Страница 131 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

436 Начертите отрезок длиной 18 клеток. Начертите отрезки, равные $ \frac{1}{9} $, $ \frac{4}{9} $, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{5}{6} $ данного отрезка.

По условию задачи, дан отрезок длиной 18 клеток. Чтобы найти длины отрезков, составляющих определенную часть от данного, необходимо длину исходного отрезка умножить на соответствующую дробь.

$\frac{1}{9}$

Найдем длину отрезка, равную $\frac{1}{9}$ от 18 клеток. Для этого мы умножаем 18 на $\frac{1}{9}$.

$18 \cdot \frac{1}{9} = \frac{18}{9} = 2$ (клетки).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 2 клетки.

Ответ: 2 клетки.

$\frac{4}{9}$

Найдем длину отрезка, равную $\frac{4}{9}$ от 18 клеток. Для этого мы умножаем 18 на $\frac{4}{9}$.

$18 \cdot \frac{4}{9} = \frac{18 \cdot 4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 8 клеток.

Ответ: 8 клеток.

$\frac{1}{3}$

Найдем длину отрезка, равную $\frac{1}{3}$ от 18 клеток. Для этого мы умножаем 18 на $\frac{1}{3}$.

$18 \cdot \frac{1}{3} = \frac{18}{3} = 6$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 6 клеток.

Ответ: 6 клеток.

$\frac{5}{6}$

Найдем длину отрезка, равную $\frac{5}{6}$ от 18 клеток. Для этого мы умножаем 18 на $\frac{5}{6}$.

$18 \cdot \frac{5}{6} = \frac{18 \cdot 5}{6} = 3 \cdot 5 = 15$ (клеток).

Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 15 клеток.

Ответ: 15 клеток.

437 a) Сколько сантиметров в дециметре? Какую часть дециметра составляет 1 см; 3 см?

б) Сколько граммов в килограмме? Какую часть килограмма составляет 1 г; 480 г?

в) Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 1 мин; 17 мин?

а) В одном дециметре содержится 10 сантиметров.
Чтобы определить, какую часть дециметра составляет некоторое количество сантиметров, нужно это количество разделить на общее число сантиметров в дециметре (10).
1 см составляет одну из десяти частей дециметра, то есть $ \frac{1}{10} $ дециметра.
3 см составляют три из десяти частей дециметра, то есть $ \frac{3}{10} $ дециметра.
Ответ: в дециметре 10 см; 1 см составляет $ \frac{1}{10} $ дециметра; 3 см составляют $ \frac{3}{10} $ дециметра.

б) В одном килограмме содержится 1000 граммов.
Чтобы определить, какую часть килограмма составляет некоторое количество граммов, нужно это количество разделить на общее число граммов в килограмме (1000).
1 г составляет одну из тысячи частей килограмма, то есть $ \frac{1}{1000} $ килограмма.
480 г составляют $ \frac{480}{1000} $ килограмма. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 40. Или можно сокращать поэтапно:
$ \frac{480}{1000} = \frac{48}{100} = \frac{12}{25} $
Ответ: в килограмме 1000 г; 1 г составляет $ \frac{1}{1000} $ килограмма; 480 г составляют $ \frac{12}{25} $ килограмма.

в) В одном часе содержится 60 минут.
Чтобы определить, какую часть часа составляет некоторое количество минут, нужно это количество разделить на общее число минут в часе (60).
1 мин составляет одну из шестидесяти частей часа, то есть $ \frac{1}{60} $ часа.
17 мин составляют $ \frac{17}{60} $ часа. Эта дробь является несократимой, так как число 17 — простое, и 60 не делится на 17 без остатка.
Ответ: в часе 60 мин; 1 мин составляет $ \frac{1}{60} $ часа; 17 мин составляют $ \frac{17}{60} $ часа.

438 У светофора остановились 10 автомашин: 2 из них грузовые, 5 легковых, остальные автобусы. Какую часть всех автомашин составляют грузовые автомашины; легковые автомашины; автобусы?

Для того чтобы определить, какую часть от общего числа составляют автомобили каждого вида, необходимо найти отношение количества автомобилей данного вида к общему количеству автомобилей, которое равно 10.

В задаче указано, что грузовых автомашин было 2. Чтобы найти, какую часть они составляют от всех 10 автомашин, составим дробь:
$ \frac{2}{10} $
Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5} $
Ответ: $ \frac{1}{5} $.

