Страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

352 Какие из чисел 18, 35, 53, 70, 204, 360:

а) не делятся на 10;

б) делятся на 5, но не делятся на 2;

в) делятся на 2, но не делятся на 5;

г) делятся на 2 и на 5;

д) не делятся ни на 2, ни на 5?

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел на 2, 5 и 10. Проанализируем данный ряд чисел: 18, 35, 53, 70, 204, 360.

• Число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 10, если его последняя цифра 0. Это то же самое, что делиться одновременно на 2 и на 5.

а) не делятся на 10

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0. Нам нужно найти все числа из списка, которые не оканчиваются на 0. Это числа: 18, 35, 53, 204.

Ответ: 18, 35, 53, 204.

б) делятся на 5, но не делятся на 2

Число должно делиться на 5 (оканчиваться на 0 или 5) и не делиться на 2 (быть нечётным). Этим двум условиям удовлетворяют только числа, оканчивающиеся на 5. В нашем списке такое число одно – 35.

Ответ: 35.

в) делятся на 2, но не делятся на 5

Число должно делиться на 2 (оканчиваться на 0, 2, 4, 6, 8) и не делиться на 5 (не оканчиваться на 0 или 5). Следовательно, последняя цифра числа должна быть 2, 4, 6 или 8. В нашем списке этому условию соответствуют числа 18 (оканчивается на 8) и 204 (оканчивается на 4).

Ответ: 18, 204.

г) делятся на 2 и на 5

Если число делится и на 2, и на 5, оно должно оканчиваться на 0. В нашем списке это числа 70 и 360.

Ответ: 70, 360.

д) не делятся ни на 2, ни на 5

Число не должно делиться на 2 (его последняя цифра нечётная) и не должно делиться на 5 (его последняя цифра не 0 и не 5). Это означает, что последняя цифра может быть 1, 3, 7 или 9. Из предложенных чисел этому условию удовлетворяет только число 53.

Ответ: 53.

353 Используя цифры 1, 3, 5, 6 (каждую по одному разу), запишите все возможные четырёхзначные числа, которые:

а) делятся на $2$;

б) делятся на $5$.

а) делятся на 2
Согласно признаку делимости, число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Из предоставленного набора цифр {1, 3, 5, 6} только цифра 6 является чётной. Это означает, что для выполнения условия, все искомые четырёхзначные числа должны оканчиваться на 6.
Оставшиеся три цифры {1, 3, 5} необходимо расположить на первых трёх позициях. Количество возможных перестановок из трёх элементов равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Перечислим все возможные числа:
1) Установим 1 на место тысяч, тогда получаем: 1356, 1536.
2) Установим 3 на место тысяч, тогда получаем: 3156, 3516.
3) Установим 5 на место тысяч, тогда получаем: 5136, 5316.
Таким образом, мы нашли 6 чисел, удовлетворяющих условию.
Ответ: 1356, 1536, 3156, 3516, 5136, 5316.

б) делятся на 5
Согласно признаку делимости, число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из предоставленного набора цифр {1, 3, 5, 6} только цифра 5 удовлетворяет этому условию. Следовательно, все искомые четырёхзначные числа должны оканчиваться на 5.
Оставшиеся три цифры {1, 3, 6} необходимо расположить на первых трёх позициях. Количество возможных перестановок из трёх элементов также равно $3! = 6$.
Перечислим все возможные числа:
1) Установим 1 на место тысяч, тогда получаем: 1365, 1635.
2) Установим 3 на место тысяч, тогда получаем: 3165, 3615.
3) Установим 6 на место тысяч, тогда получаем: 6135, 6315.
Таким образом, мы нашли 6 чисел, удовлетворяющих условию.
Ответ: 1365, 1635, 3165, 3615, 6135, 6315.

354 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ НА 9 И НА 3

Даны числа: 72, 312, 483, 522, 913, 1197, 2093. Выпишите из них те, которые:

а) делятся на 9;

б) делятся на 3 и не делятся на 9.

