Страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

404 1) Возьмите квадрат и проведите его диагонали. Разрежьте квадрат по диагоналям. Какие фигуры вы получили? Равны ли они?

2) Сложите из получившихся частей квадрата (без наложений и щелей) следующие фигуры и зарисуйте их:

а) два квадрата;

б) прямоугольник;

в) треугольник;

г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником;

д) шестиугольник.

1)

Если взять квадрат и разрезать его по двум диагоналям, мы получим четыре треугольника. Рассмотрим свойства этих треугольников. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

• Так как диагонали перпендикулярны, то все четыре треугольника являются прямоугольными (угол при вершине в центре квадрата равен $90^\circ$).
• Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны между собой, то катеты каждого треугольника равны (они равны половине диагонали). Следовательно, все треугольники равнобедренные.
• Углы при основании каждого треугольника равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$, что также следует из того, что диагонали являются биссектрисами прямых углов квадрата.

Таким образом, мы получили четыре одинаковых (равных) прямоугольных равнобедренных треугольника. Равенство треугольников можно доказать по двум катетам (первый признак равенства треугольников), так как катеты всех четырех треугольников равны половине диагонали квадрата.

Ответ: Получились четыре равных между собой прямоугольных равнобедренных треугольника.

2)

Из четырех полученных равных прямоугольных равнобедренных треугольников можно сложить следующие фигуры (ниже приведены примеры возможных конфигураций).

а) два квадрата

Чтобы сложить один квадрат, нужно взять два треугольника и соединить их по гипотенузе (самой длинной стороне). Повторив это с оставшимися двумя треугольниками, мы получим второй такой же квадрат.

Ответ: одна из возможных конфигураций показана на рисунке.

б) прямоугольник

Можно сложить два квадрата, как в пункте а), а затем приложить их друг к другу сторонами. В результате получится прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой.

Ответ: одна из возможных конфигураций показана на рисунке.

в) треугольник

Можно составить один большой прямоугольный равнобедренный треугольник, который подобен исходным четырем частям. Его катеты будут в два раза длиннее катетов маленьких треугольников.

Ответ: одна из возможных конфигураций показана на рисунке.

г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником

Можно составить, например, равнобедренную трапецию. Для этого нужно расположить два треугольника по бокам от квадрата, составленного из двух других треугольников.

Ответ: одна из возможных конфигураций (равнобедренная трапеция) показана на рисунке.

д) шестиугольник

Можно сложить невыпуклый шестиугольник. Например, составив из трех треугольников фигуру в виде буквы "Г", и приставив четвертый треугольник к ее основанию.

Ответ: одна из возможных конфигураций (невыпуклый шестиугольник) показана на рисунке.

405 Начертите в тетради прямоугольник и разрежьте его:

а) на две равные части прямой линией;

б) на четыре равные части двумя прямыми линиями.

Указание. Предложите несколько разных способов.

7.22

а) Чтобы разрезать прямоугольник на две равные (то есть имеющие одинаковую площадь) части одной прямой линией, необходимо, чтобы эта линия проходила через центр симметрии прямоугольника. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Любая такая прямая разделит площадь прямоугольника пополам.

Рассмотрим несколько самых простых способов:

1. Провести среднюю линию. Средняя линия прямоугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его противоположных сторон. Если провести такую линию, она разделит исходный прямоугольник на два абсолютно одинаковых (конгруэнтных) прямоугольника меньшего размера. Площадь каждого из них будет ровно в два раза меньше площади исходного.

2. Провести диагональ. Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. Если провести диагональ, она разделит прямоугольник на два равных (конгруэнтных) прямоугольных треугольника. Площадь каждого из этих треугольников будет равна половине площади исходного прямоугольника.

Ответ: Чтобы разрезать прямоугольник на две равные части одной прямой, можно провести линию, соединяющую середины противоположных сторон (среднюю линию), или провести диагональ. В общем виде, любая прямая, проходящая через центр прямоугольника, разделит его на две равные по площади части.

б) Чтобы разрезать прямоугольник на четыре равные части двумя прямыми линиями, также существует несколько способов. Площадь каждой из четырех частей должна быть равна четверти площади исходного прямоугольника $S$, то есть $S/4$.

1. Провести две средние линии. Одна средняя линия соединяет середины одной пары противоположных сторон, а вторая — середины другой пары. Эти две линии взаимно перпендикулярны и пересекаются в центре прямоугольника. Они разделят исходный прямоугольник на четыре равных (конгруэнтных) прямоугольника, площадь каждого из которых будет равна $S/4$.