Количество легковых автомашин равно 5. Найдем их долю от общего числа:
$ \frac{5}{10} $
Сократим эту дробь на 5:
$ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

Сначала найдем количество автобусов. Для этого из общего числа автомашин (10) вычтем количество грузовых (2) и легковых (5) машин:
$ 10 - 2 - 5 = 3 $
Следовательно, у светофора остановилось 3 автобуса. Теперь найдем, какую часть они составляют от всех автомашин:
$ \frac{3}{10} $
Данная дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{3}{10} $.

439 a) Какую часть минуты составляет $1 \text{ с}$? Выразите в минутах $5 \text{ с}$; $23 \text{ с}$; $77 \text{ с}$.

б) Какую часть часа составляет $1 \text{ мин}$? Выразите в часах $17 \text{ мин}$; $91 \text{ мин}$.

а)

В одной минуте содержится 60 секунд. Поэтому 1 секунда составляет одну шестидесятую часть минуты.

$1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$

Чтобы выразить заданное количество секунд в минутах, нужно это количество умножить на $\frac{1}{60}$ (или разделить на 60).

Для 5 секунд:
$5 \text{ с} = \frac{5}{60} \text{ мин} = \frac{1}{12} \text{ мин}$

Для 23 секунд:
$23 \text{ с} = \frac{23}{60} \text{ мин}$

Для 77 секунд:
$77 \text{ с} = \frac{77}{60} \text{ мин} = 1 \frac{17}{60} \text{ мин}$

Ответ: 1 секунда составляет $\frac{1}{60}$ минуты. 5 с = $\frac{1}{12}$ мин; 23 с = $\frac{23}{60}$ мин; 77 с = $1 \frac{17}{60}$ мин.

б)

В одном часе содержится 60 минут. Поэтому 1 минута составляет одну шестидесятую часть часа.

$1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$

Чтобы выразить заданное количество минут в часах, нужно это количество умножить на $\frac{1}{60}$ (или разделить на 60).

Для 17 минут:
$17 \text{ мин} = \frac{17}{60} \text{ ч}$

Для 91 минуты:
$91 \text{ мин} = \frac{91}{60} \text{ ч} = 1 \frac{31}{60} \text{ ч}$

Ответ: 1 минута составляет $\frac{1}{60}$ часа. 17 мин = $\frac{17}{60}$ ч; 91 мин = $1 \frac{31}{60}$ ч.

440 Даны дроби: $ \frac{5}{6} $, $ \frac{2}{7} $, $ \frac{7}{2} $, $ \frac{4}{8} $, $ \frac{4}{3} $, $ \frac{2}{3} $, $ \frac{8}{9} $, $ \frac{9}{9} $, $ \frac{9}{8} $, $ \frac{2}{5} $, $ \frac{5}{4} $, $ \frac{4}{5} $, $ \frac{4}{4} $, $ \frac{10}{9} $.

Выпишите в одну строку все правильные дроби, в другую — все неправильные дроби.

Для решения этой задачи необходимо разделить все данные дроби на две группы: правильные и неправильные.

Все правильные дроби

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель (число над чертой) строго меньше знаменателя (числа под чертой). Иными словами, если дробь имеет вид $ \frac{a}{b} $, то она является правильной при условии $ a < b $.

Проанализируем данный список дробей и выберем те, которые соответствуют этому правилу:

$ \frac{5}{6} $ — правильная, так как $ 5 < 6 $.
$ \frac{2}{7} $ — правильная, так как $ 2 < 7 $.
$ \frac{4}{8} $ — правильная, так как $ 4 < 8 $.
$ \frac{2}{3} $ — правильная, так как $ 2 < 3 $.
$ \frac{8}{9} $ — правильная, так как $ 8 < 9 $.
$ \frac{2}{5} $ — правильная, так как $ 2 < 5 $.
$ \frac{4}{5} $ — правильная, так как $ 4 < 5 $.

Ответ: $ \frac{5}{6}, \frac{2}{7}, \frac{4}{8}, \frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} $.

Все неправильные дроби

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Иными словами, если дробь имеет вид $ \frac{a}{b} $, то она является неправильной при условии $ a \geq b $.

