Номер 408, страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

408 Круг составлен из равных элементов (рис. 7.25).

Нарисуйте этот элемент в тетради.

Чтобы нарисовать один из равных элементов, из которых составлен круг, необходимо понять его геометрическое строение. Фигура на рисунке обладает вращательной симметрией третьего порядка, это означает, что она состоит из трех одинаковых элементов, каждый из которых получается из другого поворотом на 120° вокруг центра.

Каждый такой элемент в своей основе является сектором круга с центральным углом в 120°, у которого прямолинейные границы (радиусы) заменены на криволинейные. Внимательно рассмотрев рисунок, можно заметить, что каждая криволинейная граница, идущая от центра к краю круга, является полуокружностью, построенной на радиусе большого круга как на диаметре.

Пусть радиус большого круга равен $R$. Площадь 120-градусного сектора составляет треть от площади всего круга, то есть $\frac{1}{3}\pi R^2$. Чтобы площадь итогового элемента была такой же, необходимо, чтобы одна измененная граница добавляла к площади сектора столько же, сколько другая граница отнимает. Это достигается, если одна полуокружность направлена "внутрь" сектора, а другая — "наружу". Такая конструкция также обеспечивает идеальное соединение трех элементов друг с другом без зазоров и наложений.

Ниже приведена пошаговая инструкция, как нарисовать этот элемент в тетради. Для удобства и соответствия рисунку в задании, можно принять радиус большого круга $R$ равным 3 клеткам.

1. Определение основы элемента. Выберите точку O — это будет центр большого круга и одна из вершин элемента. С помощью циркуля и транспортира постройте сектор AOB с центром в точке O, радиусом $R$ (например, 3 клетки или 3 см) и углом $\angle AOB = 120°$.
2. Построение внешней границы. Внешней границей элемента является дуга AB нашего сектора. Она уже построена на предыдущем шаге.
3. Построение первой внутренней границы. Возьмем радиус OA. Найдите его середину — точку M. Эта точка будет центром первой полуокружности. Из точки M проведите полуокружность радиусом $r = \frac{R}{2}$ (в нашем примере 1.5 клетки), которая соединит точки O и A. Эту полуокружность нужно направить внутрь сектора AOB.
4. Построение второй внутренней границы. Теперь возьмем радиус OB. Найдите его середину — точку N. Из точки N как из центра проведите вторую полуокружность радиусом $r = \frac{R}{2}$, соединяющую точки O и B. Эту полуокружность необходимо направить наружу из сектора AOB.
5. Завершение. Фигура, ограниченная дугой AB и двумя построенными полуокружностями (одна на диаметре OA, другая на диаметре OB), является искомым элементом. Остается только закрасить ее в любой цвет.

Ответ: Искомый элемент можно нарисовать, построив 120-градусный сектор круга, а затем заменив его прямолинейные стороны (радиусы) на полуокружности с диаметрами, равными этим радиусам. При этом одна полуокружность должна быть выпуклой внутрь сектора, а другая — наружу.