Страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

398 С помощью кальки найдите на рисунке 7.18 четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$.

7.18

Два геометрических многоугольника считаются равными (конгруэнтными), если один из них можно совместить с другим путём наложения. Это означает, что при совмещении все их соответствующие вершины, стороны и углы совпадут. Такой результат достигается с помощью движений: параллельного переноса, поворота и их комбинации.

Чтобы найти на рисунке четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$, воспользуемся методом наложения с помощью кальки, как и предложено в условии задачи.

1. Положим лист кальки на исходный четырёхугольник $ABCD$ и точно обведём его контур.
2. Не отрывая кальку от плоскости, будем последовательно прикладывать полученный на кальке контур к трём другим четырёхугольникам. Мы можем сдвигать и поворачивать кальку, чтобы попытаться добиться полного совпадения контуров.

В результате сравнения мы обнаружим следующее:

• При наложении на нижний левый четырёхугольник контур $ABCD$ не совпадает с ним ни при каком положении. Видно, что у них разное соотношение длин сторон и величины углов.
• Средний четырёхугольник является параллелограммом (его противоположные стороны попарно параллельны и равны). Четырёхугольник $ABCD$ — это трапеция, так как у него параллельны только стороны $BC$ и $AD$. Следовательно, эти фигуры не равны.
• При наложении на верхний правый четырёхугольник, если повернуть кальку на некоторый угол против часовой стрелки, то обведённый контур $ABCD$ полностью совпадёт с контуром этого четырёхугольника.

Следовательно, четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$, — это фигура, расположенная в верхней правой части рисунка.

Ответ: Четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$, — это тот, который находится в правой верхней части рисунка.

399 Какие из равных фигур, изображённых на рисунке 7.19, можно совместить, перемещая их по листу бумаги?

7.19

Чтобы определить, какие из данных фигур можно совместить, перемещая их по листу бумаги, необходимо проанализировать, можно ли получить одну фигуру из другой с помощью движений на плоскости. Такие движения включают в себя параллельный перенос (сдвиг) и поворот. Переворачивать фигуру (выполнять зеркальное отражение) при этом нельзя.

На рисунке изображены три фигуры L-образной формы: жёлтая, розовая и голубая. Все они имеют одинаковую форму и размер, то есть являются равными фигурами.

1. Сравнение жёлтой и розовой фигур. Если мы мысленно повернём жёлтую фигуру на $180^\circ$ вокруг её центра, она полностью совпадёт с розовой фигурой. Следовательно, жёлтую и розовую фигуры можно совместить, перемещая их по листу бумаги.

2. Сравнение жёлтой и голубой фигур. Голубая фигура является зеркальным отражением жёлтой. Как бы мы ни двигали или ни вращали жёлтую фигуру на плоскости, нам не удастся совместить её с голубой. Для этого жёлтую фигуру потребовалось бы "поднять" с листа и перевернуть, что не является перемещением по плоскости.

3. Сравнение розовой и голубой фигур. Поскольку розовая фигура получается из жёлтой поворотом, а голубая является зеркальным отражением жёлтой, то голубая фигура также является зеркальным отражением розовой. Их тоже невозможно совместить движением на плоскости.

Таким образом, совместить можно только жёлтую и розовую фигуры.

Ответ: Можно совместить жёлтую и розовую фигуры.

400 Начертите в тетради треугольник:

а) равный треугольнику $ABC$ (рис. 7.20);

б) равный треугольнику $ABC$ (рис. 7.21), но в другом положении

а)

Чтобы начертить треугольник, равный треугольнику $ABC$ на рисунке 7.20, нужно построить на клетчатой бумаге треугольник с такими же длинами сторон. Треугольник $ABC$ на рисунке 7.20 — прямоугольный.

1. Определим длины его катетов по клеткам. Длина катета $AC$ равна 4 клеткам. Длина катета $BC$ равна 5 клеткам. Угол $\angle C$ прямой ($90^\circ$).
2. Для построения равного треугольника $A_1B_1C_1$ выберем на листе произвольную точку и обозначим ее как вершину $C_1$.
3. От точки $C_1$ по линии сетки отложим в любую сторону (например, вправо) отрезок $C_1A_1$ длиной 4 клетки.
4. Из точки $C_1$ по перпендикулярной линии сетки (например, вверх) отложим отрезок $C_1B_1$ длиной 5 клеток.
5. Соединим точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ будет равен треугольнику $ABC$ по двум катетам, так как $A_1C_1 = AC = 4$ и $B_1C_1 = BC = 5$, а угол между ними $\angle C_1 = \angle C = 90^\circ$.