Теперь выберем из списка оставшиеся дроби, которые являются неправильными:

$ \frac{7}{2} $ — неправильная, так как $ 7 > 2 $.
$ \frac{4}{3} $ — неправильная, так как $ 4 > 3 $.
$ \frac{9}{9} $ — неправильная, так как $ 9 = 9 $.
$ \frac{9}{8} $ — неправильная, так как $ 9 > 8 $.
$ \frac{5}{4} $ — неправильная, так как $ 5 > 4 $.
$ \frac{4}{4} $ — неправильная, так как $ 4 = 4 $.
$ \frac{10}{9} $ — неправильная, так как $ 10 > 9 $.

Ответ: $ \frac{7}{2}, \frac{4}{3}, \frac{9}{9}, \frac{9}{8}, \frac{5}{4}, \frac{4}{4}, \frac{10}{9} $.

441 Начертите отрезок длиной 6 клеток. Начертите отрезки, равные $\frac{1}{6}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{3}$ этого отрезка.

8.5

Для решения задачи сначала начертим отрезок, длина которого составляет 6 клеток тетради. Этот отрезок будет служить основой для дальнейших построений.

Далее необходимо найти длины отрезков, которые составляют указанные части от исходного отрезка. Для этого мы умножаем длину исходного отрезка (6 клеток) на соответствующую дробь.

$\frac{1}{6}$
Чтобы найти длину отрезка, составляющего $\frac{1}{6}$ от исходного, нужно 6 клеток умножить на $\frac{1}{6}$:
$6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ клетка.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 1 клетка.
Ответ: 1 клетка.

$\frac{7}{6}$
Чтобы найти длину отрезка, составляющего $\frac{7}{6}$ от исходного, нужно 6 клеток умножить на $\frac{7}{6}$:
$6 \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot 7}{6} = 7$ клеток.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 7 клеток.
Ответ: 7 клеток.

$\frac{1}{3}$
Чтобы найти длину отрезка, составляющего $\frac{1}{3}$ от исходного, нужно 6 клеток умножить на $\frac{1}{3}$:
$6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ клетки.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 2 клетки.
Ответ: 2 клетки.

$\frac{5}{3}$
Чтобы найти длину отрезка, составляющего $\frac{5}{3}$ от исходного, нужно 6 клеток умножить на $\frac{5}{3}$:
$6 \cdot \frac{5}{3} = \frac{6 \cdot 5}{3} = \frac{30}{3} = 10$ клеток.
Следовательно, нужно начертить отрезок длиной 10 клеток.
Ответ: 10 клеток.

442 а) Отрезок на рисунке 8.5 изображает 1 км.

Начертите отрезки, соответствующие $\frac{3}{8}$ км; $\frac{9}{8}$ км; $\frac{3}{4}$ км; $\frac{7}{4}$ км.

б) На рисунке 8.6 показан отрезок, соответствующий $\frac{2}{3}$ ч. Постройте отрезки, соответствующие $\frac{1}{3}$ ч; 1 ч; $\frac{4}{3}$ ч.

1 км

8.5

$\frac{2}{3}$ ч

8.6

а)

На рисунке 8.5 отрезок, изображающий 1 км, имеет длину 8 клеток. Это означает, что одна клетка на этом рисунке представляет расстояние в $\frac{1}{8}$ км.

Чтобы начертить требуемые отрезки, вычислим их длину в клетках:

- Для $\frac{3}{8}$ км: нужно взять 3 части по $\frac{1}{8}$ км, что соответствует отрезку длиной в 3 клетки.

- Для $\frac{9}{8}$ км: нужно взять 9 частей по $\frac{1}{8}$ км, что соответствует отрезку длиной в 9 клеток.

- Для $\frac{3}{4}$ км: сначала преобразуем дробь, чтобы знаменатель был равен 8. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$. Следовательно, этот отрезок соответствует 6 частям по $\frac{1}{8}$ км, и его длина равна 6 клеткам.

- Для $\frac{7}{4}$ км: преобразуем дробь: $\frac{7}{4} = \frac{7 \times 2}{4 \times 2} = \frac{14}{8}$. Длина этого отрезка составит 14 клеток.

Ответ: нужно начертить отрезки длиной 3, 9, 6 и 14 клеток.

б)

На рисунке 8.6 показан отрезок, который соответствует $\frac{2}{3}$ часа (ч) и имеет длину 4 клетки.

