Страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

343. Разложите на простые множители число, равное произведению:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 9 \cdot 10$.

Чтобы разложить на простые множители число, равное произведению $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 9 \cdot 10$, необходимо разложить на простые множители каждый сомножитель в этом произведении, а затем объединить одинаковые простые множители.

Запишем исходное число $N$ в виде произведения:

$N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Теперь разложим на простые множители каждый составной множитель из этого произведения (числа 2, 3, 5, 7 уже являются простыми, а множитель 1 не влияет на результат):

• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Подставим полученные разложения в исходное произведение:

$N = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Теперь сгруппируем одинаковые простые множители и посчитаем, сколько раз каждый из них входит в произведение, то есть найдем их степени. Простыми множителями в данном случае являются 2, 3, 5 и 7.

Степень для множителя 2:

Из числа 2 (один раз), из числа 4 ($2^2$, два раза), из числа 6 (один раз), из числа 8 ($2^3$, три раза), из числа 10 (один раз).
Всего: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$. Таким образом, получаем множитель $2^8$.

Степень для множителя 3:

Из числа 3 (один раз), из числа 6 (один раз), из числа 9 ($3^2$, два раза).
Всего: $1 + 1 + 2 = 4$. Таким образом, получаем множитель $3^4$.

Степень для множителя 5:

Из числа 5 (один раз), из числа 10 (один раз).
Всего: $1 + 1 = 2$. Таким образом, получаем множитель $5^2$.

Степень для множителя 7:

Из числа 7 (один раз).
Всего: $1$. Таким образом, получаем множитель $7^1$ или просто $7$.

Объединив все найденные простые множители в их степенях, мы получаем итоговое разложение:

$N = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Ответ: $2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

344 Назовите все двузначные числа, меньшие 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя. «Сконструируйте» несколько трёхзначных чисел, обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?

Назовите все двузначные числа, меньшие 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя.

Двузначные числа, меньшие 30, – это числа от 10 до 29. Нам нужны те из них, чьё разложение на простые множители имеет вид $p_1^a \cdot p_2^b$, где $p_1$ и $p_2$ – различные простые числа, а степени $a, b \ge 1$.
Переберём эти числа и найдём их разложения:

• $10 = 2 \cdot 5$ (подходит, множители 2 и 5)
• $11$ – простое (не подходит, так как имеет только один простой множитель)
• $12 = 2^2 \cdot 3$ (подходит, множители 2 и 3)
• $13$ – простое (не подходит)
• $14 = 2 \cdot 7$ (подходит, множители 2 и 7)
• $15 = 3 \cdot 5$ (подходит, множители 3 и 5)
• $16 = 2^4$ (не подходит, только один простой множитель 2)
• $17$ – простое (не подходит)
• $18 = 2 \cdot 3^2$ (подходит, множители 2 и 3)
• $19$ – простое (не подходит)
• $20 = 2^2 \cdot 5$ (подходит, множители 2 и 5)
• $21 = 3 \cdot 7$ (подходит, множители 3 и 7)
• $22 = 2 \cdot 11$ (подходит, множители 2 и 11)
• $23$ – простое (не подходит)
• $24 = 2^3 \cdot 3$ (подходит, множители 2 и 3)
• $25 = 5^2$ (не подходит, только один простой множитель 5)
• $26 = 2 \cdot 13$ (подходит, множители 2 и 13)
• $27 = 3^3$ (не подходит, только один простой множитель 3)
• $28 = 2^2 \cdot 7$ (подходит, множители 2 и 7)
• $29$ – простое (не подходит)

Ответ: 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28.

«Сконструируйте» несколько трёхзначных чисел, обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?

Сконструируем несколько трёхзначных чисел (от 100 до 999), которые также имеют ровно два различных простых множителя, и определим количество их делителей.

Если каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = p_1^{a} \cdot p_2^{b}$, то общее число его натуральных делителей равно $(a+1)(b+1)$.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Возьмём простые множители 2 и 5. Трёхзначное число: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(2+1)(2+1) = 3 \cdot 3 = 9$.
2. Возьмём простые множители 2 и 3. Трёхзначное число: $108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$.
3. Возьмём простые множители 2 и 7. Трёхзначное число: $112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7^1$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(4+1)(1+1) = 5 \cdot 2 = 10$.
4. Возьмём простые множители 3 и 5. Трёхзначное число: $135 = 5 \cdot 27 = 3^3 \cdot 5^1$.
   Оно имеет два различных простых множителя.
   Количество делителей: $(3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Примеры таких чисел: 100 (имеет 9 делителей), 108 (имеет 12 делителей), 112 (имеет 10 делителей), 135 (имеет 8 делителей).