Для решения этой задачи необходимо применить признаки делимости на 3 и на 9. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3, так как 9 кратно 3.

Проанализируем каждое число из списка, найдя сумму его цифр:

• Для числа 72: сумма цифр равна $7 + 2 = 9$. Сумма 9 делится и на 3, и на 9. Следовательно, число 72 делится на 9.
• Для числа 312: сумма цифр равна $3 + 1 + 2 = 6$. Сумма 6 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, число 312 делится на 3, но не на 9.
• Для числа 483: сумма цифр равна $4 + 8 + 3 = 15$. Сумма 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), но не делится на 9. Следовательно, число 483 делится на 3, но не на 9.
• Для числа 522: сумма цифр равна $5 + 2 + 2 = 9$. Сумма 9 делится и на 3, и на 9. Следовательно, число 522 делится на 9.
• Для числа 913: сумма цифр равна $9 + 1 + 3 = 13$. Сумма 13 не делится ни на 3, ни на 9.
• Для числа 1197: сумма цифр равна $1 + 1 + 9 + 7 = 18$. Сумма 18 делится и на 3, и на 9 ($18 : 9 = 2$). Следовательно, число 1197 делится на 9.
• Для числа 2093: сумма цифр равна $2 + 0 + 9 + 3 = 14$. Сумма 14 не делится ни на 3, ни на 9.

Теперь выпишем числа в соответствии с условиями задачи.

а) делятся на 9

Из анализа выше следует, что на 9 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 9. Это числа 72, 522 и 1197.

Ответ: 72, 522, 1197.

б) делятся на 3 и не делятся на 9

Это те числа, сумма цифр которых делится на 3, но не делится на 9. Из нашего анализа это числа 312 и 483.

Ответ: 312, 483.

a) Какие из чисел 212, 216, 8361, 56007, 4125 делятся на 9? Запишите их в порядке убывания.

б) Какие из чисел 111, 110, 222, 834, 2383, 882 делятся на 3? Запишите их в порядке возрастания.

а)

Для того чтобы определить, делится ли число на 9, необходимо найти сумму его цифр. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9. Проверим каждое число из списка: 212, 216, 8361, 56007, 4125.

Для числа 212: сумма цифр $2 + 1 + 2 = 5$. Число 5 не делится на 9, следовательно, 212 не делится на 9.

Для числа 216: сумма цифр $2 + 1 + 6 = 9$. Число 9 делится на 9 ($9 \div 9 = 1$), следовательно, 216 делится на 9.

Для числа 8361: сумма цифр $8 + 3 + 6 + 1 = 18$. Число 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), следовательно, 8361 делится на 9.

Для числа 56007: сумма цифр $5 + 6 + 0 + 0 + 7 = 18$. Число 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), следовательно, 56007 делится на 9.

Для числа 4125: сумма цифр $4 + 1 + 2 + 5 = 12$. Число 12 не делится на 9, следовательно, 4125 не делится на 9.

Мы нашли числа, которые делятся на 9: 216, 8361, 56007. Теперь запишем их в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему).

56007 > 8361 > 216

Ответ: 56007, 8361, 216.

б)

Для того чтобы определить, делится ли число на 3, необходимо найти сумму его цифр. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3. Проверим каждое число из списка: 111, 110, 222, 834, 2383, 882.

Для числа 111: сумма цифр $1 + 1 + 1 = 3$. Число 3 делится на 3 ($3 \div 3 = 1$), следовательно, 111 делится на 3.

Для числа 110: сумма цифр $1 + 1 + 0 = 2$. Число 2 не делится на 3, следовательно, 110 не делится на 3.

Для числа 222: сумма цифр $2 + 2 + 2 = 6$. Число 6 делится на 3 ($6 \div 3 = 2$), следовательно, 222 делится на 3.

