Страница 124 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

412 Определите площади фигур, изображённых на рисунке 7.28, а–в.

1 кв. ед.

а

$7$ кв. ед.

б

$7$ кв. ед.

в

$6$ кв. ед.

7.28

Чтобы определить площадь каждой фигуры, необходимо сосчитать количество единичных квадратов, из которых она состоит. Площадь одного такого квадрата, согласно условию, равна 1 квадратной единице (кв. ед.).

а

Фигура а состоит из 7 единичных квадратов. Мы можем посчитать их, разбив фигуру на части: верхняя часть состоит из 3 квадратов, средняя — из 1 квадрата, и нижняя — из 3 квадратов.

Следовательно, площадь фигуры равна сумме квадратов: $S_а = 3 + 1 + 3 = 7$ кв. ед.

Ответ: 7 кв. ед.

б

Фигура б состоит из 7 единичных квадратов. Подсчитаем их по горизонтальным рядам: в верхнем ряду 2 квадрата, в трех средних рядах по 1 квадрату, и в нижнем ряду 2 квадрата.

Таким образом, общая площадь фигуры составляет: $S_б = 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7$ кв. ед.

Ответ: 7 кв. ед.

в

Фигура в состоит из 6 единичных квадратов. Сосчитаем их по рядам: в первом (верхнем) ряду 2 квадрата, во втором ряду также 2 квадрата, в третьем и четвертом рядах по 1 квадрату.

Следовательно, площадь фигуры равна: $S_в = 2 + 2 + 1 + 1 = 6$ кв. ед.

Ответ: 6 кв. ед.

413 Вырежьте из листа бумаги в клетку 8 одинаковых квадратов со стороной, равной 4 клеткам.

а) Сложите из этих квадратов какой-нибудь многоугольник. Чему равна его площадь, если один квадрат принять за квадратную единицу?

б) Сложите прямоугольник, площадь которого была бы равна 8 кв. ед. Сколько таких прямоугольников можно сложить? Каковы длины сторон каждого из этих прямоугольников?

а)

По условию задачи, мы составляем многоугольник из 8 одинаковых квадратов. Площадь одного такого квадрата принимается за одну квадратную единицу. Так как многоугольник состоит из 8 таких квадратов, его общая площадь будет равна сумме площадей этих квадратов, независимо от формы получившейся фигуры.

Площадь многоугольника ($S$) равна количеству квадратов, умноженному на площадь одного квадрата:

$S = 8 \times 1 \text{ кв. ед.} = 8 \text{ кв. ед.}$

Ответ: площадь многоугольника равна 8 квадратным единицам.

б)

Площадь прямоугольника равна 8 кв. ед. Это означает, что он должен быть сложен из всех 8 квадратов. Площадь прямоугольника находится по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. В данном случае единицей измерения длины является сторона одного квадрата.

Нам необходимо найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 8. Это и будут возможные длины сторон прямоугольников.

Разложим число 8 на множители:

• $8 = 1 \times 8$
• $8 = 2 \times 4$

Таким образом, мы можем составить два различных прямоугольника (прямоугольники со сторонами $1 \times 8$ и $8 \times 1$ считаются одинаковыми, так как один можно получить из другого поворотом).

1. Прямоугольник со сторонами 1 и 8.
2. Прямоугольник со сторонами 2 и 4.

Ответ: можно сложить 2 таких прямоугольника. Длины сторон одного прямоугольника равны 1 и 8, а другого — 2 и 4.

414 Выразите:

а) в квадратных сантиметрах: $7 \text{ дм}^2$, $12 \text{ дм}^2$, $400 \text{ мм}^2$;

б) в квадратных метрах: $1 \text{ км}^2$, $300 \text{ дм}^2$.

а)

Чтобы выразить заданные величины в квадратных сантиметрах (см²), необходимо знать следующие соотношения между единицами площади:

• В 1 дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), поэтому 1 квадратный дециметр равен $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$. Чтобы перевести дм² в см², нужно умножить на 100.
• В 1 сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), поэтому 1 квадратный сантиметр равен $10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$. Чтобы перевести мм² в см², нужно разделить на 100.

Выполним преобразования:

• $7 \text{ дм}^2 = 7 \times 100 \text{ см}^2 = 700 \text{ см}^2$
• $12 \text{ дм}^2 = 12 \times 100 \text{ см}^2 = 1200 \text{ см}^2$
• $400 \text{ мм}^2 = \frac{400}{100} \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$

Ответ: $700 \text{ см}^2$; $1200 \text{ см}^2$; $4 \text{ см}^2$.