345 Разложение числа на простые множители — это его «паспорт». Из него можно узнать много полезных сведений о данном числе, например, найти все его делители. Найдите все делители числа $a$, если:

а) $a = 3 \cdot 7$;

б) $a = 2 \cdot 11 \cdot 17$;

в) $a = 3^2 \cdot 5$.

а) Дано разложение числа $a = 3 \cdot 7$. Чтобы найти все делители числа, нужно составить все возможные произведения из его простых множителей ($3$ и $7$). Любой делитель числа $a$ будет иметь вид $3^x \cdot 7^y$, где показатель степени $x$ может принимать значения 0 или 1, а показатель степени $y$ — 0 или 1.

Переберём все возможные комбинации:

• $3^0 \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 = 1$
• $3^1 \cdot 7^0 = 3 \cdot 1 = 3$
• $3^0 \cdot 7^1 = 1 \cdot 7 = 7$
• $3^1 \cdot 7^1 = 3 \cdot 7 = 21$

Таким образом, все делители числа $a$ в порядке возрастания: 1, 3, 7, 21.

Ответ: 1, 3, 7, 21.

б) Дано разложение числа $a = 2 \cdot 11 \cdot 17$. Любой делитель этого числа будет иметь вид $2^x \cdot 11^y \cdot 17^z$, где показатели степеней $x$, $y$ и $z$ могут принимать значения 0 или 1.

Переберём все возможные комбинации:

• $2^0 \cdot 11^0 \cdot 17^0 = 1$
• $2^1 \cdot 11^0 \cdot 17^0 = 2$
• $2^0 \cdot 11^1 \cdot 17^0 = 11$
• $2^0 \cdot 11^0 \cdot 17^1 = 17$
• $2^1 \cdot 11^1 \cdot 17^0 = 2 \cdot 11 = 22$
• $2^1 \cdot 11^0 \cdot 17^1 = 2 \cdot 17 = 34$
• $2^0 \cdot 11^1 \cdot 17^1 = 11 \cdot 17 = 187$
• $2^1 \cdot 11^1 \cdot 17^1 = 2 \cdot 11 \cdot 17 = 374$

Таким образом, все делители числа $a$ в порядке возрастания: 1, 2, 11, 17, 22, 34, 187, 374.

Ответ: 1, 2, 11, 17, 22, 34, 187, 374.

в) Дано разложение числа $a = 3^2 \cdot 5$. Любой делитель этого числа будет иметь вид $3^x \cdot 5^y$, где показатель степени $x$ может принимать значения 0, 1 или 2, а показатель степени $y$ — 0 или 1.

Переберём все возможные комбинации:

• $3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 = 1$
• $3^1 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$
• $3^2 \cdot 5^0 = 9 \cdot 1 = 9$
• $3^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$
• $3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$
• $3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, все делители числа $a$ в порядке возрастания: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Ответ: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

346 Некоторое число разложили на простые множители: $2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

Делится ли это число на 10; на 100; на 1000; на 18; на 70? Узнайте, какое число было разложено на простые множители.

Пусть данное число, разложенное на простые множители, равно $N$.

$N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$

Чтобы определить, делится ли число $N$ на некоторое другое число, необходимо разложить это число на простые множители. Если все простые множители делителя (с их степенями) содержатся в разложении числа $N$, то $N$ делится на это число без остатка.

Делится ли это число на 10

Разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5 = 2^1 \cdot 5^1$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ есть множитель $2^3$ и $5^2$. Так как степень двойки в разложении $N$ ($3$) больше или равна степени двойки в разложении 10 ($1$), и степень пятерки в разложении $N$ ($2$) больше или равна степени пятерки в разложении 10 ($1$), то число $N$ делится на 10.

Ответ: да, делится.