Для числа 834: сумма цифр $8 + 3 + 4 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), следовательно, 834 делится на 3.

Для числа 2383: сумма цифр $2 + 3 + 8 + 3 = 16$. Число 16 не делится на 3, следовательно, 2383 не делится на 3.

Для числа 882: сумма цифр $8 + 8 + 2 = 18$. Число 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), следовательно, 882 делится на 3.

Мы нашли числа, которые делятся на 3: 111, 222, 834, 882. Теперь запишем их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему).

111 < 222 < 834 < 882

Ответ: 111, 222, 834, 882.

356 Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580? Есть ли среди них числа, делящиеся на 9?

Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580?

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Нам нужно найти все целые числа $n$, удовлетворяющие условию $560 < n < 580$, которые делятся на 3.

Сначала найдем первое число в этом интервале, которое делится на 3. Начнем проверку с числа 561.

Сумма цифр числа 561 равна $5 + 6 + 1 = 12$. Поскольку 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$), то и само число 561 делится на 3. Это первое искомое число.

Все последующие числа, кратные трем, можно найти, последовательно прибавляя 3 к найденному числу, пока мы не выйдем за пределы заданного интервала (до 580).

Получаем следующий ряд чисел:

• $561$
• $561 + 3 = 564$
• $564 + 3 = 567$
• $567 + 3 = 570$
• $570 + 3 = 573$
• $573 + 3 = 576$
• $576 + 3 = 579$

Следующее число в ряду будет $579 + 3 = 582$, что уже больше 580, поэтому оно не входит в искомый диапазон.

Ответ: 561, 564, 567, 570, 573, 576, 579.

Есть ли среди них числа, делящиеся на 9?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Проверим каждое число из списка, полученного в предыдущем пункте.

• 561: сумма цифр $5 + 6 + 1 = 12$. 12 не делится на 9.
• 564: сумма цифр $5 + 6 + 4 = 15$. 15 не делится на 9.
• 567: сумма цифр $5 + 6 + 7 = 18$. 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$). Следовательно, число 567 делится на 9.
• 570: сумма цифр $5 + 7 + 0 = 12$. 12 не делится на 9.
• 573: сумма цифр $5 + 7 + 3 = 15$. 15 не делится на 9.
• 576: сумма цифр $5 + 7 + 6 = 18$. 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$). Следовательно, число 576 делится на 9.
• 579: сумма цифр $5 + 7 + 9 = 21$. 21 не делится на 9.

Таким образом, среди найденных чисел есть два, которые делятся на 9.

Ответ: Да, есть. Это числа 567 и 576.

357 ПРИМЕНЕНИЕ РАЗНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители (при этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты).

Разложите на простые множители число:

а) 1452; б) 1980; в) 3960; г) 2295; д) 35100.

а) 1452

Разложим число 1452 на простые множители, последовательно применяя признаки делимости.

1. Число 1452 четное, так как оканчивается на 2. Делим его на 2:
$1452 \div 2 = 726$

2. Полученное число 726 также является четным. Снова делим на 2:
$726 \div 2 = 363$

3. Проверим делимость числа 363 на 3. Сумма его цифр $3 + 6 + 3 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 363 делится на 3:
$363 \div 3 = 121$

4. Число 121 является квадратом простого числа 11:
$121 = 11 \times 11 = 11^2$

Собираем все простые множители вместе: $1452 = 2 \times 2 \times 3 \times 11 \times 11$.

Ответ: $1452 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2$.

б) 1980

Разложим число 1980 на простые множители.

1. Число 1980 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10, а 10 это произведение простых чисел $2 \times 5$:
$1980 \div 10 = 198$

2. Число 198 четное. Делим его на 2:
$198 \div 2 = 99$

3. Сумма цифр числа 99 равна $9 + 9 = 18$, что делится на 9 ($9=3^2$). Делим 99 на 9:
$99 \div 9 = 11$

4. Число 11 является простым.