б)

Чтобы выразить заданные величины в квадратных метрах (м²), необходимо знать следующие соотношения между единицами площади:

• В 1 километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), поэтому 1 квадратный километр равен $1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1,000,000 \text{ м}^2$. Чтобы перевести км² в м², нужно умножить на 1,000,000.
• В 1 метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$), поэтому 1 квадратный метр равен $10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$. Чтобы перевести дм² в м², нужно разделить на 100.

Выполним преобразования:

• $1 \text{ км}^2 = 1 \times 1,000,000 \text{ м}^2 = 1,000,000 \text{ м}^2$
• $300 \text{ дм}^2 = \frac{300}{100} \text{ м}^2 = 3 \text{ м}^2$

Ответ: $1,000,000 \text{ м}^2$; $3 \text{ м}^2$.

415 Пусть клетка изображает участок площадью $50 \text{ м}^2$. Изобразите прямоугольный участок площадью $9 \text{ а}$.

Для решения этой задачи необходимо сначала перевести площадь участка из аров (а) в квадратные метры (м²), чтобы единицы измерения совпадали.

1. Перевод единиц измерения.

Один ар (также называемый "сотка") равен 100 квадратным метрам. Таким образом, площадь участка в 9 аров составляет:

$9 \text{ а} = 9 \times 100 \text{ м}^2 = 900 \text{ м}^2$

2. Расчет количества клеток.

По условию, одна клетка изображает участок площадью 50 м². Чтобы найти, сколько клеток необходимо для изображения участка площадью 900 м², нужно общую площадь разделить на площадь одной клетки:

Количество клеток = $\frac{900 \text{ м}^2}{50 \text{ м}^2} = 18$

Следовательно, для изображения участка потребуется 18 клеток.

3. Изображение прямоугольного участка.

Нужно изобразить прямоугольник, состоящий из 18 клеток. Существует несколько вариантов размеров такого прямоугольника, так как 18 можно представить в виде произведения нескольких пар целых чисел:

• $1 \times 18$ (прямоугольник размером 1 клетка в ширину и 18 клеток в длину)
• $2 \times 9$ (прямоугольник размером 2 клетки в ширину и 9 клеток в длину)
• $3 \times 6$ (прямоугольник размером 3 клетки в ширину и 6 клеток в длину)

Любой из этих вариантов является верным изображением. Например, можно нарисовать прямоугольник 3 на 6 клеток:

Ответ: Необходимо изобразить прямоугольник, состоящий из 18 клеток. Возможные размеры прямоугольника: 1×18, 2×9 или 3×6 клеток.

416 Определите площади прямоугольников, изображённых на рисунке 7.29, а–г.

a

$1 \text{ см}^2$

б

б

$4000 \text{ см}^2$

из сторон

7.29

г

а

Для определения площади прямоугольника 'а', необходимо посчитать количество единичных квадратов, из которых он состоит. На рисунке показано, что площадь одного такого квадрата составляет $1 \text{ см}^2$. Прямоугольник состоит из 4 рядов по 3 квадрата в каждом. Таким образом, общее количество квадратов равно:

$4 \times 3 = 12$

Площадь всего прямоугольника равна произведению количества квадратов на площадь одного квадрата:

$S = 12 \times 1 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

б

Прямоугольник 'б' разделен метками на единичные квадраты, аналогичные тем, что в прямоугольнике 'а'. Ширина прямоугольника состоит из 2 единичных отрезков, а высота — из 3. Чтобы найти площадь, перемножим количество единичных отрезков по ширине и высоте:

$2 \times 3 = 6$

Это означает, что прямоугольник состоит из 6 единичных квадратов. Так как площадь одного квадрата равна $1 \text{ см}^2$, площадь прямоугольника 'б' составляет:

$S = 6 \times 1 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

в

Прямоугольник 'в' (являющийся квадратом) разделен метками. Его ширина состоит из 2 единичных отрезков, и высота также состоит из 2 единичных отрезков. Количество единичных квадратов внутри него равно:

$2 \times 2 = 4$

Площадь фигуры 'в' равна произведению количества квадратов на площадь одного квадрата:

$S = 4 \times 1 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$

Ответ: $4 \text{ см}^2$.

