Номер 339, страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

339 а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

б) Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

Да, сумма двух простых чисел может быть простым числом. Для этого необходимо, чтобы одно из слагаемых было единственным четным простым числом — 2.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Все простые числа, кроме 2, являются нечетными.

Рассмотрим все возможные случаи:

• Сумма двух нечетных простых чисел. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Например, $3 + 5 = 8$ или $7 + 11 = 18$. Любое четное число, которое больше 2, является составным, так как оно имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само себя. Следовательно, сумма двух нечетных простых чисел (оба больше 2) не может быть простым числом.
• Сумма четного и нечетного простых чисел. Единственное четное простое число — это 2. Если мы сложим 2 с любым нечетным простым числом, результат будет нечетным числом. Такая сумма может оказаться простым числом.

Приведем конкретный пример: возьмем простые числа 2 и 3. Их сумма: $2 + 3 = 5$. Число 5 является простым, так как делится только на 1 и 5.

Еще один пример: $2 + 11 = 13$. Число 13 также является простым.

Ответ: Да, может. Например, $2 + 3 = 5$.

б) Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Нет, произведение двух простых чисел никогда не может быть простым числом. Такое произведение всегда является составным числом.

По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Пусть $p_1$ и $p_2$ — два простых числа. Это означает, что $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$.

Рассмотрим их произведение $N = p_1 \times p_2$.

Число $N$ имеет следующие делители: 1, $p_1$, $p_2$ и само себя ($N$). Поскольку $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$, то $p_1$ и $p_2$ являются делителями, отличными от 1. Также, поскольку $p_2 > 1$, то $p_1 < p_1 \times p_2 = N$, то есть делитель $p_1$ не равен самому числу $N$. Аналогично, $p_2$ не равно $N$.

Таким образом, у числа $N$ есть как минимум три разных делителя: 1, $p_1$ и $N$ (а если $p_1 \neq p_2$, то даже четыре: 1, $p_1$, $p_2$ и $N$). Это уже больше двух делителей, что по определению означает, что число $N$ не является простым, а является составным.

Например, возьмем простые числа 3 и 7. Их произведение равно $3 \times 7 = 21$. Делителями числа 21 являются 1, 3, 7, 21. Так как делителей больше двух, число 21 — составное.

Ответ: Нет, не может.