Страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Начертите прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$.

1. Чтобы начертить прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол (они называются катетами), равны 3 см и 4 см, необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертите отрезок AC длиной 4 см.
2. Из точки C проведите луч, перпендикулярный отрезку AC. Для этого можно использовать угольник (приложив его прямой угол к точке C) или транспортир (отмерив угол в $90^\circ$).
3. На этом луче отложите от точки C отрезок BC длиной 3 см.
4. Соедините точки A и B. Полученный отрезок AB является третьей стороной треугольника и называется гипотенузой.

В результате будет построен искомый прямоугольный треугольник ABC с катетами 3 см и 4 см.

Также можно найти длину гипотенузы, используя теорему Пифагора. Теорема гласит, что квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$): $c^2 = a^2 + b^2$.

Для нашего треугольника:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$AB = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см построен. Длина его гипотенузы составляет 5 см.

2. Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?

Основное свойство углов равнобедренного треугольника заключается в том, что углы при его основании равны.

Вспомним, что равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Углы, которые образует основание с боковыми сторонами, и есть углы при основании.

Для доказательства этого свойства рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а $AC$ — основание. Докажем, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Проведем из вершины $B$ биссектрису $BD$ к основанию $AC$. По определению, биссектриса делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые биссектриса $BD$ разделила исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. В этих треугольниках сторона $AB$ равна стороне $BC$ (по условию), сторона $BD$ — общая, а угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$ (по построению). Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ являются соответствующими углами в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, а значит, они равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3 Начертите какой-нибудь равнобедренный треугольник, у которого величина угла между боковыми сторонами равна $100^\circ$. Каким является этот треугольник: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным?

Начертите какой-нибудь равнобедренный треугольник, у которого величина угла между боковыми сторонами равна 100°.

По условию, треугольник является равнобедренным, а угол между его боковыми сторонами (угол при вершине) равен $100°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Зная, что сумма всех углов треугольника составляет $180°$, мы можем найти величину углов при основании. Пусть каждый из них равен $\alpha$.

Составим и решим уравнение:
$100° + \alpha + \alpha = 180°$
$100° + 2\alpha = 180°$
$2\alpha = 180° - 100°$
$2\alpha = 80°$
$\alpha = \frac{80°}{2}$
$\alpha = 40°$

Следовательно, углы этого треугольника равны $100°$, $40°$ и $40°$. Ниже представлен чертеж такого треугольника.

Каким является этот треугольник: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным?

Вид треугольника определяется по величине его углов. Вспомним классификацию:

• Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90°$).
• Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90°$).
• Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90°$).

Мы нашли, что углы нашего треугольника равны $100°$, $40°$ и $40°$. Поскольку в треугольнике есть угол $100°$, который больше $90°$, данный треугольник является тупоугольным.

Ответ: этот треугольник является тупоугольным.

4 Найдите периметр:

а) равностороннего треугольника со стороной 12 см;

б) равнобедренного треугольника с основанием, равным 7 см, и боковой стороной, равной 13 см.

а) Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. У равностороннего треугольника все три стороны равны. Если сторона треугольника равна $a$, то его периметр $P$ можно найти по формуле:
$P = 3 \cdot a$
Подставим в формулу значение стороны, данное в условии: $a = 12$ см.
$P = 3 \cdot 12 = 36$ см.
Ответ: 36 см.

б) Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны между собой. Если боковая сторона равна $a$, а основание равно $b$, то его периметр $P$ можно найти по формуле:
$P = 2 \cdot a + b$
Подставим в формулу значения основания $b = 7$ см и боковой стороны $a = 13$ см, данные в условии.
$P = 2 \cdot 13 + 7 = 26 + 7 = 33$ см.
Ответ: 33 см.

5 Какой четырёхугольник называют прямоугольником, а какой — квадратом?

Какой четырёхугольник называют прямоугольником
Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые. Это означает, что каждый из его четырех внутренних углов равен $90^\circ$. Из этого свойства следует, что противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину и параллельны друг другу.
Ответ: Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые.

