Номер 346, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

346 Некоторое число разложили на простые множители: $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

Делится ли это число на 10; на 100; на 1000; на 18; на 70? Узнайте, какое число было разложено на простые множители.

Пусть данное число, разложенное на простые множители, равно $N$.

$N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$

Чтобы определить, делится ли число $N$ на некоторое другое число, необходимо разложить это число на простые множители. Если все простые множители делителя (с их степенями) содержатся в разложении числа $N$, то $N$ делится на это число без остатка.

Делится ли это число на 10

Разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5 = 2^1 \cdot 5^1$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ есть множитель $2^3$ и $5^2$. Так как степень двойки в разложении $N$ ($3$) больше или равна степени двойки в разложении 10 ($1$), и степень пятерки в разложении $N$ ($2$) больше или равна степени пятерки в разложении 10 ($1$), то число $N$ делится на 10.

Ответ: да, делится.

на 100

Разложим число 100 на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ есть множитель $2^3$ и $5^2$. Так как степень двойки в разложении $N$ ($3$) больше или равна степени двойки в разложении 100 ($2$), и степень пятерки в разложении $N$ ($2$) больше или равна степени пятерки в разложении 100 ($2$), то число $N$ делится на 100.

Ответ: да, делится.

на 1000

Разложим число 1000 на простые множители: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ степень множителя 5 равна 2, что меньше, чем требуемая степень 3. Следовательно, число $N$ не делится на 1000.

Ответ: нет, не делится.

на 18

Разложим число 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2^1 \cdot 3^2$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ есть множитель $2^3$ и $3^4$. Так как степень двойки в разложении $N$ ($3$) больше или равна степени двойки в разложении 18 ($1$), и степень тройки в разложении $N$ ($4$) больше или равна степени тройки в разложении 18 ($2$), то число $N$ делится на 18.

Ответ: да, делится.

на 70

Разложим число 70 на простые множители: $70 = 7 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ отсутствует простой множитель 7. Следовательно, число $N$ не делится на 70.

Ответ: нет, не делится.

Узнайте, какое число было разложено на простые множители.

Для того чтобы найти исходное число, необходимо вычислить значение произведения его простых множителей:

$N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2 = 8 \cdot 81 \cdot 25$

Для удобства вычислений сгруппируем множители:

$N = (8 \cdot 25) \cdot 81 = 200 \cdot 81 = 16200$

Ответ: 16200.