на 100

Разложим число 100 на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ есть множитель $2^3$ и $5^2$. Так как степень двойки в разложении $N$ ($3$) больше или равна степени двойки в разложении 100 ($2$), и степень пятерки в разложении $N$ ($2$) больше или равна степени пятерки в разложении 100 ($2$), то число $N$ делится на 100.

Ответ: да, делится.

на 1000

Разложим число 1000 на простые множители: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ степень множителя 5 равна 2, что меньше, чем требуемая степень 3. Следовательно, число $N$ не делится на 1000.

Ответ: нет, не делится.

на 18

Разложим число 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2^1 \cdot 3^2$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ есть множитель $2^3$ и $3^4$. Так как степень двойки в разложении $N$ ($3$) больше или равна степени двойки в разложении 18 ($1$), и степень тройки в разложении $N$ ($4$) больше или равна степени тройки в разложении 18 ($2$), то число $N$ делится на 18.

Ответ: да, делится.

на 70

Разложим число 70 на простые множители: $70 = 7 \cdot 10 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

В разложении числа $N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ отсутствует простой множитель 7. Следовательно, число $N$ не делится на 70.

Ответ: нет, не делится.

Узнайте, какое число было разложено на простые множители.

Для того чтобы найти исходное число, необходимо вычислить значение произведения его простых множителей:

$N = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2 = 8 \cdot 81 \cdot 25$

Для удобства вычислений сгруппируем множители:

$N = (8 \cdot 25) \cdot 81 = 200 \cdot 81 = 16200$

Ответ: 16200.

Выполните задания № 347–351, используя таблицу простых чисел, расположенную на странице 238.

347

Какие из чисел 163, 261, 271, 447, 457, 758 являются простыми?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются простыми, проверим каждое из них на наличие делителей, отличных от 1 и самого числа, используя признаки делимости и проверку делением на простые числа.

163

Число 163 не является четным (не делится на 2). Сумма его цифр $1 + 6 + 3 = 10$, что не делится на 3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5. Проверим деление на следующие простые числа. Поскольку $\sqrt{163} \approx 12.7$, достаточно проверить простые делители до 11. Проверка показывает: $163 \div 7 = 23$ (остаток 2); $163 \div 11 = 14$ (остаток 9). Так как делителей, кроме 1 и 163, не найдено, число 163 является простым.

261

Сумма цифр числа 261 равна $2 + 6 + 1 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и число 261 делится на 3 ($261 = 3 \cdot 87$). Поскольку число 261 имеет делитель 3, оно является составным.

271

Число 271 не делится на 2, 3 (сумма цифр 10), 5. Поскольку $\sqrt{271} \approx 16.4$, достаточно проверить простые делители до 13. Проверка показывает: $271 \div 7 = 38$ (остаток 5); $271 \div 11 = 24$ (остаток 7); $271 \div 13 = 20$ (остаток 11). Так как делителей, кроме 1 и 271, не найдено, число 271 является простым.

447

Сумма цифр числа 447 равна $4 + 4 + 7 = 15$. Так как 15 делится на 3, то и число 447 делится на 3 ($447 = 3 \cdot 149$). Поскольку число 447 имеет делитель 3, оно является составным.

457

Число 457 не делится на 2, 3 (сумма цифр 16), 5. Поскольку $\sqrt{457} \approx 21.3$, достаточно проверить простые делители до 19. Проверка показывает: $457 \div 7 = 65$ (остаток 2); $457 \div 11 = 41$ (остаток 6); $457 \div 13 = 35$ (остаток 2); $457 \div 17 = 26$ (остаток 15); $457 \div 19 = 24$ (остаток 1). Так как делителей, кроме 1 и 457, не найдено, число 457 является простым.

758

Число 758 оканчивается на цифру 8, поэтому оно является четным и делится на 2 ($758 = 2 \cdot 379$). Поскольку число 758 имеет делитель 2, оно является составным.

Ответ: 163, 271, 457.

348 a) Найдите первое трёхзначное число, являющееся простым.

б) Определите, сколько простых чисел в третьей сотне.

а) Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Трёхзначные числа — это числа в диапазоне от 100 до 999. Чтобы найти первое (наименьшее) простое трёхзначное число, будем проверять числа по порядку, начиная со 100.
- Число 100: чётное, делится на 2. Не является простым.
- Число 101: проверим его на простоту. Для этого достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{101}$. Так как $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$, то $\sqrt{101}$ немного больше 10. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.
1) 101 не делится на 2, так как оно нечётное.
2) Сумма цифр числа 101 равна $1+0+1=2$. Так как 2 не делится на 3, то и 101 не делится на 3.
3) 101 не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
4) При делении 101 на 7 получаем: $101 = 14 \times 7 + 3$. Деление без остатка невозможно.
Так как 101 не делится ни на одно из простых чисел до $\sqrt{101}$, оно является простым. Поскольку мы начали проверку с наименьшего трёхзначного числа, 101 — это искомое число.

Ответ: 101

б) Третья сотня — это числовой промежуток от 201 до 300 включительно. Чтобы определить количество простых чисел в этом диапазоне, нужно найти все простые числа на этом отрезке и сосчитать их.
Для проверки числа $n$ на простоту будем проверять его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$. Максимальное число в диапазоне — 300. $\sqrt{300} \approx 17.3$. Значит, достаточно проверять делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Сначала исключаем все чётные числа, числа, оканчивающиеся на 5, и числа, сумма цифр которых делится на 3. Затем для оставшихся чисел проверяем делимость на 7, 11, 13 и 17.
В результате такой проверки получаем следующий список простых чисел в диапазоне от 201 до 300:
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.
Пересчитав числа в этом списке, получаем, что в третьей сотне находится 16 простых чисел.

Ответ: 16

349 Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Запишите все такие числа.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $N = 10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условию, число должно быть записано разными цифрами, то есть $a \neq b$.

Первое условие: число $N$ должно быть простым. Для двузначных чисел это означает, что его последняя цифра $b$ не может быть четной (0, 2, 4, 6, 8) или 5, так как в этом случае число будет делиться на 2 или на 5. Следовательно, цифра $b$ может быть только из множества $\{1, 3, 7, 9\}$.

Второе условие: число, полученное после перестановки цифр, $N' = 10b + a$, также должно быть простым. По той же причине его последняя цифра, $a$, не может быть четной или 5. Таким образом, цифра $a$ также должна принадлежать множеству $\{1, 3, 7, 9\}$.

Итак, обе цифры искомого числа должны быть выбраны из набора $\{1, 3, 7, 9\}$, причем они должны быть различными. Переберем все возможные пары таких цифр и проверим числа, которые из них можно составить.

• Пара цифр {1, 3}: Числа 13 и 31. Оба числа являются простыми. Эта пара подходит.
• Пара цифр {1, 7}: Числа 17 и 71. Оба числа являются простыми. Эта пара подходит.
• Пара цифр {1, 9}: Число 19 является простым, но число 91 — составное, так как $91 = 7 \times 13$. Эта пара не подходит.
• Пара цифр {3, 7}: Числа 37 и 73. Оба числа являются простыми. Эта пара подходит.
• Пара цифр {3, 9}: Число 39 является составным ($39 = 3 \times 13$), и число 93 также является составным ($93 = 3 \times 31$). Эта пара не подходит.
• Пара цифр {7, 9}: Числа 79 и 97. Оба числа являются простыми. Эта пара подходит.

Таким образом, мы нашли все числа, удовлетворяющие условию. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

350 Составьте все возможные трёхзначные числа из цифр 1, 2 и 7 (без повторения цифр). Какие из них являются простыми и какие — составными?

Составьте все возможные трёхзначные числа из цифр 1, 2 и 7 (без повторения цифр)

Для составления всех возможных трёхзначных чисел из цифр 1, 2 и 7 без их повторения, нам нужно найти все перестановки этих трёх цифр. Общее количество таких перестановок равно числу перестановок из 3 элементов, то есть $3!$ (3 факториал).
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Это означает, что можно составить 6 уникальных чисел. Перечислим их, систематически меняя цифры в разрядах сотен, десятков и единиц:
1. Числа, начинающиеся с цифры 1: 127, 172.
2. Числа, начинающиеся с цифры 2: 217, 271.
3. Числа, начинающиеся с цифры 7: 712, 721.

Ответ: 127, 172, 217, 271, 712, 721.

Какие из них являются простыми и какие — составными?

Чтобы определить, какие из этих чисел простые, а какие составные, проверим каждое из них на наличие делителей, кроме 1 и самого себя. Простое число имеет только два делителя (1 и само себя), а составное — более двух.

