Страница 125 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

421 a) Проведите необходимые измерения и найдите площадь: тетрадного листа, крышки стола, классной доски, классной комнаты, спортивной площадки.

б) Что больше: площадь классной доски или $1\ м^2$; площадь классной комнаты или 1 сотка; площадь спортивной площадки или 1 гектар?

$1\ a = 100\ м^2$

$1\ га = 100\ a = 10\ 000\ м^2$

а) Для нахождения площади объектов, имеющих прямоугольную форму, необходимо измерить их длину и ширину, а затем вычислить их произведение по формуле $S = a \times b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Поскольку реальные измерения в данном случае невозможны, ниже приведены расчеты с использованием примерных стандартных размеров.

Тетрадный лист

Примем размеры стандартного школьного тетрадного листа равными 20,5 см (длина) и 16,5 см (ширина).

Переведем сантиметры в метры: $a = 20,5 \text{ см} = 0,205 \text{ м}$; $b = 16,5 \text{ см} = 0,165 \text{ м}$.

Площадь: $S = 0,205 \text{ м} \times 0,165 \text{ м} = 0,033825 \text{ м}^2$.

Крышка стола

Размеры крышки стандартной школьной парты примем за 1,2 м (длина) и 0,5 м (ширина).

Площадь: $S = 1,2 \text{ м} \times 0,5 \text{ м} = 0,6 \text{ м}^2$.

Классная доска

Примерные размеры классной доски: 3 м (длина) и 1,2 м (ширина).

Площадь: $S = 3 \text{ м} \times 1,2 \text{ м} = 3,6 \text{ м}^2$.

Классная комната

Типичные размеры классной комнаты: 8 м (длина) и 6 м (ширина).

Площадь: $S = 8 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$.

Спортивная площадка

Размеры небольшой школьной спортивной площадки могут быть, например, 40 м в длину и 20 м в ширину.

Площадь: $S = 40 \text{ м} \times 20 \text{ м} = 800 \text{ м}^2$.

Ответ: Площади объектов зависят от их реальных размеров. В приведенных примерах: площадь тетрадного листа ≈ 0,034 м², крышки стола ≈ 0,6 м², классной доски ≈ 3,6 м², классной комнаты ≈ 48 м², спортивной площадки ≈ 800 м².

б) Для сравнения площадей воспользуемся результатами, полученными в пункте а), и справочными данными из условия задачи: 1 сотка (ар) = 100 м², 1 гектар = 10 000 м².

Что больше: площадь классной доски или 1 м²?

Примерная площадь классной доски составляет 3,6 м². Сравниваем эту величину с 1 м².

$3,6 \text{ м}^2 > 1 \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь классной доски больше, чем 1 м².

Что больше: площадь классной комнаты или 1 сотка?

Примерная площадь классной комнаты составляет 48 м². 1 сотка равна 100 м².

$48 \text{ м}^2 < 100 \text{ м}^2$.

Ответ: 1 сотка больше, чем площадь классной комнаты.

Что больше: площадь спортивной площадки или 1 гектар?

Примерная площадь спортивной площадки составляет 800 м². 1 гектар равен 10 000 м².

$800 \text{ м}^2 < 10 000 \text{ м}^2$.

Ответ: 1 гектар больше, чем площадь спортивной площадки.

422 а) У прямоугольного участка земли ширина 25 м, а длина 60 м. Какова площадь участка? Ответ выразите в сотках.

б) Поле имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 380 м. Какова площадь поля? Ответ выразите в гектарах.

а)

Для нахождения площади прямоугольного участка необходимо умножить его длину на ширину. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.
Подставим данные из условия задачи:
$S = 60 \, м \cdot 25 \, м = 1500 \, м^2$.
Для того чтобы выразить площадь в сотках, нужно знать, что одна сотка равна 100 квадратным метрам ($1 \, сотка = 100 \, м^2$).
Разделим полученную площадь в квадратных метрах на 100:
$1500 \, м^2 : 100 \, м^2/сотка = 15 \, соток$.
Ответ: 15 соток.

