Номер 397, страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

397 На рисунке 7.15 изображены различные четырёхугольники. Назовите те из них, у которых диагонали:

а) равны;

б) в точке пересечения делятся пополам;

в) пересекаются под прямым углом;

г) равны и в точке пересечения делятся пополам;

д) равны и пересекаются под прямым углом;

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

прямоугольник

квадрат

равнобокая

трапеция

параллелограмм

ромб

Для решения задачи проанализируем свойства диагоналей каждой из изображенных фигур:

• Прямоугольник: диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.
• Квадрат: является частным случаем прямоугольника и ромба, поэтому его диагонали обладают всеми свойствами: они равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
• Равнобокая трапеция: диагонали равны, но в общем случае не делятся пополам в точке пересечения и не являются перпендикулярными.
• Параллелограмм: диагонали в точке пересечения делятся пополам. В общем случае они не равны и не перпендикулярны.
• Ромб: диагонали в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. В общем случае они не равны.

Исходя из этих свойств, найдём четырёхугольники, удовлетворяющие каждому условию.

а) равны;
Свойством равенства диагоналей обладают прямоугольник, квадрат и равнобокая трапеция.
Ответ: прямоугольник, квадрат, равнобокая трапеция.

б) в точке пересечения делятся пополам;
Это свойство характерно для всех видов параллелограммов, представленных на рисунке: прямоугольника, квадрата, самого параллелограмма и ромба.
Ответ: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб.

в) пересекаются под прямым углом;
Диагонали перпендикулярны (пересекаются под углом $90^\circ$) у ромба и квадрата.
Ответ: квадрат, ромб.

г) равны и в точке пересечения делятся пополам;
Это одновременное выполнение условий а) и б). Такими свойствами обладают прямоугольник и квадрат.
Ответ: прямоугольник, квадрат.

д) равны и пересекаются под прямым углом;
Это одновременное выполнение условий а) и в). Из всех фигур только у квадрата диагонали одновременно и равны, и перпендикулярны.
Ответ: квадрат.

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;
Это одновременное выполнение условий б) и в). Такими свойствами обладают ромб и квадрат.
Ответ: квадрат, ромб.

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.
Это одновременное выполнение всех трех условий: а), б) и в). Только диагонали квадрата обладают всеми перечисленными свойствами.
Ответ: квадрат.