Страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

369 Начертите треугольник, длины сторон которого различны. Обозначьте его $ABC$. Назовите угол, противолежащий стороне $BC$; стороне $AB$. Назовите углы, прилежащие к стороне $AC$. Измерьте стороны и углы треугольника.

Для выполнения задания необходимо начертить треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (разносторонний треугольник). Обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$. Поскольку конкретные длины сторон не заданы, мы можем выбрать их произвольно, например: $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 5$ см. Далее ответим на вопросы на основе этого треугольника.

Назовите угол, противолежащий стороне BC

Угол, который лежит напротив стороны, называется противолежащим. Для стороны $BC$ противолежащим является угол, образованный двумя другими сторонами ($AB$ и $AC$), то есть угол при вершине $A$.

Ответ: Угол, противолежащий стороне $BC$, это $\angle BAC$ (или $\angle A$).

Назовите угол, противолежащий стороне AB

Аналогично, углом, противолежащим стороне $AB$, является угол при вершине $C$.

Ответ: Угол, противолежащий стороне $AB$, это $\angle BCA$ (или $\angle C$).

Назовите углы, прилежащие к стороне AC

Углы, прилежащие к стороне, — это углы, которые находятся у концов этой стороны. Для стороны $AC$ это углы при вершинах $A$ и $C$.

Ответ: Углы, прилежащие к стороне $AC$, это $\angle BAC$ (или $\angle A$) и $\angle BCA$ (или $\angle C$).

Измерьте стороны и углы треугольника

Результаты измерений будут зависеть от того, какой именно треугольник вы начертили. Для нашего примера со сторонами $AB = 6$ см, $BC = 7$ см и $AC = 5$ см, измерения, выполненные с помощью линейки и транспортира, будут следующими:

Стороны:

• $AB = 6$ см
• $BC = 7$ см
• $AC = 5$ см

Углы (измеренные транспортиром):

Сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$.

• $\angle A$ ($\angle BAC$) $\approx 82^\circ$
• $\angle B$ ($\angle ABC$) $\approx 44^\circ$
• $\angle C$ ($\angle BCA$) $\approx 54^\circ$

Проверка: $82^\circ + 44^\circ + 54^\circ = 180^\circ$. (При измерении транспортиром могут быть небольшие погрешности).

Ответ: В зависимости от вашего чертежа результаты будут разными. Для примера, приведенного выше: стороны $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 5$ см; углы $\angle A \approx 82^\circ$, $\angle B \approx 44^\circ$, $\angle C \approx 54^\circ$.

370 Найдите на рисунке 7.5 равнобедренные треугольники и скопируйте их в тетрадь. Укажите боковые стороны и основание каждого треугольника.

7.5

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Чтобы найти равнобедренные треугольники на рисунке, необходимо вычислить длины сторон каждого из четырех нарисованных треугольников (DER, KMN, OSP, XYZ). Примем длину стороны одной клетки за единицу. Длину отрезка будем находить по теореме Пифагора: $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$, где $\Delta x$ и $\Delta y$ — это разница координат по горизонтали и вертикали между вершинами отрезка. Для удобства будем сравнивать квадраты длин сторон $d^2$.

Треугольник DER

Вычислим квадраты длин его сторон. Для стороны DR смещение по горизонтали составляет 1 клетку, а по вертикали — 2 клетки. Квадрат её длины: $DR^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Для стороны ER смещение по горизонтали — 2 клетки, по вертикали — 1 клетка. Квадрат её длины: $ER^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Для стороны DE смещение по горизонтали — 3 клетки, по вертикали — 1 клетка. Квадрат её длины: $DE^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$. Поскольку $DR^2 = ER^2$, то и длины сторон равны: $DR = ER$. Значит, треугольник DER — равнобедренный.

Ответ: боковые стороны — DR и ER, основание — DE.

Треугольник OSP

Вычислим квадраты длин его сторон. Для стороны OP смещение по горизонтали составляет 2 клетки, а по вертикали — 1 клетка. Квадрат её длины: $OP^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Для стороны SP смещение по горизонтали — 1 клетка, по вертикали — 2 клетки. Квадрат её длины: $SP^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Для стороны OS смещение по горизонтали — 1 клетка, по вертикали — 3 клетки. Квадрат её длины: $OS^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Поскольку $OP^2 = SP^2$, то и длины сторон равны: $OP = SP$. Значит, треугольник OSP — равнобедренный.

Ответ: боковые стороны — OP и SP, основание — OS.