Сначала определим, какая длина в клетках соответствует $\frac{1}{3}$ часа. Если 4 клетки — это $\frac{2}{3}$ часа, то $\frac{1}{3}$ часа (в два раза меньший промежуток времени) будет соответствовать отрезку вдвое короче: $4 \div 2 = 2$ клетки.

Теперь, используя эту единичную меру (2 клетки = $\frac{1}{3}$ ч), построим требуемые отрезки:

- Для $\frac{1}{3}$ ч: длина отрезка составляет 2 клетки.

- Для 1 ч: 1 час равен $3 \times \frac{1}{3}$ часа. Следовательно, его длина будет в три раза больше, чем для $\frac{1}{3}$ часа: $2 \times 3 = 6$ клеток. Длина отрезка — 6 клеток.

- Для $\frac{4}{3}$ ч: этот промежуток времени равен $4 \times \frac{1}{3}$ часа. Следовательно, его длина будет в четыре раза больше, чем для $\frac{1}{3}$ часа: $2 \times 4 = 8$ клеток. Длина отрезка — 8 клеток.

Ответ: нужно построить отрезки длиной 2, 6 и 8 клеток.

443 Какие числа можно подставить вместо буквы $k$, чтобы дробь $\frac{k}{3}$ была:

а) правильной;

б) неправильной?

а) правильной

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В дроби $\frac{k}{3}$ числителем является $k$, а знаменателем — число 3. Чтобы дробь была правильной, числитель $k$ должен быть меньше знаменателя 3.

Это условие можно записать в виде неравенства: $k < 3$.

Поскольку в качестве числителя дроби, как правило, рассматриваются натуральные числа (целые положительные числа), то нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству. Такими числами являются 1 и 2.

При $k = 1$ получаем дробь $\frac{1}{3}$, она правильная. При $k = 2$ получаем дробь $\frac{2}{3}$, она также правильная.

Ответ: 1, 2.

б) неправильной

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Для дроби $\frac{k}{3}$ это означает, что числитель $k$ должен быть больше или равен знаменателю 3.

Запишем это условие в виде неравенства: $k \ge 3$.

Этому неравенству удовлетворяют все натуральные числа, начиная с 3: 3, 4, 5, 6, и так далее.

Например, при $k = 3$ получаем дробь $\frac{3}{3}$, она неправильная ($3 = 3$). При $k = 4$ получаем дробь $\frac{4}{3}$, она неправильная ($4 > 3$).

Ответ: любое натуральное число $k$, такое что $k \ge 3$.

444 Подставьте в дробь $ \frac{a}{b} $ вместо букв a и b всеми возможными способами числа от 1 до 6 так, чтобы полученные дроби были правильными.

Для решения данной задачи необходимо в дробь $ \frac{a}{b} $ подставить вместо $a$ (числитель) и $b$ (знаменатель) все возможные числа от 1 до 6 так, чтобы полученная дробь была правильной.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель строго меньше знаменателя. Математически это записывается как $ a < b $. Также, по определению дроби, знаменатель не может быть равен нулю ($b \neq 0$), что в нашем случае выполняется, так как мы используем числа от 1 до 6.

Чтобы найти все возможные варианты, мы можем последовательно перебрать все возможные значения для знаменателя $b$ и для каждого из них подобрать все допустимые значения для числителя $a$ из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

- При $b=1$: Условие $ a < 1 $ не выполняется ни для одного числа $a$ из заданного набора.

- При $b=2$: Условию $ a < 2 $ удовлетворяет $a=1$. Получаем дробь: $ \frac{1}{2} $.

- При $b=3$: Условию $ a < 3 $ удовлетворяют $a=1$ и $a=2$. Получаем дроби: $ \frac{1}{3}, \frac{2}{3} $.

- При $b=4$: Условию $ a < 4 $ удовлетворяют $a=1, 2, 3$. Получаем дроби: $ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} $.

- При $b=5$: Условию $ a < 5 $ удовлетворяют $a=1, 2, 3, 4$. Получаем дроби: $ \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5} $.

- При $b=6$: Условию $ a < 6 $ удовлетворяют $a=1, 2, 3, 4, 5$. Получаем дроби: $ \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6} $.

Объединив все найденные дроби, получаем итоговый список.

Ответ: $ \frac{1}{2}; \frac{1}{3}, \frac{2}{3}; \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}; \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}; \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6} $.