2. Провести две диагонали. Две диагонали прямоугольника пересекаются в его центре и делят его на четыре треугольника. Все четыре треугольника имеют равную площадь $S/4$. Треугольники, расположенные напротив друг друга (через центр), будут попарно конгруэнтны.

3. Провести две любые перпендикулярные прямые через центр. Если через центр симметрии прямоугольника провести две любые взаимно перпендикулярные прямые, они разделят прямоугольник на четыре равные (конгруэнтные) фигуры. Способ с двумя средними линиями является частным случаем этого метода, когда проведенные прямые параллельны сторонам прямоугольника.

Ответ: Чтобы разрезать прямоугольник на четыре равные части двумя прямыми линиями, можно: 1) провести две его средние линии; 2) провести обе его диагонали; 3) провести через его центр две любые взаимно перпендикулярные прямые.

СКЛАДЫВАЕМ ИЗ РАВНЫХ ФИГУР

406

1) Вырежьте из бумаги четыре равносторонних треугольника, равные треугольнику, изображённому на рисунке 7.22. Сложите из них:

а) треугольник;

б) четырёхугольник.

2) Вырежьте из бумаги четыре равных квадрата со стороной 3 см. Сложите из них:

а) квадрат;

б) прямоугольник.

3) Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх квадратов сложите многоугольник, как показано на рисунке 7.23.

1) а) треугольник;

Чтобы из четырёх равных равносторонних треугольников сложить один большой треугольник, необходимо расположить три треугольника основаниями в ряд. Они образуют трапецию. Четвёртый треугольник нужно поместить сверху, перевернув его вершиной вниз, так, чтобы он заполнил пустое пространство над центральным треугольником. В результате получится новый равносторонний треугольник, сторона которого в два раза длиннее стороны исходного.

Ответ: Получится равносторонний треугольник, состоящий из четырёх меньших треугольников.

1) б) четырёхугольник.

Чтобы из четырёх равных равносторонних треугольников сложить четырёхугольник, нужно сначала составить ромб из двух треугольников, приложив их друг к другу по одной стороне. Затем к двум противоположным сторонам получившегося ромба следует приложить оставшиеся два треугольника. В результате получится новый, больший ромб, который является четырёхугольником.

Ответ: Получится ромб, состоящий из четырёх равносторонних треугольников.

2) а) квадрат;

Чтобы из четырёх равных квадратов со стороной 3 см сложить один большой квадрат, их нужно расположить вплотную друг к другу в виде сетки 2x2. Получится новый квадрат, сторона которого будет равна сумме длин сторон двух исходных квадратов: $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Получится квадрат со стороной 6 см.

2) б) прямоугольник.

Чтобы из четырёх равных квадратов со стороной 3 см сложить прямоугольник, необходимо расположить все четыре квадрата в один ряд, прикладывая их друг к другу сторонами. В результате получится прямоугольник, одна сторона которого равна стороне исходного квадрата (3 см), а другая — сумме длин сторон четырёх квадратов: $4 \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: Получится прямоугольник со сторонами 3 см и 12 см.

3) Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх квадратов сложите многоугольник, как показано на рисунке 7.23.

Для сборки многоугольника, показанного на рисунке, используются четыре равносторонних треугольника и четыре квадрата со стороной 3 см. Предполагается, что сторона треугольника также равна 3 см. Сборка происходит следующим образом: четыре треугольника располагаются так, чтобы по одной вершине от каждого сходились в одной центральной точке, а их боковые стороны соприкасались. Затем к основанию каждого треугольника (его внешней стороне) прикладывается по одному квадрату. В результате будет собран многоугольник, изображённый на рисунке.

Ответ: Многоугольник собирается путём расположения четырёх треугольников вершинами к центру с последующим присоединением к основанию каждого треугольника по одному квадрату.

407 1) Обведите 3 клетки тетрадного листа так, чтобы получился многоугольник. Сколько разных многоугольников таким способом можно нарисовать?

2) Из двух равных уголков (рис. 7.24) можно составить разные фигуры. Нарисуйте их в тетради. Может ли среди этих фигур быть прямоугольник?

7.24

1) Чтобы получился единый многоугольник, 3 клетки тетрадного листа должны быть соединены сторонами. Существует всего два различных (неконгруэнтных) способа соединить три квадратные клетки. Такие фигуры называются тромино.

Первый способ — расположить все три клетки в один ряд. В этом случае получится прямоугольник размером $1 \times 3$.

Второй способ — расположить две клетки в ряд, а третью присоединить сбоку к одной из них. Получится фигура в форме уголка (L-тромино).

Любое другое расположение будет являться поворотом или отражением одной из этих двух фигур. Таким образом, можно нарисовать 2 разных многоугольника.

Ответ: 2.