Два других треугольника, изображенных на рисунке, не являются равнобедренными, так как все их стороны имеют разную длину. В треугольнике KMN квадраты длин сторон равны: $KM^2=2^2+2^2=8$, $MN^2=1^2+2^2=5$, $KN^2=3^2+0^2=9$. В треугольнике XYZ квадраты длин сторон равны: $XY^2=2^2+4^2=20$, $YZ^2=1^2+5^2=26$, $XZ^2=3^2+1^2=10$.

371 Определите вид треугольника, углы которого равны:

а) $24^\circ, 137^\circ, 19^\circ;$

б) $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ;$

в) $35^\circ, 60^\circ, 85^\circ;$

г) $95^\circ, 75^\circ, 10^\circ.$

Для определения вида треугольника по его углам необходимо сначала убедиться, что их сумма равна $180^\circ$ (свойство углов треугольника). Если это условие выполняется, то вид треугольника определяется по величине его углов:

• Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).
• Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$).
• Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (то есть больше $90^\circ$).

Применим эти правила к каждому случаю.

а) Даны углы $24^\circ$, $137^\circ$, $19^\circ$.
1. Проверим сумму углов: $24^\circ + 137^\circ + 19^\circ = 180^\circ$. Сумма верна, следовательно, такой треугольник существует.
2. Сравним углы с $90^\circ$. Один из углов, $137^\circ$, больше $90^\circ$. Это тупой угол.
Таким образом, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

б) Даны углы $40^\circ$, $50^\circ$, $90^\circ$.
1. Проверим сумму углов: $40^\circ + 50^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма верна, треугольник существует.
2. Один из углов равен $90^\circ$. Это прямой угол.
Таким образом, треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

в) Даны углы $35^\circ$, $60^\circ$, $85^\circ$.
1. Проверим сумму углов: $35^\circ + 60^\circ + 85^\circ = 180^\circ$. Сумма верна, треугольник существует.
2. Сравним каждый угол с $90^\circ$: $35^\circ < 90^\circ$, $60^\circ < 90^\circ$, $85^\circ < 90^\circ$. Все углы острые.
Таким образом, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

г) Даны углы $95^\circ$, $75^\circ$, $10^\circ$.
1. Проверим сумму углов: $95^\circ + 75^\circ + 10^\circ = 180^\circ$. Сумма верна, треугольник существует.
2. Один из углов, $95^\circ$, больше $90^\circ$. Это тупой угол.
Таким образом, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

372 На рисунке 7.6 изображено 13 равносторонних треугольников. А сколько можете найти вы?

7.6

7.7

Чтобы найти все равносторонние треугольники на рисунке, будем действовать систематически и считать их по размеру, начиная с самых маленьких.

За единицу длины примем сторону самого маленького треугольника.

Треугольники со стороной 1

Это самые маленькие треугольники, из которых состоит вся фигура. Если их посчитать, то получится 9 штук.

Треугольники со стороной 2

Каждый такой треугольник состоит из 4-х маленьких. В фигуре можно найти 3 таких треугольника, и все они направлены вершиной вверх.

Треугольники со стороной 3

Это самый большой треугольник, который является внешней границей всей фигуры. Он всего 1.

Общее количество

Теперь сложим количество треугольников всех размеров, чтобы получить итоговый результат:

$9 (\text{маленьких}) + 3 (\text{средних}) + 1 (\text{большой}) = 13$

Таким образом, на рисунке действительно 13 равносторонних треугольников.

Ответ: 13.

373 На клетчатой бумаге отмечены шесть точек (рис. 7.7).

а) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так, чтобы одной из вершин была точка A?

Подсказка. Всегда начинайте с известной вершины — точки A, две другие подбирайте так, чтобы получился равнобедренный треугольник.

б) Назовите точки, являющиеся вершинами прямоугольного треугольника. Сколько таких треугольников можно построить?

а) Сколько можно построить равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках так, чтобы одной из вершин была точка А?

Для решения задачи введем систему координат, приняв сторону одной клетки за единицу длины. Поместим точку D в начало координат D(0, 0). Тогда остальные точки будут иметь следующие координаты: E(2, 0), K(4, 0), B(1, 2), C(3, 2) и A(2, 4).

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Мы ищем треугольники, у которых одна из вершин — точка А. Такой треугольник будет равнобедренным, если либо две стороны, выходящие из вершины А, равны (А — вершина, противолежащая основанию), либо одна из сторон, выходящих из А, равна третьей стороне (А — вершина при основании).