Ответ: Треугольник, построенный согласно описанным шагам, будет равен исходному треугольнику $ABC$.

б)

Чтобы начертить треугольник, равный треугольнику $ABC$ на рисунке 7.21, но в другом положении, нужно сначала определить относительное расположение его вершин, а затем воспроизвести его, изменив ориентацию, например, с помощью поворота или зеркального отражения.

1. Проанализируем координаты вершин треугольника $ABC$ на сетке. Примем вершину $A$ за начало отсчета.
   • Чтобы попасть из вершины $A$ в вершину $C$, нужно сместиться на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх.
   • Чтобы попасть из вершины $A$ в вершину $B$, нужно сместиться на 1 клетку влево и 5 клеток вверх.
2. Построим равный ему треугольник $A_1B_1C_1$ в другом положении. Например, повернем его на $90^\circ$ по часовой стрелке относительно вершины $A$. При таком повороте смещение ($x$, $y$) по клеткам превращается в смещение ($y$, $-x$).
   • Смещение к $C$ (3 вправо, 2 вверх) станет смещением к $C_1$ (2 вправо, 3 вниз).
   • Смещение к $B$ (-1 влево, 5 вверх) станет смещением к $B_1$ (5 вправо, 1 вверх).
3. Выполним построение нового треугольника $A_1B_1C_1$:
   1. Выберем произвольную точку на листе и обозначим ее $A_1$.
   2. Чтобы найти вершину $C_1$, отложим от точки $A_1$ 2 клетки вправо и 3 клетки вниз.
   3. Чтобы найти вершину $B_1$, вернемся к точке $A_1$ и отложим от нее 5 клеток вправо и 1 клетку вверх.
   4. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ равен исходному треугольнику $ABC$ (по третьему признаку равенства треугольников, так как длины их соответствующих сторон равны), но расположен в другом положении (повернут на $90^\circ$). Длины сторон исходного треугольника: $AB = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{26}$, $AC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$, $BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16+9} = 5$. Длины сторон нового треугольника: $A_1B_1 = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}$, $A_1C_1 = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$, $B_1C_1 = \sqrt{(2-5)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.

Ответ: Треугольник, построенный по описанному алгоритму, будет равен исходному треугольнику $ABC$ и будет находиться в другом положении.

401 1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы.

2) Вырежьте из бумаги прямоугольник и разрежьте его по диагонали. Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник.

1)

Начертим прямоугольник ABCD и проведем в нем диагональ AC. Эта диагональ разделит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника: $ΔABC$ и $ΔADC$.

Поскольку ABCD — прямоугольник, его противоположные стороны равны ($AB = CD$, $BC = AD$), а все углы прямые ($∠B = ∠D = 90°$). Сторона AC является общей для обоих треугольников. Равенство треугольников $ΔABC$ и $ΔADC$ следует из равенства по трем сторонам (или по двум катетам, так как треугольники прямоугольные).

Равными элементами у этих треугольников являются:

• Равные стороны:
  • $AB = CD$ (противоположные стороны прямоугольника)
  • $BC = AD$ (противоположные стороны прямоугольника)
  • $AC$ — общая сторона (гипотенуза)
• Равные углы:
  • $∠ABC = ∠ADC = 90°$ (углы прямоугольника)
  • $∠BCA = ∠DAC$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC)
  • $∠BAC = ∠DCA$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC)

Ответ: Равные стороны: $AB = CD$, $BC = AD$, $AC$ — общая. Равные углы: $∠ABC = ∠ADC = 90°$, $∠BCA = ∠DAC$, $∠BAC = ∠DCA$.

2)

Вырезав прямоугольник и разрезав его по диагонали, мы получим два одинаковых (равных) прямоугольных треугольника. У каждого такого треугольника есть два катета (стороны, образующие прямой угол) и гипотенуза.

