Номер 410, страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

410 У двух треугольников углы попарно равны. Следует ли из этого, что треугольники равны?

Подсказка. Если вы считаете, что не следует, попробуйте начертить в тетради два разных треугольника с углами, равными, например, $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

Нет, из того, что у двух треугольников углы попарно равны, не следует, что треугольники равны.

Если у двух треугольников соответствующие углы равны, то такие треугольники называются подобными. Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер. Равенство (конгруэнтность) треугольников — это частный случай подобия, когда их соответствующие стороны также равны (т.е. коэффициент подобия равен 1).

Для доказательства равенства треугольников существует три основных признака:

• По двум сторонам и углу между ними.
• По стороне и двум прилежащим к ней углам.
• По трем сторонам.

Признака равенства треугольников по трем углам не существует.

Чтобы продемонстрировать это, воспользуемся подсказкой и рассмотрим два треугольника с углами $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$. Это прямоугольные равнобедренные треугольники.

1. Построим первый треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$ и катетами $AC = BC = 3$ см. Так как он равнобедренный, углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

2. Построим второй треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1 = 90^\circ$ и катетами $A_1C_1 = B_1C_1 = 5$ см. Его углы также будут равны: $\angle A_1 = \angle B_1 = 45^\circ$.

В итоге мы имеем два треугольника, у которых все соответствующие углы попарно равны:

$\angle A = \angle A_1 = 45^\circ$

$\angle B = \angle B_1 = 45^\circ$

$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$

Однако очевидно, что эти треугольники не равны, так как их соответствующие стороны имеют разную длину (например, $AC = 3$ см, а $A_1C_1 = 5$ см). Следовательно, равенство углов не гарантирует равенство треугольников.

Ответ: Нет, не следует. Если у двух треугольников углы попарно равны, то такие треугольники являются подобными, но не обязательно равными.