Найдем квадраты расстояний от точки A до всех остальных точек по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

• $AB^2 = (1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$
• $AC^2 = (3 - 2)^2 + (2 - 4)^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$
• $AD^2 = (0 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$
• $AE^2 = (2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$
• $AK^2 = (4 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$

Теперь найдем все возможные равнобедренные треугольники с вершиной A:

1. Треугольники, где A — вершина, противолежащая основанию. Для этого нужно, чтобы две стороны, выходящие из A, были равны.
   • $AB^2 = AC^2 = 5$, следовательно $AB = AC$. Треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный.
   • $AD^2 = AK^2 = 20$, следовательно $AD = AK$. Треугольник $\triangle ADK$ — равнобедренный.
2. Треугольники, где A — вершина при основании. Для этого нужно, чтобы сторона, выходящая из А, была равна основанию.
   • Рассмотрим сторону AB ($AB^2=5$). Найдем точку P, такую что $BP^2 = 5$. Расстояние $BE^2 = (2-1)^2 + (0-2)^2 = 1+4=5$. Значит, $AB = BE$, и треугольник $\triangle ABE$ — равнобедренный.
   • Рассмотрим сторону AC ($AC^2=5$). Найдем точку P, такую что $CP^2 = 5$. Расстояние $CE^2 = (2-3)^2 + (0-2)^2 = 1+4=5$. Значит, $AC = CE$, и треугольник $\triangle ACE$ — равнобедренный.

Необходимо также проверить, не лежат ли вершины каких-либо из найденных "треугольников" на одной прямой. Например, точки A(2,4), B(1,2), D(0,0) лежат на одной прямой $y=2x$, поэтому они не образуют треугольник. Точно так же точки A(2,4), C(3,2), K(4,0) лежат на одной прямой $y=-2x+8$ и не образуют треугольник. Другие комбинации (ABC, ADK, ABE, ACE) образуют действительные треугольники.

Таким образом, мы нашли 4 равнобедренных треугольника с вершиной A: $\triangle ABC$, $\triangle ADK$, $\triangle ABE$, $\triangle ACE$.

Ответ: Можно построить 4 таких треугольника.

б) Назовите точки, являющиеся вершинами прямоугольного треугольника. Сколько таких треугольников можно построить?

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой ($90^\circ$). Такой треугольник можно найти, используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) или проверяя перпендикулярность сторон.

Используем координаты точек из пункта а): A(2, 4), B(1, 2), C(3, 2), D(0, 0), E(2, 0), K(4, 0).

Проверим, есть ли среди отрезков, соединяющих точки, вертикальные и горизонтальные.

• Отрезок AE соединяет точки A(2, 4) и E(2, 0). Так как у них одинаковая координата x=2, отрезок AE является вертикальным.
• Точки D(0, 0), E(2, 0) и K(4, 0) лежат на оси X, поэтому отрезки DE и EK являются горизонтальными.

Прямой угол образуется на пересечении вертикального и горизонтального отрезков.

• Треугольник $\triangle ADE$ имеет вертикальную сторону AE и горизонтальную сторону DE, которые пересекаются в точке E. Следовательно, $\angle AED = 90^\circ$, и $\triangle ADE$ — прямоугольный.
• Треугольник $\triangle AEK$ имеет вертикальную сторону AE и горизонтальную сторону EK, которые также пересекаются в точке E. Следовательно, $\angle AEK = 90^\circ$, и $\triangle AEK$ — прямоугольный.

Проверим эти выводы с помощью теоремы Пифагора, используя квадраты длин из пункта а) и рассчитав недостающие:

• Для $\triangle ADE$: $AE^2 = 16$, $DE^2 = (2-0)^2 + (0-0)^2 = 4$, $AD^2 = 20$. Верно, что $AE^2 + DE^2 = 16 + 4 = 20 = AD^2$.
• Для $\triangle AEK$: $AE^2 = 16$, $EK^2 = (4-2)^2 + (0-0)^2 = 4$, $AK^2 = 20$. Верно, что $AE^2 + EK^2 = 16 + 4 = 20 = AK^2$.

Других пар перпендикулярных отрезков среди данных точек нет.

Ответ: Вершинами прямоугольного треугольника являются точки A, D, E, а также точки A, E, K. Всего можно построить 2 таких треугольника.

374 У равностороннего треугольника все углы равны.

Попробуйте объяснить, почему это так.

Чтобы объяснить, почему у равностороннего треугольника все углы равны, необходимо вспомнить определение равностороннего треугольника и свойство равнобедренного треугольника.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, все его стороны равны между собой:

$AB = BC = CA$

Теперь воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, которое гласит, что углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ как равнобедренный, у которого равны стороны $AB$ и $BC$. Согласно свойству, углы, противолежащие этим сторонам, должны быть равны. Угол, противолежащий стороне $BC$, — это $\angle A$. Угол, противолежащий стороне $AB$, — это $\angle C$. Следовательно, мы получаем равенство: $\angle A = \angle C$.

