Номер 357, страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

357 ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители (при этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты).

Разложите на простые множители число:

а) 1452; б) 1980; в) 3960; г) 2295; д) 35100.

а) 1452

Разложим число 1452 на простые множители, последовательно применяя признаки делимости.

1. Число 1452 четное, так как оканчивается на 2. Делим его на 2:
$1452 \div 2 = 726$

2. Полученное число 726 также является четным. Снова делим на 2:
$726 \div 2 = 363$

3. Проверим делимость числа 363 на 3. Сумма его цифр $3 + 6 + 3 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 363 делится на 3:
$363 \div 3 = 121$

4. Число 121 является квадратом простого числа 11:
$121 = 11 \times 11 = 11^2$

Собираем все простые множители вместе: $1452 = 2 \times 2 \times 3 \times 11 \times 11$.

Ответ: $1452 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2$.

б) 1980

Разложим число 1980 на простые множители.

1. Число 1980 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10, а 10 это произведение простых чисел $2 \times 5$:
$1980 \div 10 = 198$

2. Число 198 четное. Делим его на 2:
$198 \div 2 = 99$

3. Сумма цифр числа 99 равна $9 + 9 = 18$, что делится на 9 ($9=3^2$). Делим 99 на 9:
$99 \div 9 = 11$

4. Число 11 является простым.

Собираем все простые множители: $1980 = 10 \times 198 = (2 \times 5) \times (2 \times 99) = (2 \times 5) \times (2 \times 9 \times 11) = 2 \times 5 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11$.

Ответ: $1980 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$.

в) 3960

Разложим число 3960 на простые множители.

1. Число 3960 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10 ($2 \times 5$):
$3960 \div 10 = 396$

2. Число 396 четное. Делим на 2:
$396 \div 2 = 198$

3. Число 198 также четное. Делим на 2:
$198 \div 2 = 99$

4. Число 99 делится на 9 ($3^2$):
$99 \div 9 = 11$

5. Число 11 является простым.

Собираем все простые множители: $3960 = 10 \times 396 = (2 \times 5) \times (2 \times 198) = (2 \times 5) \times (2 \times 2 \times 99) = (2 \times 5) \times (2 \times 2 \times 9 \times 11) = 2 \times 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11$.

Ответ: $3960 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$.

г) 2295

Разложим число 2295 на простые множители.

1. Число 2295 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$2295 \div 5 = 459$

2. Сумма цифр числа 459 равна $4 + 5 + 9 = 18$. 18 делится на 9 ($3^2$), значит, и 459 делится на 9:
$459 \div 9 = 51$

3. Сумма цифр числа 51 равна $5 + 1 = 6$. 6 делится на 3, значит, и 51 делится на 3:
$51 \div 3 = 17$

4. Число 17 является простым.

Собираем все простые множители: $2295 = 5 \times 9 \times 51 = 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 17$.

Ответ: $2295 = 3^3 \cdot 5 \cdot 17$.

д) 35100

Разложим число 35100 на простые множители.

1. Число 35100 оканчивается на 00, значит, оно делится на 100. $100 = 10^2 = (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2$:
$35100 \div 100 = 351$

2. Сумма цифр числа 351 равна $3 + 5 + 1 = 9$. 9 делится на 9 ($3^2$), значит, и 351 делится на 9:
$351 \div 9 = 39$

3. Число 39 делится на 3:
$39 \div 3 = 13$

4. Число 13 является простым.

Собираем все простые множители: $35100 = 100 \times 351 = (2^2 \times 5^2) \times (9 \times 39) = (2^2 \times 5^2) \times (3^2 \times 3 \times 13) = 2^2 \times 5^2 \times 3^3 \times 13$.

Ответ: $35100 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 13$.