 1000 и кратно 80. Так как мы использовали наименьшее возможное целое $m$, то 1040 является наименьшим таким числом.

Ответ: 1040.

331 Спортсменов построили в колонну по 6 человек в ряду, а затем перестроили, поставив в каждый ряд по 4 человека. Сколько всего спортсменов, если их больше 85, но меньше 100?

Пусть $N$ — общее количество спортсменов.

По условию задачи, спортсменов можно построить в ряды по 6 человек. Это означает, что общее количество спортсменов $N$ делится на 6 без остатка.

Также по условию, их можно перестроить в ряды по 4 человека. Это означает, что общее количество спортсменов $N$ также делится на 4 без остатка.

Следовательно, число $N$ должно быть кратно и 4, и 6. То есть, $N$ должно быть общим кратным чисел 4 и 6. Чтобы найти все такие числа, найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(4, 6):
Разложим числа на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2$
$6 = 2 \cdot 3$
НОК(4, 6) = $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

Значит, общее количество спортсменов должно быть кратно 12.

По условию, количество спортсменов больше 85, но меньше 100. Запишем это в виде неравенства: $85 < N < 100$.

Теперь нам нужно найти число, кратное 12, которое находится в интервале от 85 до 100. Выпишем числа, кратные 12, в этом диапазоне или близко к нему:
$12 \cdot 7 = 84$ (не подходит, так как $84 < 85$)
$12 \cdot 8 = 96$ (подходит, так как $85 < 96 < 100$)
$12 \cdot 9 = 108$ (не подходит, так как $108 > 100$)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям — это 96.

Проверим:
$96 \div 6 = 16$ (делится без остатка)
$96 \div 4 = 24$ (делится без остатка)
$85 < 96 < 100$ (условие выполняется)

Ответ: 96.

332 Юноша и девушка измерили шагами одно и то же расстояние, равное $141 \text{ м}$. Шаг девушки $50 \text{ см}$, а шаг юноши $60 \text{ см}$. Сколько раз их следы совпали? (Начальную точку не считайте.)

Для решения задачи необходимо найти, на каких расстояниях от начальной точки следы юноши и девушки будут совпадать. Это произойдет на расстояниях, которые кратны как длине шага девушки (50 см), так и длине шага юноши (60 см).

1. Сначала приведем все величины к единой единице измерения. Общее расстояние дано в метрах, а длина шагов — в сантиметрах. Переведем расстояние в сантиметры:
$141 \text{ м} = 141 \times 100 \text{ см} = 14100 \text{ см}$.

2. Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) для длин шагов. Это будет первое расстояние от старта (не считая сам старт), на котором их следы совпадут. Все последующие совпадения будут происходить через такие же промежутки.
Длина шага девушки: 50 см.
Длина шага юноши: 60 см.
Найдем НОК(50, 60). Для этого разложим числа на простые множители:
$50 = 2 \cdot 5^2$
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОК вычисляется как произведение всех простых множителей в их наивысших степенях:
$\text{НОК}(50, 60) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300 \text{ см}$.
Это означает, что следы будут совпадать каждые 300 см.

3. Чтобы узнать, сколько раз их следы совпадут на всей дистанции, разделим общее расстояние на расстояние между совпадениями. По условию, начальную точку считать не нужно, а наш расчет как раз и определяет количество совпадений после старта.
Количество совпадений = $\frac{\text{Общее расстояние}}{\text{НОК}} = \frac{14100}{300} = \frac{141}{3} = 47$.

Следовательно, на расстоянии 141 м их следы совпали 47 раз.
Ответ: 47.