б)

Площадь прямоугольного поля вычисляется аналогично, умножением длин его сторон.
$S = 500 \, м \cdot 380 \, м = 190000 \, м^2$.
Чтобы выразить площадь в гектарах, необходимо знать, что один гектар равен 10 000 квадратных метров ($1 \, га = 10000 \, м^2$).
Разделим полученную площадь в квадратных метрах на 10 000:
$190000 \, м^2 : 10000 \, м^2/га = 19 \, га$.
Ответ: 19 га.

423 Многоугольники на рисунке 7.30, а-б разбиты на два прямоугольника. Вычислите площадь каждого многоугольника. Перенесите один из них в тетрадь и покажите, как ещё можно разбить этот многоугольник на прямоугольники.

7.30

1 см

Для решения задачи примем, что одно деление (отрезок между рисками) на сторонах многоугольников равно 1 см, как указано на рисунке.

Многоугольник 'а' разбит на два прямоугольника вертикальной линией.

1. Вычисление площади.

• Левый прямоугольник имеет стороны 3 см и 2 см. Его площадь $S_1$ равна произведению сторон:
  $S_1 = 3 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$
• Правый прямоугольник имеет стороны 1 см и 4 см. Его площадь $S_2$ равна:
  $S_2 = 1 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$

Общая площадь многоугольника 'а' ($S_a$) — это сумма площадей двух прямоугольников:

$S_a = S_1 + S_2 = 6 \text{ см}^2 + 4 \text{ см}^2 = 10 \text{ см}^2$

2. Другой способ разбиения.

Этот многоугольник можно разбить на два прямоугольника, проведя горизонтальную линию. В этом случае мы получим:

• Верхний прямоугольник со сторонами 4 см (3 см + 1 см) и 2 см. Его площадь будет $4 \times 2 = 8 \text{ см}^2$.
• Нижний прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см (4 см - 2 см). Его площадь будет $1 \times 2 = 2 \text{ см}^2$.

Сумма площадей при таком разбиении также равна $8 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 = 10 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь многоугольника 'а' равна $10 \text{ см}^2$.

Многоугольник 'б' также разбит на два прямоугольника вертикальной линией.

1. Вычисление площади.

• Левый прямоугольник имеет стороны 2 см и 4 см. Его площадь $S_1$ равна:
  $S_1 = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$
• Правый прямоугольник является квадратом со сторонами 2 см и 2 см. Его площадь $S_2$ равна:
  $S_2 = 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$

Общая площадь многоугольника 'б' ($S_б$) — это сумма площадей двух частей:

$S_б = S_1 + S_2 = 8 \text{ см}^2 + 4 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$

2. Другой способ разбиения.

Этот многоугольник можно разбить на два прямоугольника, проведя горизонтальную линию. В этом случае мы получим:

• Верхний прямоугольник со сторонами 2 см и 2 см (4 см - 2 см). Его площадь будет $2 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.
• Нижний прямоугольник со сторонами 4 см (2 см + 2 см) и 2 см. Его площадь будет $4 \times 2 = 8 \text{ см}^2$.

Сумма площадей при таком разбиении также равна $4 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь многоугольника 'б' равна $12 \text{ см}^2$.

424 На рисунке 7.31 закрашенная часть квадрата — тоже квадрат. Найдите его площадь. Начертите квадрат, площадь которого равна $8 \text{ кв. ед.}$.

$2 \text{ ед.}$

Найдите его площадь.

Сторона большого квадрата, согласно рисунку, равна $a = 2$ ед. Вершины закрашенного квадрата расположены на серединах сторон большого квадрата. Это означает, что диагонали закрашенного квадрата равны по длине стороне внешнего квадрата. Пусть $d$ — диагональ закрашенного квадрата, тогда $d = a = 2$ ед. Площадь квадрата можно вычислить по формуле через его диагональ: $S = \frac{d^2}{2}$. Подставив значение диагонали, получим площадь закрашенного квадрата: $S_{закраш.} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ кв. ед.

