Номер 411, страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

411. Опровергните утверждение, сделав чертёж:

а) два прямоугольника равны, если у них есть по одной равной стороне;

б) два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника.

а)

Данное утверждение "два прямоугольника равны, если у них есть по одной равной стороне" является неверным.

Для того чтобы два прямоугольника были равны (конгруэнтны), необходимо, чтобы их соответственные стороны были равны, то есть должны совпадать и длина, и ширина. Наличие только одной пары равных сторон не гарантирует равенства прямоугольников.

Чтобы опровергнуть это утверждение, рассмотрим два прямоугольника. Пусть первый прямоугольник $ABCD$ имеет стороны $AB = 4$ см и $BC = 3$ см. Второй прямоугольник $KLMN$ пусть имеет стороны $KL = 5$ см и $LM = 3$ см.

У этих прямоугольников есть по одной равной стороне ($BC = LM = 3$ см), но другие стороны у них различны ($AB = 4$ см, а $KL = 5$ см). Следовательно, эти прямоугольники не равны, что и доказывает ложность исходного утверждения.

На чертеже ниже показаны эти два прямоугольника. Равные стороны выделены красным цветом.

Очевидно, что прямоугольники имеют разную площадь и форму, и их невозможно совместить наложением.

Ответ: Утверждение неверно. Например, прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см и прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см не равны, хотя у них есть общая сторона длиной 3 см.

б)

Утверждение "два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника" также является неверным.

Это утверждение не включает в себя никаких условий об углах. Первый признак равенства треугольников гласит, что треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого. Если условие о равенстве угла между сторонами опустить, утверждение становится ложным.

Для опровержения построим два треугольника, у которых две стороны соответственно равны, а углы между ними — нет. Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ стороны $AB = 5$ см, $AC = 4$ см, а угол между ними $\angle BAC = 30^\circ$. В другом треугольнике $\triangle DEF$ пусть стороны $DE = 5$ см, $DF = 4$ см, а угол между ними $\angle EDF = 60^\circ$.

У этих треугольников есть две пары равных сторон: $AB = DE$ и $AC = DF$. Однако, поскольку углы между этими сторонами не равны ($\angle BAC \neq \angle EDF$), сами треугольники не являются равными. Их третьи стороны ($BC$ и $EF$) и остальные углы также не будут равны.

На чертеже показаны эти два треугольника. Равные стороны $AB$ и $DE$ выделены синим цветом, а равные стороны $AC$ и $DF$ — красным.

Видно, что треугольники имеют разную форму и не могут быть совмещены наложением.

Ответ: Утверждение неверно. Например, треугольник со сторонами 5 см и 4 см и углом 30° между ними не равен треугольнику со сторонами 5 см и 4 см и углом 60° между ними.