Страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

333 Какие из следующих чисел являются простыми:

11, 26, 27, 29, 31, 33, 39, 43, 51, 59, 67, 69?

Простое число — это натуральное число (больше 1), которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные числа, кроме единицы, которые имеют более двух делителей, называются составными. Проанализируем каждое число из предложенного списка, чтобы определить, является ли оно простым.

• 11: Это число делится без остатка только на 1 и на 11. Следовательно, 11 — простое число.
• 26: Это чётное число, а все чётные числа (кроме 2) делятся на 2. $26 = 2 \times 13$. Следовательно, 26 — составное число.
• 27: Сумма цифр этого числа $2 + 7 = 9$. Поскольку 9 делится на 3, то и 27 делится на 3. $27 = 3 \times 9$. Следовательно, 27 — составное число.
• 29: Проверим делимость на простые числа. Оно нечётное (не делится на 2), сумма цифр 11 (не делится на 3), не оканчивается на 0 или 5 (не делится на 5). Квадрат следующего простого числа 7 равен 49, что больше 29, поэтому дальнейшая проверка не требуется. Следовательно, 29 — простое число.
• 31: Проверим делимость на простые числа: 2, 3, 5. Не делится ни на одно из них. Квадрат следующего простого числа 7 равен 49, что больше 31. Следовательно, 31 — простое число.
• 33: Сумма цифр этого числа $3 + 3 = 6$, что делится на 3. Также очевидно, что оно делится на 11. $33 = 3 \times 11$. Следовательно, 33 — составное число.
• 39: Сумма цифр этого числа $3 + 9 = 12$, что делится на 3. $39 = 3 \times 13$. Следовательно, 39 — составное число.
• 43: Проверим делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7. Не делится ни на одно из них. Квадрат следующего простого числа 11 равен 121, что больше 43. Следовательно, 43 — простое число.
• 51: Сумма цифр этого числа $5 + 1 = 6$, что делится на 3. $51 = 3 \times 17$. Следовательно, 51 — составное число.
• 59: Проверим делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7. Не делится ни на одно из них. Квадрат следующего простого числа 11 равен 121, что больше 59. Следовательно, 59 — простое число.
• 67: Проверим делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7. Не делится ни на одно из них. Квадрат следующего простого числа 11 равен 121, что больше 67. Следовательно, 67 — простое число.
• 69: Сумма цифр этого числа $6 + 9 = 15$, что делится на 3. $69 = 3 \times 23$. Следовательно, 69 — составное число.

Таким образом, простыми числами из данного списка являются: 11, 29, 31, 43, 59, 67.

Ответ: 11, 29, 31, 43, 59, 67.

334 Какое из данных чисел не является простым?

1) 31

2) 41

3) 51

4) 61

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Число, которое имеет более двух делителей, называется составным. Чтобы найти, какое из данных чисел не является простым, нужно проверить каждое из них на наличие других делителей.

1) 31

Для проверки числа 31 на простоту достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $ \sqrt{31} \approx 5.57 $. Это числа 2, 3, 5.
- 31 не делится на 2, так как оно нечетное.
- 31 не делится на 3, так как сумма его цифр $3+1=4$, а 4 не делится на 3.
- 31 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.
Следовательно, 31 — простое число.

2) 41

Проверяем число 41 на делимость на простые числа, не превосходящие $ \sqrt{41} \approx 6.4 $. Это 2, 3, 5.
- 41 не делится на 2 (нечетное).
- 41 не делится на 3 (сумма цифр $4+1=5$).
- 41 не делится на 5.
Следовательно, 41 — простое число.

3) 51

Проверим число 51. Воспользуемся признаком делимости на 3: сумма цифр числа равна $5+1=6$. Поскольку 6 делится на 3, то и само число 51 делится на 3.
Выполним деление: $51 \div 3 = 17$.
Так как у числа 51 есть делители 3 и 17, отличные от 1 и 51, оно не является простым. Это составное число.

4) 61

Проверяем число 61 на делимость на простые числа, не превосходящие $ \sqrt{61} \approx 7.81 $. Это 2, 3, 5, 7.
- 61 не делится на 2.
- 61 не делится на 3 (сумма цифр $6+1=7$).
- 61 не делится на 5.
- 61 не делится на 7, так как $61 = 7 \cdot 8 + 5$.
Следовательно, 61 — простое число.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое не является простым (является составным), это 51.

Ответ: 51.

335 Докажите, что данное число является составным:

а) $25$;

б) $99$;

в) $192$;

г) $169$.

Составное число — это натуральное число, которое имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы доказать, что число является составным, достаточно найти хотя бы один такой делитель.

