Номер 351, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

351 Простые числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами.

Сколько пар чисел-близнецов в ряду чисел:

а) от 1 до 100;

б) от 100 до 200?

Проверьте, есть ли числа-близнецы в промежутке от 900 до 1000.

Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение:

«В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Согласно определению, числа-близнецы — это два простых числа, разность которых равна 2.

а) от 1 до 100;

Для нахождения пар чисел-близнецов в диапазоне от 1 до 100, необходимо найти все простые числа в этом промежутке и выделить из них пары, отличающиеся на 2.
Пары чисел-близнецов в этом диапазоне:

$(3, 5)$, $(5, 7)$, $(11, 13)$, $(17, 19)$, $(29, 31)$, $(41, 43)$, $(59, 61)$, $(71, 73)$.

Всего найдено 8 пар.

Ответ: 8 пар.

б) от 100 до 200?

Аналогично пункту а), найдем простые числа в диапазоне от 100 до 200 и определим среди них пары чисел-близнецов.

Пары чисел-близнецов в этом диапазоне:

$(101, 103)$, $(107, 109)$, $(137, 139)$, $(149, 151)$, $(179, 181)$, $(191, 193)$, $(197, 199)$.

Всего найдено 7 пар.

Ответ: 7 пар.

Проверьте, есть ли числа-близнецы в промежутке от 900 до 1000.

Для проверки необходимо найти все простые числа в промежутке от 900 до 1000 и проверить, существуют ли среди них пары с разностью 2. Простые числа в этом диапазоне: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
Проверим числа, которые могли бы составить пару с этими простыми числами:
907 + 2 = 909 (не является простым, $909=9 \cdot 101$)
911 + 2 = 913 (не является простым, $913=11 \cdot 83$)
929 + 2 = 931 (не является простым, $931=19 \cdot 49$)
941 + 2 = 943 (не является простым, $943=23 \cdot 41$)
947 + 2 = 949 (не является простым, $949=13 \cdot 73$)
967 + 2 = 969 (не является простым, $969=3 \cdot 323$)
991 + 2 = 993 (не является простым, $993=3 \cdot 331$)
Таким образом, в данном промежутке нет ни одной пары чисел-близнецов.

Ответ: Нет, в промежутке от 900 до 1000 чисел-близнецов нет.

Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение: «В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Третья сотня — это числа в промежутке от 201 до 300. Утверждение гласит, что в этом диапазоне существует только одна пара чисел-близнецов. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти как минимум две такие пары.
Найдем пары чисел-близнецов в этом диапазоне:
1. Пара $(227, 229)$. Оба числа простые, их разность $229 - 227 = 2$.
2. Пара $(239, 241)$. Оба числа простые, их разность $241 - 239 = 2$.
Поскольку мы нашли как минимум две пары чисел-близнецов ($(227, 229)$ и $(239, 241)$), исходное утверждение ложно. На самом деле, в третьей сотне есть еще пары: $(269, 271)$ и $(281, 283)$.

Ответ: Утверждение неверно. В третьей сотне есть, например, пары чисел-близнецов $(227, 229)$ и $(239, 241)$.