2. Теперь рассмотрим тот же треугольник $ABC$ как равнобедренный, но уже со сторонами $BC$ и $CA$. Так как $BC = CA$, то углы, противолежащие этим сторонам, также равны. Угол, противолежащий стороне $CA$, — это $\angle B$. Угол, противолежащий стороне $BC$, — это $\angle A$. Отсюда следует равенство: $\angle B = \angle A$.

Объединив оба полученных результата, мы видим, что $\angle A = \angle C$ и в то же время $\angle A = \angle B$. Это означает, что все три угла равны между собой:

$\angle A = \angle B = \angle C$

Таким образом, мы доказали, что все углы равностороннего треугольника равны. Кроме того, зная, что сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$, можно найти величину каждого угла: $180^\circ \div 3 = 60^\circ$.

Ответ: Углы в равностороннем треугольнике равны, потому что его можно рассматривать как равнобедренный треугольник с любой из сторон в качестве основания. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Применяя это свойство последовательно к разным парам равных сторон, мы доказываем, что все три угла в равностороннем треугольнике равны между собой.

375 а) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 3 см и 4 см. Обозначьте его. Измерьте сторону, противолежащую прямому углу.

б) Начертите на нелинованной бумаге остроугольный треугольник и обозначьте его. Измерьте все его углы.

в) Начертите на нелинованной бумаге тупоугольный треугольник и обозначьте его. Измерьте и запишите величину тупого угла и длину наибольшей стороны треугольника.

а)

Чтобы начертить прямоугольный треугольник с заданными сторонами, образующими прямой угол (катетами), на нелинованной бумаге, потребуются линейка и угольник (или транспортир).

1. С помощью линейки начертим горизонтальный отрезок AC длиной 3 см.
2. В точке C приложим угольник так, чтобы одна его сторона совпала с отрезком AC. Вдоль другой стороны угольника проведём вверх отрезок CB длиной 4 см. Таким образом, угол $\angle C$ будет прямым ($90^\circ$).
3. Соединим точки A и B отрезком. Полученный треугольник ABC — прямоугольный с катетами AC = 3 см и BC = 4 см.

Далее измерим линейкой сторону, противолежащую прямому углу — гипотенузу AB. Приложив линейку к отрезку AB, мы увидим, что его длина составляет 5 см.

Правильность измерения можно проверить с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$): $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши значения:

$3^2 + 4^2 = c^2$

$9 + 16 = c^2$

$25 = c^2$

$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Расчет подтверждает результат измерения.

Ответ: Длина стороны, противолежащей прямому углу, равна 5 см.

б)

Остроугольным называется треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$). Для его построения можно выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный отрезок MN, например, длиной 6 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча MN в точке M острый угол, например, $\angle NMK = 70^\circ$. Провести луч MK.
3. От луча NM в точке N отложить другой острый угол, например, $\angle MNK = 50^\circ$. Провести луч NK.
4. Точка пересечения лучей MK и NK будет третьей вершиной треугольника — K.

Теперь измерим все углы полученного треугольника MNK с помощью транспортира. При измерении мы получим следующие значения (возможна небольшая погрешность):

• $\angle M = 70^\circ$
• $\angle N = 50^\circ$

Третий угол $\angle K$ также измерим транспортиром. Он будет равен примерно $60^\circ$. Проверим, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $70^\circ + 50^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Все углы ($70^\circ, 50^\circ, 60^\circ$) меньше $90^\circ$, следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: Величины углов будут зависеть от конкретного построенного треугольника. В качестве примера, углы могут быть равны $70^\circ$, $50^\circ$ и $60^\circ$.

в)

Тупоугольным называется треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$). Построим такой треугольник.

1. Начертим произвольный отрезок XY, например, длиной 5 см.
2. С помощью транспортира в точке Y отложим от луча YX тупой угол, например, $\angle XYZ = 120^\circ$. Проведем луч YZ.
3. На луче YZ отложим отрезок YZ произвольной длины, например, 3 см.
4. Соединим точки X и Z. Треугольник XYZ — тупоугольный.

Теперь измерим и запишем величину тупого угла и длину наибольшей стороны. В тупоугольном треугольнике наибольшая сторона всегда лежит напротив тупого угла.

• Измерение тупого угла: с помощью транспортира измеряем угол $\angle Y$. Его величина равна $120^\circ$.
• Измерение наибольшей стороны: наибольшей стороной является сторона XZ, лежащая напротив угла $\angle Y$. С помощью линейки измеряем её длину. Длина стороны XZ будет примерно 7 см.

Ответ: Величины тупого угла и длины наибольшей стороны зависят от конкретного построенного треугольника. В приведённом примере величина тупого угла составляет $120^\circ$, а длина наибольшей стороны — примерно 7 см.