а) Рассмотрим число 25. Согласно признаку делимости, если число оканчивается на цифру 5, то оно делится на 5. Так как 25 оканчивается на 5, оно делится на 5. $25 : 5 = 5$. Поскольку число 25 имеет делитель 5, отличный от 1 и 25, оно является составным.
Ответ: число 25 является составным.

б) Рассмотрим число 99. Согласно признаку делимости, если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Сумма цифр числа 99 равна $9 + 9 = 18$. Число 18 делится на 9, следовательно, и 99 делится на 9. $99 : 9 = 11$. Поскольку число 99 имеет делители 9 и 11, отличные от 1 и 99, оно является составным.
Ответ: число 99 является составным.

в) Рассмотрим число 192. Согласно признаку делимости, если число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), то оно делится на 2. Число 192 оканчивается на 2, значит, оно делится на 2. $192 : 2 = 96$. Поскольку число 192 имеет делитель 2, отличный от 1 и 192, оно является составным.
Ответ: число 192 является составным.

г) Рассмотрим число 169. Путем проверки делимости на простые числа можно установить, что 169 делится на 13. Фактически, 169 является квадратом числа 13. $169 = 13 \times 13$. Поскольку число 169 имеет делитель 13, отличный от 1 и 169, оно является составным.
Ответ: число 169 является составным.

336 Какое простое число делится:

а) на $2$;

б) на $5$;

в) на $19$?

По определению, простое число — это натуральное число, которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу ($1$) и самого себя. Другими словами, если $p$ — простое число, то его делителями являются только $1$ и $p$.

а) Ищется простое число, которое делится на $2$.
Пусть это простое число $p$. Если $p$ делится на $2$, то $2$ является его делителем. Согласно определению простого числа, делителями $p$ могут быть только $1$ и $p$. Так как $2 \neq 1$, то единственная возможность — это $p = 2$. Число $2$ является простым, так как оно делится только на $1$ и на $2$.
Ответ: $2$.

б) Ищется простое число, которое делится на $5$.
Пусть это простое число $p$. Если $p$ делится на $5$, то $5$ является его делителем. Делителями простого числа $p$ являются только $1$ и $p$. Так как $5 \neq 1$, то единственная возможность — это $p = 5$. Число $5$ является простым, так как оно делится только на $1$ и на $5$.
Ответ: $5$.

в) Ищется простое число, которое делится на $19$.
Пусть это простое число $p$. Если $p$ делится на $19$, то $19$ является его делителем. Делителями простого числа $p$ являются только $1$ и $p$. Так как $19 \neq 1$, то единственная возможность — это $p = 19$. Число $19$ является простым, так как оно делится только на $1$ и на $19$.
Ответ: $19$.

337 Укажите такое число $a$, при котором произведение $7 \cdot a$ является простым числом.

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

По условию задачи, произведение $7 \cdot a$ является простым числом. Обозначим это произведение как $P$, то есть $P = 7 \cdot a$.

Поскольку $P$ — простое число, его единственными натуральными делителями являются $1$ и $P$.

Из равенства $P = 7 \cdot a$ следует, что числа $7$ и $a$ являются делителями числа $P$ (при условии, что $a$ — натуральное число, что является стандартным предположением в таких задачах).

Так как $7$ — делитель простого числа $P$, то $7$ должно быть равно одному из двух его возможных делителей: либо $1$, либо $P$.

Вариант $7 = 1$ невозможен.

Следовательно, остается единственный вариант: $7 = P$.

Подставим это значение в исходное выражение: $7 = 7 \cdot a$

Решая это уравнение относительно $a$, получаем: $a = \frac{7}{7} = 1$

Выполним проверку: если $a = 1$, то произведение равно $7 \cdot 1 = 7$. Число 7 является простым, так как делится только на 1 и на 7. Таким образом, условие задачи выполнено.

Ответ: $a=1$.

338 Какое утверждение верно?

1) Все простые числа — нечётные.

2) Все нечётные числа — простые.

3) Все простые числа, большие $2$, — нечётные.

4) Все нечётные числа, большие $2$, — составные.

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какое из них является верным.

1) Все простые числа — нечётные.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Ряд простых чисел начинается с 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Число 2 является простым, но при этом оно чётное. Поскольку существует хотя бы одно простое число (2), которое не является нечётным, данное утверждение ложно.
Ответ: Утверждение неверно.

2) Все нечётные числа — простые.

Это утверждение также ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы одно нечётное число, которое не является простым. Например, число 9 — нечётное, но оно не простое, так как делится не только на 1 и 9, но и на 3. Такие числа называются составными. Другие примеры: 15 (делится на 3 и 5), 21 (делится на 3 и 7), 25 (делится на 5).
Ответ: Утверждение неверно.

3) Все простые числа, большие 2, — нечётные.

