Номер 404, страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

404 1) Возьмите квадрат и проведите его диагонали. Разрежьте квадрат по диагоналям. Какие фигуры вы получили? Равны ли они?

2) Сложите из получившихся частей квадрата (без наложений и щелей) следующие фигуры и зарисуйте их:

а) два квадрата;

б) прямоугольник;

в) треугольник;

г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником;

д) шестиугольник.

1)

Если взять квадрат и разрезать его по двум диагоналям, мы получим четыре треугольника. Рассмотрим свойства этих треугольников. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

• Так как диагонали перпендикулярны, то все четыре треугольника являются прямоугольными (угол при вершине в центре квадрата равен $90^\circ$).
• Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны между собой, то катеты каждого треугольника равны (они равны половине диагонали). Следовательно, все треугольники равнобедренные.
• Углы при основании каждого треугольника равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$, что также следует из того, что диагонали являются биссектрисами прямых углов квадрата.

Таким образом, мы получили четыре одинаковых (равных) прямоугольных равнобедренных треугольника. Равенство треугольников можно доказать по двум катетам (первый признак равенства треугольников), так как катеты всех четырех треугольников равны половине диагонали квадрата.

Ответ: Получились четыре равных между собой прямоугольных равнобедренных треугольника.

2)

Из четырех полученных равных прямоугольных равнобедренных треугольников можно сложить следующие фигуры (ниже приведены примеры возможных конфигураций).

а) два квадрата

Чтобы сложить один квадрат, нужно взять два треугольника и соединить их по гипотенузе (самой длинной стороне). Повторив это с оставшимися двумя треугольниками, мы получим второй такой же квадрат.

Ответ: одна из возможных конфигураций показана на рисунке.

б) прямоугольник

Можно сложить два квадрата, как в пункте а), а затем приложить их друг к другу сторонами. В результате получится прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой.

Ответ: одна из возможных конфигураций показана на рисунке.

в) треугольник

Можно составить один большой прямоугольный равнобедренный треугольник, который подобен исходным четырем частям. Его катеты будут в два раза длиннее катетов маленьких треугольников.

Ответ: одна из возможных конфигураций показана на рисунке.

г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником

Можно составить, например, равнобедренную трапецию. Для этого нужно расположить два треугольника по бокам от квадрата, составленного из двух других треугольников.

Ответ: одна из возможных конфигураций (равнобедренная трапеция) показана на рисунке.

д) шестиугольник

Можно сложить невыпуклый шестиугольник. Например, составив из трех треугольников фигуру в виде буквы "Г", и приставив четвертый треугольник к ее основанию.

Ответ: одна из возможных конфигураций (невыпуклый шестиугольник) показана на рисунке.