Номер 348, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

348 a) Найдите первое трёхзначное число, являющееся простым.

б) Определите, сколько простых чисел в третьей сотне.

а) Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Трёхзначные числа — это числа в диапазоне от 100 до 999. Чтобы найти первое (наименьшее) простое трёхзначное число, будем проверять числа по порядку, начиная со 100.
- Число 100: чётное, делится на 2. Не является простым.
- Число 101: проверим его на простоту. Для этого достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{101}$. Так как $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$, то $\sqrt{101}$ немного больше 10. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.
1) 101 не делится на 2, так как оно нечётное.
2) Сумма цифр числа 101 равна $1+0+1=2$. Так как 2 не делится на 3, то и 101 не делится на 3.
3) 101 не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
4) При делении 101 на 7 получаем: $101 = 14 \times 7 + 3$. Деление без остатка невозможно.
Так как 101 не делится ни на одно из простых чисел до $\sqrt{101}$, оно является простым. Поскольку мы начали проверку с наименьшего трёхзначного числа, 101 — это искомое число.

Ответ: 101

б) Третья сотня — это числовой промежуток от 201 до 300 включительно. Чтобы определить количество простых чисел в этом диапазоне, нужно найти все простые числа на этом отрезке и сосчитать их.
Для проверки числа $n$ на простоту будем проверять его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$. Максимальное число в диапазоне — 300. $\sqrt{300} \approx 17.3$. Значит, достаточно проверять делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Сначала исключаем все чётные числа, числа, оканчивающиеся на 5, и числа, сумма цифр которых делится на 3. Затем для оставшихся чисел проверяем делимость на 7, 11, 13 и 17.
В результате такой проверки получаем следующий список простых чисел в диапазоне от 201 до 300:
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.
Пересчитав числа в этом списке, получаем, что в третьей сотне находится 16 простых чисел.

Ответ: 16