Ответ: 2 кв. ед.

Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.

Чтобы начертить квадрат с площадью $S = 8$ кв. ед., найдем его диагональ $d$. Используя формулу площади квадрата через диагональ $S = \frac{d^2}{2}$, получаем: $8 = \frac{d^2}{2}$. Отсюда $d^2 = 16$, и, следовательно, длина диагонали $d = \sqrt{16} = 4$ ед. Таким образом, необходимо построить квадрат с диагональю 4 ед. Это можно сделать, вписав его во вспомогательный квадрат со стороной 4 ед.
Порядок построения:
1. Начертите вспомогательный квадрат со стороной 4 ед. (например, 8 тетрадных клеток).
2. Отметьте середины каждой из его четырех сторон.
3. Соедините эти точки последовательно отрезками.
Полученный внутренний квадрат будет искомым, так как его диагонали равны 4 ед., а площадь — 8 кв. ед.

Ответ: Чертеж квадрата, вписанного во вспомогательный квадрат со стороной 4 ед., представлен выше.

425 Начертите в тетради круг радиусом 3 см. Оцените площадь круга в квадратных сантиметрах. С помощью квадратной сетки попытайтесь оценить эту площадь более точно.

Для решения задачи сначала нужно выполнить построение, а затем провести оценку площади двумя способами.

1. Построение

Возьмите тетрадь в клетку, линейку и циркуль. Стандартный размер клетки в тетради — 0,5 см × 0,5 см. Таким образом, радиус круга в 3 см будет равен 6 клеткам. Установите раствор циркуля на 6 клеток (3 см), поставьте острие в точку пересечения линий сетки и начертите круг.

Оцените площадь круга в квадратных сантиметрах

Для грубой оценки площади сравним ее с площадями описанного и вписанного квадратов.

• Радиус круга $r = 3$ см, значит, его диаметр $d = 2r = 6$ см.
• Круг можно поместить внутрь квадрата со стороной, равной диаметру, то есть 6 см. Площадь этого описанного квадрата равна: $S_{описанного} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.
• Внутрь круга можно вписать квадрат, диагональ которого будет равна диаметру круга (6 см). Площадь вписанного квадрата равна половине произведения его диагоналей: $S_{вписанного} = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} \times 6^2 = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь круга $S_{круга}$ находится между площадями этих двух квадратов.

$18 \text{ см}^2 < S_{круга} < 36 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь круга больше 18 см² и меньше 36 см².

С помощью квадратной сетки попытайтесь оценить эту площадь более точно

Для более точного расчета воспользуемся начерченным на сетке кругом. Площадь одной клетки составляет $0,5 \text{ см} \times 0,5 \text{ см} = 0,25 \text{ см}^2$.

Метод оценки заключается в подсчете клеток:

1. Подсчитайте количество клеток, которые находятся полностью внутри круга. Обозначим это число $N_{полных}$. При аккуратном подсчете на вашем чертеже это число будет около 96.
2. Подсчитайте количество клеток, через которые проходит линия окружности (частично заполненные клетки). Обозначим их число $N_{частичных}$. Их будет примерно 32.

Принято считать, что частично заполненные клетки в среднем заполнены наполовину. Тогда общую площадь можно оценить по формуле:

$S_{круга} \approx (N_{полных} + \frac{1}{2} N_{частичных}) \times S_{клетки}$

Подставим наши значения:

$S_{круга} \approx (96 + \frac{1}{2} \times 32) \times 0,25 = (96 + 16) \times 0,25 = 112 \times 0,25 = 28 \text{ см}^2$.