Чтобы сложить из них равнобедренный треугольник, нужно приложить эти два треугольника друг к другу вдоль одного из равных катетов. Например, если мы совместим более короткие катеты, то более длинные катеты образуют основание нового, большего треугольника. Боковыми сторонами этого нового треугольника станут гипотенузы двух исходных треугольников. Поскольку гипотенузы исходных треугольников равны, то и боковые стороны нового треугольника будут равны. Следовательно, полученный треугольник является равнобедренным.

Ответ: Нужно приложить два полученных прямоугольных треугольника друг к другу по одному из равных катетов.

402 Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники? Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Начертим прямоугольник и обозначим его вершины буквами A, B, C, D. Проведем диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.

Перечислите все получившиеся треугольники.

В результате построения диагоналей в прямоугольнике образуется 8 треугольников. Четыре из них образуются в центре при пересечении диагоналей, а еще четыре — это прямоугольные треугольники, на которые каждая диагональ делит прямоугольник.
Список всех треугольников: $ΔABO$, $ΔBCO$, $ΔCDO$, $ΔDAO$, $ΔABC$, $ΔADC$, $ΔABD$, $ΔBCD$.
Ответ: $ΔABO$, $ΔBCO$, $ΔCDO$, $ΔDAO$, $ΔABC$, $ΔADC$, $ΔABD$, $ΔBCD$.

Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Да, среди получившихся треугольников есть равные. Их равенство следует из основных свойств прямоугольника:

1. Противоположные стороны прямоугольника равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Используя эти свойства, мы можем найти следующие группы равных треугольников:

1. Треугольники, образованные пересечением диагоналей, равны попарно. Они являются равнобедренными.
- $ΔABO$ равен $ΔCDO$ (по трем сторонам: $AB = CD$, $AO = CO$, $BO = DO$).
- $ΔBCO$ равен $ΔDAO$ (по трем сторонам: $BC = AD$, $BO = DO$, $CO = AO$).

2. Большие прямоугольные треугольники, образованные диагоналями и сторонами, равны.
- $ΔABC$ равен $ΔADC$ (по трем сторонам: $AB = CD$, $BC = AD$, а сторона $AC$ — общая).
- $ΔABD$ равен $ΔBCD$ (по трем сторонам: $AB = CD$, $AD = BC$, а сторона $BD$ — общая).
Более того, все четыре этих треугольника ($ΔABC$, $ΔADC$, $ΔABD$, $ΔBCD$) равны между собой, так как у них равны катеты (стороны прямоугольника) и гипотенузы (равные диагонали прямоугольника).

Ответ: Да, есть равные треугольники.
1) $ΔABO = ΔCDO$
2) $ΔBCO = ΔDAO$
3) $ΔABC = ΔADC = ΔABD = ΔBCD$

403 1) Начертите в тетради круг и разделите его отрезком на две равные части. Как называется этот отрезок? Разделите круг на четыре равные части.

2) Как с помощью двух перегибаний можно найти центр круга?

1) Чтобы разделить круг на две равные части, нужно провести отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки на окружности. Этот отрезок является самым длинным из всех возможных отрезков, соединяющих две точки окружности.
Такой отрезок называется диаметром. Диаметр делит круг на два равных полукруга.
Чтобы разделить круг на четыре равные части, необходимо провести два диаметра, которые перпендикулярны друг другу (пересекаются под прямым углом, $90^\circ$). Эти два диаметра разделят круг на четыре одинаковых сектора.
Ответ: Отрезок, делящий круг на две равные части, называется диаметром. Чтобы разделить круг на четыре равные части, нужно провести два перпендикулярных диаметра.

2) Чтобы найти центр круга (например, вырезанного из бумаги) с помощью двух перегибаний, нужно сделать следующее:
1. Согнуть круг пополам так, чтобы одна его половина точно совпала с другой. Линия сгиба будет диаметром этого круга.
2. Развернуть круг и снова согнуть его пополам, но уже по другой линии. Новый сгиб также будет диаметром.
3. Развернуть круг. Точка, в которой пересекаются две полученные линии сгиба, и будет являться центром круга, так как центр — это точка пересечения любых двух диаметров.
Ответ: Нужно дважды перегнуть круг пополам по разным линиям. Точка пересечения двух линий сгиба и будет центром круга.