Это утверждение верно. Единственное чётное простое число — это 2. Любое другое чётное число, большее 2, можно представить в виде $N = 2 \cdot k$, где $k$ — целое число больше 1. Это означает, что любое чётное число $N > 2$ имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само число $N$. Следовательно, оно является составным. Таким образом, все простые числа, за исключением числа 2, должны быть нечётными.
Ответ: Утверждение верно.

4) Все нечётные числа, большие 2, — составные.

Это утверждение ложно. Существует бесконечно много нечётных простых чисел. Например, 3, 5, 7, 11, 13 — все они нечётные, больше 2 и при этом являются простыми, а не составными. Утверждение является обратным к утверждению 2, и так же неверно.
Ответ: Утверждение неверно.

339 а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

б) Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

Да, сумма двух простых чисел может быть простым числом. Для этого необходимо, чтобы одно из слагаемых было единственным четным простым числом — 2.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Все простые числа, кроме 2, являются нечетными.

Рассмотрим все возможные случаи:

• Сумма двух нечетных простых чисел. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Например, $3 + 5 = 8$ или $7 + 11 = 18$. Любое четное число, которое больше 2, является составным, так как оно имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само себя. Следовательно, сумма двух нечетных простых чисел (оба больше 2) не может быть простым числом.
• Сумма четного и нечетного простых чисел. Единственное четное простое число — это 2. Если мы сложим 2 с любым нечетным простым числом, результат будет нечетным числом. Такая сумма может оказаться простым числом.

Приведем конкретный пример: возьмем простые числа 2 и 3. Их сумма: $2 + 3 = 5$. Число 5 является простым, так как делится только на 1 и 5.

Еще один пример: $2 + 11 = 13$. Число 13 также является простым.

Ответ: Да, может. Например, $2 + 3 = 5$.

б) Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Нет, произведение двух простых чисел никогда не может быть простым числом. Такое произведение всегда является составным числом.

По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Пусть $p_1$ и $p_2$ — два простых числа. Это означает, что $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$.

Рассмотрим их произведение $N = p_1 \times p_2$.

Число $N$ имеет следующие делители: 1, $p_1$, $p_2$ и само себя ($N$). Поскольку $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$, то $p_1$ и $p_2$ являются делителями, отличными от 1. Также, поскольку $p_2 > 1$, то $p_1 < p_1 \times p_2 = N$, то есть делитель $p_1$ не равен самому числу $N$. Аналогично, $p_2$ не равно $N$.

Таким образом, у числа $N$ есть как минимум три разных делителя: 1, $p_1$ и $N$ (а если $p_1 \neq p_2$, то даже четыре: 1, $p_1$, $p_2$ и $N$). Это уже больше двух делителей, что по определению означает, что число $N$ не является простым, а является составным.

Например, возьмем простые числа 3 и 7. Их произведение равно $3 \times 7 = 21$. Делителями числа 21 являются 1, 3, 7, 21. Так как делителей больше двух, число 21 — составное.

Ответ: Нет, не может.

340 1) Найдите с помощью перебора всех возможных вариантов все делители числа 6, числа 10 и числа 35. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел?

Подсказка. $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$.

2) Каким общим свойством обладают все эти числа? Укажите ещё какое-нибудь число, обладающее тем же свойством. Сколько у него делителей?

3) Сколько делителей имеет число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа? Перечислите их все.

1) Найдем все делители для каждого числа с помощью перебора и используя подсказку о разложении на простые множители.

Для числа 6:

Подсказка: $6 = 2 \cdot 3$. Делителями будут 1, само число 6, и его простые множители 2 и 3.

Проверим перебором:

• $6 : 1 = 6$
• $6 : 2 = 3$
• $6 : 3 = 2$
• $6 : 6 = 1$

Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Всего 4 делителя.

Для числа 10:

Подсказка: $10 = 2 \cdot 5$. Делителями будут 1, само число 10, и его простые множители 2 и 5.

Проверим перебором:

• $10 : 1 = 10$
• $10 : 2 = 5$
• $10 : 5 = 2$
• $10 : 10 = 1$

Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Всего 4 делителя.

Для числа 35:

Подсказка: $35 = 5 \cdot 7$. Делителями будут 1, само число 35, и его простые множители 5 и 7.

Проверим перебором:

• $35 : 1 = 35$
• $35 : 5 = 7$
• $35 : 7 = 5$
• $35 : 35 = 1$

Делители числа 35: 1, 5, 7, 35. Всего 4 делителя.

Ответ: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6 (всего 4 делителя). Делители числа 10: 1, 2, 5, 10 (всего 4 делителя). Делители числа 35: 1, 5, 7, 35 (всего 4 делителя).

2) Общим свойством этих чисел (6, 10, 35) является то, что каждое из них представляет собой произведение двух различных простых чисел. Следствием этого является то, что у каждого из них ровно 4 делителя.