- 127: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{127} \approx 11,3$. Это 2, 3, 5, 7, 11. Число 127 нечётное, сумма цифр $1+2+7=10$ (не делится на 3), не оканчивается на 0 или 5. При делении на 7 даёт остаток 1, при делении на 11 — остаток 6. Следовательно, 127 — простое число.
- 172: Число оканчивается на 2, значит оно чётное и делится на 2. Следовательно, 172 — составное число.
- 217: Проверим делимость на 7: $217 \div 7 = 31$. Поскольку 217 делится на 7 без остатка, это составное число.
- 271: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{271} \approx 16,5$. Это 7, 11, 13. При делении на 7 даёт остаток 5, на 11 — остаток 7, на 13 — остаток 11. Следовательно, 271 — простое число.
- 712: Число оканчивается на 2, значит оно чётное и делится на 2. Следовательно, 712 — составное число.
- 721: Проверим делимость на 7: $721 = 700 + 21$, оба слагаемых делятся на 7, значит и сумма делится на 7. $721 \div 7 = 103$. Следовательно, 721 — составное число.

Ответ: Простые числа: 127, 271. Составные числа: 172, 217, 712, 721.

351 Простые числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами.

Сколько пар чисел-близнецов в ряду чисел:

а) от 1 до 100;

б) от 100 до 200?

Проверьте, есть ли числа-близнецы в промежутке от 900 до 1000.

Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение:

«В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Согласно определению, числа-близнецы — это два простых числа, разность которых равна 2.

а) от 1 до 100;

Для нахождения пар чисел-близнецов в диапазоне от 1 до 100, необходимо найти все простые числа в этом промежутке и выделить из них пары, отличающиеся на 2.
Пары чисел-близнецов в этом диапазоне:

$(3, 5)$, $(5, 7)$, $(11, 13)$, $(17, 19)$, $(29, 31)$, $(41, 43)$, $(59, 61)$, $(71, 73)$.

Всего найдено 8 пар.

Ответ: 8 пар.

б) от 100 до 200?

Аналогично пункту а), найдем простые числа в диапазоне от 100 до 200 и определим среди них пары чисел-близнецов.

Пары чисел-близнецов в этом диапазоне:

$(101, 103)$, $(107, 109)$, $(137, 139)$, $(149, 151)$, $(179, 181)$, $(191, 193)$, $(197, 199)$.

Всего найдено 7 пар.

Ответ: 7 пар.

Проверьте, есть ли числа-близнецы в промежутке от 900 до 1000.

Для проверки необходимо найти все простые числа в промежутке от 900 до 1000 и проверить, существуют ли среди них пары с разностью 2. Простые числа в этом диапазоне: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
Проверим числа, которые могли бы составить пару с этими простыми числами:
907 + 2 = 909 (не является простым, $909=9 \cdot 101$)
911 + 2 = 913 (не является простым, $913=11 \cdot 83$)
929 + 2 = 931 (не является простым, $931=19 \cdot 49$)
941 + 2 = 943 (не является простым, $943=23 \cdot 41$)
947 + 2 = 949 (не является простым, $949=13 \cdot 73$)
967 + 2 = 969 (не является простым, $969=3 \cdot 323$)
991 + 2 = 993 (не является простым, $993=3 \cdot 331$)
Таким образом, в данном промежутке нет ни одной пары чисел-близнецов.

Ответ: Нет, в промежутке от 900 до 1000 чисел-близнецов нет.

Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение: «В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Третья сотня — это числа в промежутке от 201 до 300. Утверждение гласит, что в этом диапазоне существует только одна пара чисел-близнецов. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти как минимум две такие пары.
Найдем пары чисел-близнецов в этом диапазоне:
1. Пара $(227, 229)$. Оба числа простые, их разность $229 - 227 = 2$.
2. Пара $(239, 241)$. Оба числа простые, их разность $241 - 239 = 2$.
Поскольку мы нашли как минимум две пары чисел-близнецов ($(227, 229)$ и $(239, 241)$), исходное утверждение ложно. На самом деле, в третьей сотне есть еще пары: $(269, 271)$ и $(281, 283)$.

Ответ: Утверждение неверно. В третьей сотне есть, например, пары чисел-близнецов $(227, 229)$ и $(239, 241)$.