Номер 344, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

344 Назовите все двузначные числа, меньшие 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя. «Сконструируйте» несколько трёхзначных чисел, обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?

Назовите все двузначные числа, меньшие 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя.

Двузначные числа, меньшие 30, – это числа от 10 до 29. Нам нужны те из них, чьё разложение на простые множители имеет вид $p_1^a \cdot p_2^b$, где $p_1$ и $p_2$ – различные простые числа, а степени $a, b \ge 1$.
Переберём эти числа и найдём их разложения:

• $10 = 2 \cdot 5$ (подходит, множители 2 и 5)
• $11$ – простое (не подходит, так как имеет только один простой множитель)
• $12 = 2^2 \cdot 3$ (подходит, множители 2 и 3)
• $13$ – простое (не подходит)
• $14 = 2 \cdot 7$ (подходит, множители 2 и 7)
• $15 = 3 \cdot 5$ (подходит, множители 3 и 5)
• $16 = 2^4$ (не подходит, только один простой множитель 2)
• $17$ – простое (не подходит)
• $18 = 2 \cdot 3^2$ (подходит, множители 2 и 3)
• $19$ – простое (не подходит)
• $20 = 2^2 \cdot 5$ (подходит, множители 2 и 5)
• $21 = 3 \cdot 7$ (подходит, множители 3 и 7)
• $22 = 2 \cdot 11$ (подходит, множители 2 и 11)
• $23$ – простое (не подходит)
• $24 = 2^3 \cdot 3$ (подходит, множители 2 и 3)
• $25 = 5^2$ (не подходит, только один простой множитель 5)
• $26 = 2 \cdot 13$ (подходит, множители 2 и 13)
• $27 = 3^3$ (не подходит, только один простой множитель 3)
• $28 = 2^2 \cdot 7$ (подходит, множители 2 и 7)
• $29$ – простое (не подходит)

Ответ: 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28.

«Сконструируйте» несколько трёхзначных чисел, обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?

Сконструируем несколько трёхзначных чисел (от 100 до 999), которые также имеют ровно два различных простых множителя, и определим количество их делителей.

Если каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = p_1^{a} \cdot p_2^{b}$, то общее число его натуральных делителей равно $(a+1)(b+1)$.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Возьмём простые множители 2 и 5. Трёхзначное число: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(2+1)(2+1) = 3 \cdot 3 = 9$.
2. Возьмём простые множители 2 и 3. Трёхзначное число: $108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$.
3. Возьмём простые множители 2 и 7. Трёхзначное число: $112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7^1$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(4+1)(1+1) = 5 \cdot 2 = 10$.
4. Возьмём простые множители 3 и 5. Трёхзначное число: $135 = 5 \cdot 27 = 3^3 \cdot 5^1$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Примеры таких чисел: 100 (имеет 9 делителей), 108 (имеет 12 делителей), 112 (имеет 10 делителей), 135 (имеет 8 делителей).