Собираем все простые множители: $1980 = 10 \times 198 = (2 \times 5) \times (2 \times 99) = (2 \times 5) \times (2 \times 9 \times 11) = 2 \times 5 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11$.

Ответ: $1980 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$.

в) 3960

Разложим число 3960 на простые множители.

1. Число 3960 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10 ($2 \times 5$):
$3960 \div 10 = 396$

2. Число 396 четное. Делим на 2:
$396 \div 2 = 198$

3. Число 198 также четное. Делим на 2:
$198 \div 2 = 99$

4. Число 99 делится на 9 ($3^2$):
$99 \div 9 = 11$

5. Число 11 является простым.

Собираем все простые множители: $3960 = 10 \times 396 = (2 \times 5) \times (2 \times 198) = (2 \times 5) \times (2 \times 2 \times 99) = (2 \times 5) \times (2 \times 2 \times 9 \times 11) = 2 \times 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11$.

Ответ: $3960 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$.

г) 2295

Разложим число 2295 на простые множители.

1. Число 2295 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$2295 \div 5 = 459$

2. Сумма цифр числа 459 равна $4 + 5 + 9 = 18$. 18 делится на 9 ($3^2$), значит, и 459 делится на 9:
$459 \div 9 = 51$

3. Сумма цифр числа 51 равна $5 + 1 = 6$. 6 делится на 3, значит, и 51 делится на 3:
$51 \div 3 = 17$

4. Число 17 является простым.

Собираем все простые множители: $2295 = 5 \times 9 \times 51 = 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 17$.

Ответ: $2295 = 3^3 \cdot 5 \cdot 17$.

д) 35100

Разложим число 35100 на простые множители.

1. Число 35100 оканчивается на 00, значит, оно делится на 100. $100 = 10^2 = (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2$:
$35100 \div 100 = 351$

2. Сумма цифр числа 351 равна $3 + 5 + 1 = 9$. 9 делится на 9 ($3^2$), значит, и 351 делится на 9:
$351 \div 9 = 39$

3. Число 39 делится на 3:
$39 \div 3 = 13$

4. Число 13 является простым.

Собираем все простые множители: $35100 = 100 \times 351 = (2^2 \times 5^2) \times (9 \times 39) = (2^2 \times 5^2) \times (3^2 \times 3 \times 13) = 2^2 \times 5^2 \times 3^3 \times 13$.

Ответ: $35100 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 13$.

358 Докажите, что каждое из чисел 37940, 1272, 1551, 207027 является составным числом.

Подсказка. Вспомните, какие числа называют составными.

Составное число — это натуральное число, которое больше единицы и не является простым. Другими словами, у составного числа есть хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Чтобы доказать, что данное число является составным, достаточно найти для него такой делитель, используя признаки делимости.

37940
Число 37940 оканчивается на цифру 0. Согласно признаку делимости, если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Поскольку число 37940 делится на 10 (а также на 2 и 5), оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Следовательно, это число является составным.
Например, $37940 : 10 = 3794$.
Ответ: число 37940 является составным, так как оно оканчивается на 0 и делится на 10.

1272
Число 1272 оканчивается на цифру 2, которая является чётной. Согласно признаку делимости, если число оканчивается на чётную цифру, то оно делится на 2. Так как число 1272 делится на 2, оно является составным.
$1272 : 2 = 636$.
Ответ: число 1272 является составным, так как оно чётное и делится на 2.

1551
Для проверки этого числа воспользуемся признаком делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Найдём сумму цифр числа 1551:
$1 + 5 + 5 + 1 = 12$.
Сумма цифр равна 12, а 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$). Следовательно, число 1551 также делится на 3 и является составным.
$1551 : 3 = 517$.
Ответ: число 1551 является составным, так как сумма его цифр делится на 3.

