Номер 402, страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

402 Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники? Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Начертим прямоугольник и обозначим его вершины буквами A, B, C, D. Проведем диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.

Перечислите все получившиеся треугольники.

В результате построения диагоналей в прямоугольнике образуется 8 треугольников. Четыре из них образуются в центре при пересечении диагоналей, а еще четыре — это прямоугольные треугольники, на которые каждая диагональ делит прямоугольник.
Список всех треугольников: $ΔABO$, $ΔBCO$, $ΔCDO$, $ΔDAO$, $ΔABC$, $ΔADC$, $ΔABD$, $ΔBCD$.
Ответ: $ΔABO$, $ΔBCO$, $ΔCDO$, $ΔDAO$, $ΔABC$, $ΔADC$, $ΔABD$, $ΔBCD$.

Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Да, среди получившихся треугольников есть равные. Их равенство следует из основных свойств прямоугольника:

1. Противоположные стороны прямоугольника равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Используя эти свойства, мы можем найти следующие группы равных треугольников:

1. Треугольники, образованные пересечением диагоналей, равны попарно. Они являются равнобедренными.
- $ΔABO$ равен $ΔCDO$ (по трем сторонам: $AB = CD$, $AO = CO$, $BO = DO$).
- $ΔBCO$ равен $ΔDAO$ (по трем сторонам: $BC = AD$, $BO = DO$, $CO = AO$).

2. Большие прямоугольные треугольники, образованные диагоналями и сторонами, равны.
- $ΔABC$ равен $ΔADC$ (по трем сторонам: $AB = CD$, $BC = AD$, а сторона $AC$ — общая).
- $ΔABD$ равен $ΔBCD$ (по трем сторонам: $AB = CD$, $AD = BC$, а сторона $BD$ — общая).
Более того, все четыре этих треугольника ($ΔABC$, $ΔADC$, $ΔABD$, $ΔBCD$) равны между собой, так как у них равны катеты (стороны прямоугольника) и гипотенузы (равные диагонали прямоугольника).

Ответ: Да, есть равные треугольники.
1) $ΔABO = ΔCDO$
2) $ΔBCO = ΔDAO$
3) $ΔABC = ΔADC = ΔABD = ΔBCD$