Укажем еще одно число с таким же свойством. Возьмем два различных простых числа, например, 3 и 5. Их произведение: $3 \cdot 5 = 15$.

Найдем делители числа 15:

• $15 : 1 = 15$
• $15 : 3 = 5$
• $15 : 5 = 3$
• $15 : 15 = 1$

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. У него, как и у чисел из первого пункта, 4 делителя.

Ответ: Общее свойство — каждое из этих чисел является произведением двух различных простых чисел. Пример другого числа с таким свойством — 15. У него 4 делителя.

3) Пусть число $N$ равно произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа.

Чтобы найти все делители числа $N$, нужно рассмотреть все возможные комбинации его простых множителей ($a$ и $b$).

Делителями числа $N = a \cdot b$ будут:

• 1 (единица является делителем любого числа).
• Простой множитель $a$.
• Простой множитель $b$.
• Само число $a \cdot b$.

Так как $a$ и $b$ — простые и различные числа, других делителей у числа $N$ быть не может. Следовательно, у такого числа всегда ровно 4 делителя.

Ответ: Число, равное произведению $a \cdot b$ (где $a$ и $b$ — различные простые числа), имеет 4 делителя. Это числа: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.

341 Дано разложение на простые множители числа 420: $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Ответьте на вопросы:

1) Сколько простых множителей содержится в разложении?

2) Есть ли в разложении одинаковые множители?

3) Почему в разложении нет числа 1?

1) Сколько простых множителей содержится в разложении?

Разложение числа 420 на простые множители дано в виде $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Это можно записать как произведение $420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Чтобы найти общее количество простых множителей, нужно сосчитать их все. В данном разложении множитель 2 встречается 2 раза, а множители 3, 5 и 7 — по одному разу. Общее количество простых множителей равно сумме показателей степеней в каноническом разложении: $2 + 1 + 1 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

2) Есть ли в разложении одинаковые множители?

Да, в данном разложении есть одинаковые множители. Запись $2^2$ в разложении означает, что простой множитель 2 повторяется два раза. То есть, $420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Таким образом, в разложении есть два одинаковых множителя, равных 2.
Ответ: да, есть (множитель 2 встречается дважды).

3) Почему в разложении нет числа 1?

Разложение на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. По определению, простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Число 1 не является простым, так как у него только один делитель — 1. Поэтому число 1 не может быть включено в разложение на простые множители. Кроме того, включение единицы в качестве множителя нарушило бы единственность разложения, так как можно было бы добавить любое количество единиц ($420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ и т.д.), что противоречит основной теореме арифметики.
Ответ: потому что число 1 не является простым числом.

342 Разложите на простые множители числа:

a) 30, 70, 42, 110;

б) 16, 48, 36, 63;

в) 10, 100, 1000, 10000.

а)
Разложим число 30 на простые множители. Поскольку число 30 оканчивается на 0, оно делится на 2 и на 5.
$30 = 3 \cdot 10 = 3 \cdot 2 \cdot 5$. Расположим множители в порядке возрастания: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Разложим число 70 на простые множители. Число 70 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10, а $10 = 2 \cdot 5$.
$70 = 7 \cdot 10 = 7 \cdot 2 \cdot 5$. Расположим множители в порядке возрастания: $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.
Разложим число 42 на простые множители. 42 – четное число, значит, делится на 2.
$42 = 2 \cdot 21$. Число 21 делится на 3 и 7.
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.
Разложим число 110 на простые множители. Число 110 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10.
$110 = 11 \cdot 10 = 11 \cdot 2 \cdot 5$. Расположим множители в порядке возрастания: $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$.
Ответ: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$; $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$; $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$; $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$.

б)
Разложим число 16 на простые множители.
$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Разложим число 48 на простые множители.
$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.
Разложим число 36 на простые множители.
$36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$.
Разложим число 63 на простые множители. Сумма цифр числа 63 ($6+3=9$) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$63 = 3 \cdot 21 = 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.
Ответ: $16 = 2^4$; $48 = 2^4 \cdot 3$; $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $63 = 3^2 \cdot 7$.

в)
Разложим число 10 на простые множители.
$10 = 2 \cdot 5$.
Разложим число 100 на простые множители.
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.
Разложим число 1000 на простые множители.
$1000 = 10 \cdot 100 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^3 \cdot 5^3$.
Разложим число 10000 на простые множители.
$10000 = 100 \cdot 100 = (2^2 \cdot 5^2) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^4 \cdot 5^4$.
Ответ: $10 = 2 \cdot 5$; $100 = 2^2 \cdot 5^2$; $1000 = 2^3 \cdot 5^3$; $10000 = 2^4 \cdot 5^4$.