207027
Проверим это число, используя признак делимости на 3. Найдём сумму его цифр:
$2 + 0 + 7 + 0 + 2 + 7 = 18$.
Сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$). Следовательно, число 207027 также делится на 3 и является составным.
$207027 : 3 = 69009$.
Ответ: число 207027 является составным, так как сумма его цифр делится на 3.

359 Назовите два трёхзначных числа, которые:

а) делятся на 2 и на 3;

б) делятся на 2 и не делятся на 3;

в) делятся на 3 и не делятся на 2;

г) делятся на 10 и на 9;

д) делятся на 10 и не делятся на 9;

е) делятся на 9 и не делятся на 10.

а) делятся на 2 и на 3;

Чтобы число делилось одновременно на 2 и на 3, оно должно быть четным (признак делимости на 2), и сумма его цифр должна делиться на 3 (признак делимости на 3). Иными словами, число должно быть кратно 6.
Пример 1: Возьмем число 102. Оно четное, так как оканчивается на 2. Проверим сумму его цифр: $1+0+2=3$. Сумма цифр (3) делится на 3, следовательно, число 102 делится на 3. Так как число делится и на 2, и на 3, оно удовлетворяет условию.
Пример 2: Возьмем число 450. Оно четное, так как оканчивается на 0. Проверим сумму его цифр: $4+5+0=9$. Сумма цифр (9) делится на 3, следовательно, число 450 делится на 3.
Ответ: 102, 450.

б) делятся на 2 и не делятся на 3;

Искомое число должно быть четным, но сумма его цифр не должна делиться на 3.
Пример 1: Возьмем число 100. Оно четное. Сумма его цифр: $1+0+0=1$. 1 не делится на 3, значит, число 100 не делится на 3.
Пример 2: Возьмем число 112. Оно четное. Сумма его цифр: $1+1+2=4$. 4 не делится на 3, значит, число 112 не делится на 3.
Ответ: 100, 112.

в) делятся на 3 и не делятся на 2;

Число должно быть нечетным (чтобы не делиться на 2), а сумма его цифр должна делиться на 3.
Пример 1: Возьмем число 111. Оно нечетное. Сумма его цифр: $1+1+1=3$. 3 делится на 3, значит, число 111 делится на 3.
Пример 2: Возьмем число 729. Оно нечетное. Сумма его цифр: $7+2+9=18$. 18 делится на 3, значит, число 729 делится на 3.
Ответ: 111, 729.

г) делятся на 10 и на 9;

Чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. Чтобы оно делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Следовательно, ищем трехзначное число, оканчивающееся на 0, сумма цифр которого кратна 9.
Пример 1: Возьмем число 180. Оно оканчивается на 0, значит, делится на 10. Сумма его цифр: $1+8+0=9$. 9 делится на 9, значит, число 180 делится на 9.
Пример 2: Возьмем число 990. Оно оканчивается на 0. Сумма его цифр: $9+9+0=18$. 18 делится на 9, значит, число 990 делится на 9.
Ответ: 180, 990.

д) делятся на 10 и не делятся на 9;

Число должно оканчиваться на 0, но сумма его цифр не должна делиться на 9.
Пример 1: Возьмем число 100. Оно оканчивается на 0. Сумма его цифр: $1+0+0=1$. 1 не делится на 9, значит, число 100 не делится на 9.
Пример 2: Возьмем число 250. Оно оканчивается на 0. Сумма его цифр: $2+5+0=7$. 7 не делится на 9, значит, число 250 не делится на 9.
Ответ: 100, 250.

е) делятся на 9 и не делятся на 10.

Сумма цифр числа должна делиться на 9, но число не должно оканчиваться на 0.
Пример 1: Возьмем число 108. Оно не оканчивается на 0. Сумма его цифр: $1+0+8=9$. 9 делится на 9, значит, число 108 делится на 9.
Пример 2: Возьмем число 117. Оно не оканчивается на 0. Сумма его цифр: $1+1+7=9$. 9 делится на 9, значит, число 117 делится на 9.
Ответ: 108, 117.