Номер 396, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

396 Равнобедренный треугольник $ABC$ (рис. 7.14) разрезали по прямой $BO$. Из получившихся равных прямоугольных треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте этот прямоугольник. Какой стороне треугольника равна диагональ прямоугольника?

7.14

Нарисуйте этот прямоугольник

Равнобедренный треугольник $ABC$ разрезается по высоте $BO$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$. Из рисунка на клетчатой бумаге видно, что катеты этих треугольников равны $AO = CO = 3$ клетки и $BO = 4$ клетки. Из двух таких одинаковых прямоугольных треугольников можно сложить прямоугольник, стороны которого будут равны катетам этих треугольников. Таким образом, получится прямоугольник со сторонами 3 и 4 клетки.

Ответ: На рисунке выше изображен прямоугольник со сторонами 3 и 4 единицы, сложенный из двух прямоугольных треугольников.

Какой стороне треугольника равна диагональ прямоугольника?

Прямоугольник составлен из двух прямоугольных треугольников ($\triangle ABO$ и $\triangle CBO$), у которых катеты равны $a = AO = 3$ и $b = BO = 4$. Стороны получившегося прямоугольника также равны $a$ и $b$.
Длину диагонали $d$ этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:$d^2 = a^2 + b^2$, следовательно, $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников, например $\triangle ABO$. Его катеты — это $AO$ и $BO$, а гипотенуза — это сторона $AB$ исходного треугольника. По теореме Пифагора для $\triangle ABO$:$AB^2 = AO^2 + BO^2$, следовательно, $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2}$.
Сравнивая выражения для длины диагонали прямоугольника $d$ и длины гипотенузы $AB$, мы видим, что они равны. Гипотенузы прямоугольных треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ являются боковыми сторонами $AB$ и $BC$ исходного равнобедренного треугольника $ABC$.
Следовательно, диагональ прямоугольника равна боковой стороне исходного треугольника.
Ответ: Диагональ прямоугольника равна боковой стороне $AB$ (или равной ей стороне $BC$) треугольника $ABC$.