2) "Уголок" на рисунке 7.24 представляет собой L-тромино, состоящее из 3 клеток. При объединении двух таких уголков получаются фигуры, состоящие из $3 + 3 = 6$ клеток (такие фигуры называются гексомино). Существует много различных способов их соединения. Вот несколько примеров получившихся фигур (разные уголки показаны разными цветами):

На вопрос, может ли среди этих фигур быть прямоугольник, ответ — да.

Общая площадь фигуры из двух уголков равна 6 клеткам. Прямоугольник такой площади может иметь размеры $1 \times 6$ или $2 \times 3$ клеток. Прямоугольник размером $1 \times 6$ составить невозможно, так как L-образная фигура уголка в любом положении имеет высоту или ширину в 2 клетки и не поместится в полосу шириной в 1 клетку. Однако прямоугольник размером $2 \times 3$ (или $3 \times 2$) составить можно, как показано на рисунке ниже.

Ответ: Да, может. Например, прямоугольник размером $2 \times 3$ клетки.

408 Круг составлен из равных элементов (рис. 7.25).

Нарисуйте этот элемент в тетради.

Чтобы нарисовать один из равных элементов, из которых составлен круг, необходимо понять его геометрическое строение. Фигура на рисунке обладает вращательной симметрией третьего порядка, это означает, что она состоит из трех одинаковых элементов, каждый из которых получается из другого поворотом на 120° вокруг центра.

Каждый такой элемент в своей основе является сектором круга с центральным углом в 120°, у которого прямолинейные границы (радиусы) заменены на криволинейные. Внимательно рассмотрев рисунок, можно заметить, что каждая криволинейная граница, идущая от центра к краю круга, является полуокружностью, построенной на радиусе большого круга как на диаметре.

Пусть радиус большого круга равен $R$. Площадь 120-градусного сектора составляет треть от площади всего круга, то есть $\frac{1}{3}\pi R^2$. Чтобы площадь итогового элемента была такой же, необходимо, чтобы одна измененная граница добавляла к площади сектора столько же, сколько другая граница отнимает. Это достигается, если одна полуокружность направлена "внутрь" сектора, а другая — "наружу". Такая конструкция также обеспечивает идеальное соединение трех элементов друг с другом без зазоров и наложений.

Ниже приведена пошаговая инструкция, как нарисовать этот элемент в тетради. Для удобства и соответствия рисунку в задании, можно принять радиус большого круга $R$ равным 3 клеткам.

1. Определение основы элемента. Выберите точку O — это будет центр большого круга и одна из вершин элемента. С помощью циркуля и транспортира постройте сектор AOB с центром в точке O, радиусом $R$ (например, 3 клетки или 3 см) и углом $\angle AOB = 120°$.
2. Построение внешней границы. Внешней границей элемента является дуга AB нашего сектора. Она уже построена на предыдущем шаге.
3. Построение первой внутренней границы. Возьмем радиус OA. Найдите его середину — точку M. Эта точка будет центром первой полуокружности. Из точки M проведите полуокружность радиусом $r = \frac{R}{2}$ (в нашем примере 1.5 клетки), которая соединит точки O и A. Эту полуокружность нужно направить внутрь сектора AOB.
4. Построение второй внутренней границы. Теперь возьмем радиус OB. Найдите его середину — точку N. Из точки N как из центра проведите вторую полуокружность радиусом $r = \frac{R}{2}$, соединяющую точки O и B. Эту полуокружность необходимо направить наружу из сектора AOB.
5. Завершение. Фигура, ограниченная дугой AB и двумя построенными полуокружностями (одна на диаметре OA, другая на диаметре OB), является искомым элементом. Остается только закрасить ее в любой цвет.

Ответ: Искомый элемент можно нарисовать, построив 120-градусный сектор круга, а затем заменив его прямолинейные стороны (радиусы) на полуокружности с диаметрами, равными этим радиусам. При этом одна полуокружность должна быть выпуклой внутрь сектора, а другая — наружу.

409 Сформулируйте признак равенства двух отрезков.

В евклидовой геометрии основным признаком равенства двух отрезков является равенство их длин.

Формулировка признака: Два отрезка равны, если их длины равны.

Это можно пояснить следующим образом:
1. Каждый отрезок имеет определенную длину, которая является положительным числом. Пусть у нас есть два отрезка, $AB$ и $CD$. Их длины обозначаются как $|AB|$ и $|CD|$.
2. Отрезки $AB$ и $CD$ называются равными (что записывается как $AB = CD$), если их длины одинаковы, то есть $|AB| = |CD|$.

Также существует эквивалентная формулировка, основанная на понятии наложения: два отрезка равны, если при наложении одного отрезка на другой они полностью совмещаются. Это означает, что можно совместить начало первого отрезка с началом второго, и при этом их концы также совпадут.

