Номер 400, страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

400 Начертите в тетради треугольник:

а) равный треугольнику $ABC$ (рис. 7.20);

б) равный треугольнику $ABC$ (рис. 7.21), но в другом положении

а)

Чтобы начертить треугольник, равный треугольнику $ABC$ на рисунке 7.20, нужно построить на клетчатой бумаге треугольник с такими же длинами сторон. Треугольник $ABC$ на рисунке 7.20 — прямоугольный.

1. Определим длины его катетов по клеткам. Длина катета $AC$ равна 4 клеткам. Длина катета $BC$ равна 5 клеткам. Угол $\angle C$ прямой ($90^\circ$).
2. Для построения равного треугольника $A_1B_1C_1$ выберем на листе произвольную точку и обозначим ее как вершину $C_1$.
3. От точки $C_1$ по линии сетки отложим в любую сторону (например, вправо) отрезок $C_1A_1$ длиной 4 клетки.
4. Из точки $C_1$ по перпендикулярной линии сетки (например, вверх) отложим отрезок $C_1B_1$ длиной 5 клеток.
5. Соединим точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ будет равен треугольнику $ABC$ по двум катетам, так как $A_1C_1 = AC = 4$ и $B_1C_1 = BC = 5$, а угол между ними $\angle C_1 = \angle C = 90^\circ$.

Ответ: Треугольник, построенный согласно описанным шагам, будет равен исходному треугольнику $ABC$.

б)

Чтобы начертить треугольник, равный треугольнику $ABC$ на рисунке 7.21, но в другом положении, нужно сначала определить относительное расположение его вершин, а затем воспроизвести его, изменив ориентацию, например, с помощью поворота или зеркального отражения.

1. Проанализируем координаты вершин треугольника $ABC$ на сетке. Примем вершину $A$ за начало отсчета.
   • Чтобы попасть из вершины $A$ в вершину $C$, нужно сместиться на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх.
   • Чтобы попасть из вершины $A$ в вершину $B$, нужно сместиться на 1 клетку влево и 5 клеток вверх.
2. Построим равный ему треугольник $A_1B_1C_1$ в другом положении. Например, повернем его на $90^\circ$ по часовой стрелке относительно вершины $A$. При таком повороте смещение ($x$, $y$) по клеткам превращается в смещение ($y$, $-x$).
   • Смещение к $C$ (3 вправо, 2 вверх) станет смещением к $C_1$ (2 вправо, 3 вниз).
   • Смещение к $B$ (-1 влево, 5 вверх) станет смещением к $B_1$ (5 вправо, 1 вверх).
3. Выполним построение нового треугольника $A_1B_1C_1$:
   1. Выберем произвольную точку на листе и обозначим ее $A_1$.
   2. Чтобы найти вершину $C_1$, отложим от точки $A_1$ 2 клетки вправо и 3 клетки вниз.
   3. Чтобы найти вершину $B_1$, вернемся к точке $A_1$ и отложим от нее 5 клеток вправо и 1 клетку вверх.
   4. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ равен исходному треугольнику $ABC$ (по третьему признаку равенства треугольников, так как длины их соответствующих сторон равны), но расположен в другом положении (повернут на $90^\circ$). Длины сторон исходного треугольника: $AB = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{26}$, $AC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$, $BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16+9} = 5$. Длины сторон нового треугольника: $A_1B_1 = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}$, $A_1C_1 = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$, $B_1C_1 = \sqrt{(2-5)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.

Ответ: Треугольник, построенный по описанному алгоритму, будет равен исходному треугольнику $ABC$ и будет находиться в другом положении.