Для справки: точная площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Для радиуса 3 см, точная площадь равна $S = \pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28,27 \text{ см}^2$. Как видим, наша оценка в 28 см² очень близка к точному значению. Ваши числа при подсчете могут немного отличаться, но итоговый результат должен быть близок к этому значению.

Ответ: Более точная оценка площади круга составляет примерно 28 см².

426 a) Периметр прямоугольника равен 30 см, одна из его сторон в 4 раза больше другой. Найдите площадь этого прямоугольника.

б) Периметр прямоугольника равен 28 см, одна из его сторон на 2 см больше другой. Найдите площадь этого прямоугольника.

а) Обозначим одну сторону прямоугольника как $x$ см. По условию, другая сторона в 4 раза больше, следовательно, она равна $4x$ см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его стороны. Подставим наши значения в формулу:
$P = 2(x + 4x) = 30$
$2(5x) = 30$
$10x = 30$
$x = \frac{30}{10}$
$x = 3$ (см)
Таким образом, меньшая сторона равна 3 см. Найдем большую сторону:
$4x = 4 \times 3 = 12$ (см)
Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его сторон:
$S = 3 \times 12 = 36$ (см²).
Ответ: 36 см².

б) Обозначим одну сторону прямоугольника как $y$ см. По условию, другая сторона на 2 см больше, следовательно, она равна $(y+2)$ см.
Используем формулу периметра прямоугольника $P = 2(a+b)$:
$P = 2(y + (y+2)) = 28$
$2(2y + 2) = 28$
$4y + 4 = 28$
$4y = 28 - 4$
$4y = 24$
$y = \frac{24}{4}$
$y = 6$ (см)
Таким образом, меньшая сторона равна 6 см. Найдем большую сторону:
$y + 2 = 6 + 2 = 8$ (см)
Теперь вычислим площадь прямоугольника ($S$):
$S = 6 \times 8 = 48$ (см²).
Ответ: 48 см².

427 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

1) Площадь прямоугольника равна $36 \text{ см}^2$. Какими могут быть длины его сторон, если они выражены в сантиметрах? Рассмотрите все возможные варианты.

2) Для каждого варианта длин сторон вычислите периметр прямоугольника. Какой из этих прямоугольников имеет наименьший периметр?

1) Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$. По условию, $S = 36 \text{ см}^2$. Нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 36. Эти пары будут соответствовать возможным длинам сторон прямоугольника в сантиметрах.
Найдем все делители числа 36:
• $1 \cdot 36 = 36$. Стороны: 1 см и 36 см.
• $2 \cdot 18 = 36$. Стороны: 2 см и 18 см.
• $3 \cdot 12 = 36$. Стороны: 3 см и 12 см.
• $4 \cdot 9 = 36$. Стороны: 4 см и 9 см.
• $6 \cdot 6 = 36$. Стороны: 6 см и 6 см.
Ответ: Длины сторон прямоугольника могут быть следующими: 1 см и 36 см; 2 см и 18 см; 3 см и 12 см; 4 см и 9 см; 6 см и 6 см.

2) Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Вычислим периметр для каждого из найденных вариантов длин сторон.
• Для сторон 1 см и 36 см: $P = 2 \cdot (1 + 36) = 2 \cdot 37 = 74$ см.
• Для сторон 2 см и 18 см: $P = 2 \cdot (2 + 18) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
• Для сторон 3 см и 12 см: $P = 2 \cdot (3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30$ см.
• Для сторон 4 см и 9 см: $P = 2 \cdot (4 + 9) = 2 \cdot 13 = 26$ см.
• Для сторон 6 см и 6 см: $P = 2 \cdot (6 + 6) = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Сравнивая полученные значения (74 см, 40 см, 30 см, 26 см, 24 см), видим, что наименьший периметр равен 24 см. Он соответствует прямоугольнику со сторонами 6 см и 6 см, то есть квадрату.
Ответ: Наименьший периметр имеет прямоугольник со сторонами 6 см и 6 см, его периметр равен 24 см.