г

Прямоугольник 'г' разделен метками на единичные квадраты. Его ширина состоит из 3 единичных отрезков, а высота — из 2. Общее количество единичных квадратов внутри прямоугольника равно:

$3 \times 2 = 6$

Площадь прямоугольника 'г' равна:

$S = 6 \times 1 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

417 Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 25 см, а про другую известно, что она:

а) на 7 см меньше;

б) в 2 раза больше.

Для нахождения площади прямоугольника ($S$) необходимо знать длины двух его смежных сторон ($a$ и $b$). Площадь вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, одна из сторон равна 25 см.

а) Одна сторона $a = 25$ см. Другая сторона $b$ на 7 см меньше, следовательно:
$b = 25 - 7 = 18$ см.
Теперь найдем площадь прямоугольника:
$S = a \cdot b = 25 \cdot 18 = 450$ см².
Ответ: 450 см².

б) Одна сторона $a = 25$ см. Другая сторона $b$ в 2 раза больше, следовательно:
$b = 25 \cdot 2 = 50$ см.
Теперь найдем площадь прямоугольника:
$S = a \cdot b = 25 \cdot 50 = 1250$ см².
Ответ: 1250 см².

418 Размеры одного прямоугольного садового участка 22 м и 30 м, а другого — 32 м и 20 м. Какой из них больше?

Чтобы определить, какой из двух прямоугольных садовых участков больше по размеру, необходимо вычислить и сравнить их площади. Площадь прямоугольника находится по формуле, где его длина умножается на ширину: $S = a \times b$.

1. Вычислим площадь первого садового участка.

Его размеры составляют 22 м и 30 м. Подставим эти значения в формулу:

$S_1 = 22 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 660 \text{ м}^2$

Таким образом, площадь первого участка равна 660 квадратных метров.

2. Вычислим площадь второго садового участка.

Его размеры составляют 32 м и 20 м. Подставим эти значения в формулу:

$S_2 = 32 \text{ м} \times 20 \text{ м} = 640 \text{ м}^2$

Таким образом, площадь второго участка равна 640 квадратных метров.

3. Сравним площади двух участков.

Площадь первого участка – $660 \text{ м}^2$, а второго – $640 \text{ м}^2$.

Сравнивая эти два значения, мы видим, что $660 > 640$.

Это означает, что первый садовый участок больше второго.

Ответ: первый участок (размером 22 м на 30 м) больше.

419 Чему равна площадь прямоугольника со сторонами, равными 1 м и 40 см?

Выберите верный ответ.

1) $40 \text{ м}^2$

2) $280 \text{ см}^2$

3) $400 \text{ см}^2$

4) $4000 \text{ см}^2$

Для вычисления площади прямоугольника ($S$) необходимо умножить его длину ($a$) на ширину ($b$). Формула площади прямоугольника:

$S = a \cdot b$

Стороны прямоугольника даны в разных единицах измерения: $a = 1$ м и $b = 40$ см. Для корректного расчета необходимо привести их к одной единице измерения. Поскольку большинство вариантов ответа представлены в квадратных сантиметрах (см²), переведем метры в сантиметры.

В одном метре содержится 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Таким образом, стороны прямоугольника в сантиметрах равны:

$a = 100 \text{ см}$
$b = 40 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь:

$S = 100 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 4000 \text{ см}^2$

Полученное значение соответствует четвертому варианту ответа.

Ответ: 4) 4000 см²

420 Площадь прямоугольника равна $600\;м^2$, а одна из сторон равна:

а) $30\;м$;

б) $60\;м$;

в) $120\;м$.

Чему равна другая его сторона?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны. Чтобы найти одну из сторон, зная площадь и другую сторону, необходимо площадь разделить на длину известной стороны: $b = S / a$.

По условию, площадь прямоугольника $S = 600 \text{ м}^2$.

а) Если одна из сторон равна $30 \text{ м}$, то другая сторона равна:
$600 \text{ м}^2 / 30 \text{ м} = 20 \text{ м}$.
Ответ: $20 \text{ м}$.

б) Если одна из сторон равна $60 \text{ м}$, то другая сторона равна:
$600 \text{ м}^2 / 60 \text{ м} = 10 \text{ м}$.
Ответ: $10 \text{ м}$.

в) Если одна из сторон равна $120 \text{ м}$, то другая сторона равна:
$600 \text{ м}^2 / 120 \text{ м} = 5 \text{ м}$.
Ответ: $5 \text{ м}$.