Страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

394 Начертите в тетради квадрат и проведите одну его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона? Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?
Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ равна $d$. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. В этих треугольниках стороны квадрата являются катетами, а диагональ – гипотенузой.
Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Из этого уравнения находим длину диагонали:
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Поскольку значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.414$, что больше $1$, то и длина диагонали $d$ будет больше длины стороны $a$.
Другое объяснение заключается в том, что в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной, то есть она больше любого из катетов.
Ответ: Диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?
Каждый угол в квадрате равен $90^\circ$. Диагональ квадрата является биссектрисой его углов, то есть она делит угол, из которого выходит, на два равных угла.
Следовательно, угол между диагональю и стороной квадрата равен половине прямого угла:
$90^\circ / 2 = 45^\circ$
Ответ: Диагональ образует со сторонами квадрата углы, равные $45^\circ$.

Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?
Диагонали квадрата обладают следующими свойствами: они равны, в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны.
Докажем, что угол пересечения равен $90^\circ$. Две диагонали делят квадрат на четыре треугольника. Рассмотрим один из них, например, тот, который прилегает к одной из сторон квадрата. Пусть точка пересечения диагоналей - $O$, а две смежные вершины квадрата - $A$ и $B$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как половины диагоналей квадрата равны ($AO = BO$).
Углы при основании этого треугольника ($\angle OAB$ и $\angle OBA$) равны, и, как мы выяснили в предыдущем пункте, каждый из них равен $45^\circ$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $O$, который и является углом пересечения диагоналей:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, диагонали пересекаются под прямым углом.
Ответ: Диагонали квадрата пересекаются под углом $90^\circ$.

395. В прямоугольнике $ABCD$ провели диагонали (рис. $7.13$). Сколько получилось треугольников? Запишите их. Определите вид треугольников $ABC$, $ABO$, $BOC$.

Сколько получилось треугольников? Запишите их.

В прямоугольнике ABCD с проведенными диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O, образуется 8 треугольников. Четыре из них образуются в центре фигуры при пересечении диагоналей: $\triangle ABO$, $\triangle BCO$, $\triangle CDO$, $\triangle ADO$. Остальные четыре образуются сторонами прямоугольника и одной из диагоналей: $\triangle ABC$, $\triangle BCD$, $\triangle CDA$, $\triangle DAB$.

Ответ: 8 треугольников: ABO, BCO, CDO, ADO, ABC, BCD, CDA, DAB.

Определите вид треугольников ABC, ABO, BOC.

Треугольник ABC

По определению, все углы прямоугольника равны $90^\circ$. Угол $\angle ABC$ является одним из углов прямоугольника ABCD, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным.

Ответ: Треугольник ABC — прямоугольный.

Треугольник ABO

По свойству прямоугольника, его диагонали равны ($AC = BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, их половины также равны: $AO = OC = BO = OD$. В треугольнике ABO две стороны, $AO$ и $BO$, равны. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Ответ: Треугольник ABO — равнобедренный.

Треугольник BOC

Аналогично, в треугольнике BOC стороны $BO$ и $OC$ равны как половины равных диагоналей ($BO = OC$). Следовательно, треугольник BOC также является равнобедренным.

Ответ: Треугольник BOC — равнобедренный.

396 Равнобедренный треугольник $ABC$ (рис. 7.14) разрезали по прямой $BO$. Из получившихся равных прямоугольных треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте этот прямоугольник. Какой стороне треугольника равна диагональ прямоугольника?

7.14

Нарисуйте этот прямоугольник

Равнобедренный треугольник $ABC$ разрезается по высоте $BO$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$. Из рисунка на клетчатой бумаге видно, что катеты этих треугольников равны $AO = CO = 3$ клетки и $BO = 4$ клетки. Из двух таких одинаковых прямоугольных треугольников можно сложить прямоугольник, стороны которого будут равны катетам этих треугольников. Таким образом, получится прямоугольник со сторонами 3 и 4 клетки.

Ответ: На рисунке выше изображен прямоугольник со сторонами 3 и 4 единицы, сложенный из двух прямоугольных треугольников.

Какой стороне треугольника равна диагональ прямоугольника?

Прямоугольник составлен из двух прямоугольных треугольников ($\triangle ABO$ и $\triangle CBO$), у которых катеты равны $a = AO = 3$ и $b = BO = 4$. Стороны получившегося прямоугольника также равны $a$ и $b$.
Длину диагонали $d$ этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:$d^2 = a^2 + b^2$, следовательно, $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников, например $\triangle ABO$. Его катеты — это $AO$ и $BO$, а гипотенуза — это сторона $AB$ исходного треугольника. По теореме Пифагора для $\triangle ABO$:$AB^2 = AO^2 + BO^2$, следовательно, $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2}$.
Сравнивая выражения для длины диагонали прямоугольника $d$ и длины гипотенузы $AB$, мы видим, что они равны. Гипотенузы прямоугольных треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ являются боковыми сторонами $AB$ и $BC$ исходного равнобедренного треугольника $ABC$.
Следовательно, диагональ прямоугольника равна боковой стороне исходного треугольника.
Ответ: Диагональ прямоугольника равна боковой стороне $AB$ (или равной ей стороне $BC$) треугольника $ABC$.

397 На рисунке 7.15 изображены различные четырёхугольники. Назовите те из них, у которых диагонали:

а) равны;

б) в точке пересечения делятся пополам;

в) пересекаются под прямым углом;

г) равны и в точке пересечения делятся пополам;

д) равны и пересекаются под прямым углом;

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

прямоугольник

квадрат

равнобокая

трапеция

параллелограмм

ромб

Для решения задачи проанализируем свойства диагоналей каждой из изображенных фигур:

• Прямоугольник: диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.
• Квадрат: является частным случаем прямоугольника и ромба, поэтому его диагонали обладают всеми свойствами: они равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
• Равнобокая трапеция: диагонали равны, но в общем случае не делятся пополам в точке пересечения и не являются перпендикулярными.
• Параллелограмм: диагонали в точке пересечения делятся пополам. В общем случае они не равны и не перпендикулярны.
• Ромб: диагонали в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. В общем случае они не равны.

Исходя из этих свойств, найдём четырёхугольники, удовлетворяющие каждому условию.

а) равны;
Свойством равенства диагоналей обладают прямоугольник, квадрат и равнобокая трапеция.
Ответ: прямоугольник, квадрат, равнобокая трапеция.

б) в точке пересечения делятся пополам;
Это свойство характерно для всех видов параллелограммов, представленных на рисунке: прямоугольника, квадрата, самого параллелограмма и ромба.
Ответ: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб.

в) пересекаются под прямым углом;
Диагонали перпендикулярны (пересекаются под углом $90^\circ$) у ромба и квадрата.
Ответ: квадрат, ромб.

г) равны и в точке пересечения делятся пополам;
Это одновременное выполнение условий а) и б). Такими свойствами обладают прямоугольник и квадрат.
Ответ: прямоугольник, квадрат.

д) равны и пересекаются под прямым углом;
Это одновременное выполнение условий а) и в). Из всех фигур только у квадрата диагонали одновременно и равны, и перпендикулярны.
Ответ: квадрат.

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;
Это одновременное выполнение условий б) и в). Такими свойствами обладают ромб и квадрат.
Ответ: квадрат, ромб.

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.
Это одновременное выполнение всех трех условий: а), б) и в). Только диагонали квадрата обладают всеми перечисленными свойствами.
Ответ: квадрат.