Ответ: Два отрезка равны, если равны их длины.

410 У двух треугольников углы попарно равны. Следует ли из этого, что треугольники равны?

Подсказка. Если вы считаете, что не следует, попробуйте начертить в тетради два разных треугольника с углами, равными, например, $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

Нет, из того, что у двух треугольников углы попарно равны, не следует, что треугольники равны.

Если у двух треугольников соответствующие углы равны, то такие треугольники называются подобными. Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер. Равенство (конгруэнтность) треугольников — это частный случай подобия, когда их соответствующие стороны также равны (т.е. коэффициент подобия равен 1).

Для доказательства равенства треугольников существует три основных признака:

• По двум сторонам и углу между ними.
• По стороне и двум прилежащим к ней углам.
• По трем сторонам.

Признака равенства треугольников по трем углам не существует.

Чтобы продемонстрировать это, воспользуемся подсказкой и рассмотрим два треугольника с углами $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$. Это прямоугольные равнобедренные треугольники.

1. Построим первый треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$ и катетами $AC = BC = 3$ см. Так как он равнобедренный, углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

2. Построим второй треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1 = 90^\circ$ и катетами $A_1C_1 = B_1C_1 = 5$ см. Его углы также будут равны: $\angle A_1 = \angle B_1 = 45^\circ$.

В итоге мы имеем два треугольника, у которых все соответствующие углы попарно равны:

$\angle A = \angle A_1 = 45^\circ$

$\angle B = \angle B_1 = 45^\circ$

$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$

Однако очевидно, что эти треугольники не равны, так как их соответствующие стороны имеют разную длину (например, $AC = 3$ см, а $A_1C_1 = 5$ см). Следовательно, равенство углов не гарантирует равенство треугольников.

Ответ: Нет, не следует. Если у двух треугольников углы попарно равны, то такие треугольники являются подобными, но не обязательно равными.

411. Опровергните утверждение, сделав чертёж:

а) два прямоугольника равны, если у них есть по одной равной стороне;

б) два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника.

а)

Данное утверждение "два прямоугольника равны, если у них есть по одной равной стороне" является неверным.

Для того чтобы два прямоугольника были равны (конгруэнтны), необходимо, чтобы их соответственные стороны были равны, то есть должны совпадать и длина, и ширина. Наличие только одной пары равных сторон не гарантирует равенства прямоугольников.

Чтобы опровергнуть это утверждение, рассмотрим два прямоугольника. Пусть первый прямоугольник $ABCD$ имеет стороны $AB = 4$ см и $BC = 3$ см. Второй прямоугольник $KLMN$ пусть имеет стороны $KL = 5$ см и $LM = 3$ см.

У этих прямоугольников есть по одной равной стороне ($BC = LM = 3$ см), но другие стороны у них различны ($AB = 4$ см, а $KL = 5$ см). Следовательно, эти прямоугольники не равны, что и доказывает ложность исходного утверждения.

На чертеже ниже показаны эти два прямоугольника. Равные стороны выделены красным цветом.

Очевидно, что прямоугольники имеют разную площадь и форму, и их невозможно совместить наложением.

Ответ: Утверждение неверно. Например, прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см и прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см не равны, хотя у них есть общая сторона длиной 3 см.

б)

Утверждение "два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника" также является неверным.

Это утверждение не включает в себя никаких условий об углах. Первый признак равенства треугольников гласит, что треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого. Если условие о равенстве угла между сторонами опустить, утверждение становится ложным.

Для опровержения построим два треугольника, у которых две стороны соответственно равны, а углы между ними — нет. Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ стороны $AB = 5$ см, $AC = 4$ см, а угол между ними $\angle BAC = 30^\circ$. В другом треугольнике $\triangle DEF$ пусть стороны $DE = 5$ см, $DF = 4$ см, а угол между ними $\angle EDF = 60^\circ$.

У этих треугольников есть две пары равных сторон: $AB = DE$ и $AC = DF$. Однако, поскольку углы между этими сторонами не равны ($\angle BAC \neq \angle EDF$), сами треугольники не являются равными. Их третьи стороны ($BC$ и $EF$) и остальные углы также не будут равны.

На чертеже показаны эти два треугольника. Равные стороны $AB$ и $DE$ выделены синим цветом, а равные стороны $AC$ и $DF$ — красным.

Видно, что треугольники имеют разную форму и не могут быть совмещены наложением.

Ответ: Утверждение неверно. Например, треугольник со сторонами 5 см и 4 см и углом 30° между ними не равен треугольнику со сторонами 5 см и 4 см и углом 60° между ними.