а какой — квадратом
Квадратом называют прямоугольник, у которого все четыре стороны равны. Таким образом, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника (четыре прямых угла), но с дополнительным условием равенства всех сторон. Другими словами, квадрат — это правильный четырёхугольник, так как у него равны и все стороны, и все углы.
Ответ: Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

6 Постройте на нелинованной бумаге:

a) прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см;

б) квадрат со стороной 45 мм.

а) прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см;

Для построения прямоугольника на нелинованной бумаге понадобятся линейка и угольник (или транспортир для измерения прямого угла). Построение выполняется в несколько шагов:

1. С помощью линейки начертите горизонтальный отрезок AB длиной 7 см. Это будет длинная сторона прямоугольника.

2. В точке A приложите угольник так, чтобы одна его сторона совпала с отрезком AB. Вдоль другой стороны угольника проведите луч, перпендикулярный отрезку AB. Угол должен быть прямым, то есть $90^\circ$.

3. На этом перпендикулярном луче от точки A отложите с помощью линейки отрезок AD длиной 4 см.

4. Аналогичную операцию проделайте в точке B: постройте перпендикулярный луч к отрезку AB и отложите на нем отрезок BC длиной 4 см.

5. Соедините точки D и C отрезком. Длина этого отрезка должна быть равна 7 см.

В результате будет построен прямоугольник ABCD со сторонами 7 см и 4 см.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами 7 см и 4 см.

б) квадрат со стороной 45 мм.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для удобства построения переведем миллиметры в сантиметры: $45 \text{ мм} = 4.5 \text{ см}$. Для построения понадобятся линейка и угольник.

1. С помощью линейки начертите отрезок PQ длиной 4.5 см.

2. В точке P с помощью угольника постройте перпендикуляр к отрезку PQ.

3. На этом перпендикуляре отложите от точки P отрезок PS, равный 4.5 см.

4. Далее можно либо построить еще один перпендикуляр в точке Q, либо воспользоваться циркулем. Рассмотрим второй способ:

5. Установите раствор циркуля равным 4.5 см. Из точки S проведите дугу окружности.

6. Не меняя раствора циркуля, из точки Q проведите другую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку их пересечения обозначим R.

7. Соедините отрезками точки Q и R, а также S и R.

Полученный четырехугольник PQRS — искомый квадрат со стороной 45 мм.

Ответ: Построен квадрат со стороной 45 мм.

7 Вычислите периметр:

а) прямоугольника со сторонами 5 см 6 мм и 7 см 9 мм;

б) квадрата со стороной 1 м 56 см.

а) Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Формула для вычисления периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.
В нашем случае даны стороны: $a = 5$ см $6$ мм и $b = 7$ см $9$ мм.
Для удобства вычислений можно сложить сантиметры с сантиметрами, а миллиметры с миллиметрами.
1. Найдем сумму длин двух сторон:
$5$ см $6$ мм + $7$ см $9$ мм = $(5 + 7)$ см $(6 + 9)$ мм = $12$ см $15$ мм.
2. Так как $1$ см = $10$ мм, преобразуем $15$ мм:
$15$ мм = $10$ мм + $5$ мм = $1$ см $5$ мм.
3. Прибавим полученный сантиметр к сумме сантиметров:
$12$ см + $1$ см $5$ мм = $13$ см $5$ мм.
4. Теперь умножим сумму длин двух сторон на 2, чтобы найти периметр:
$P = 2 \times (13$ см $5$ мм) = $(2 \times 13)$ см $(2 \times 5)$ мм = $26$ см $10$ мм.
5. Снова преобразуем миллиметры в сантиметры:
$10$ мм = $1$ см.
6. Окончательно получаем периметр:
$P = 26$ см + $1$ см = $27$ см.
Ответ: $27$ см.

б) Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Формула для вычисления периметра квадрата: $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны.
В данном случае дана сторона: $a = 1$ м $56$ см.
1. Чтобы найти периметр, умножим длину стороны на 4:
$P = 4 \times (1$ м $56$ см) = $(4 \times 1)$ м $(4 \times 56)$ см = $4$ м $224$ см.
2. Так как $1$ м = $100$ см, преобразуем $224$ см:
$224$ см = $200$ см + $24$ см = $2$ м $24$ см.
3. Прибавим полученные метры к основной части:
$P = 4$ м + $2$ м $24$ см = $6$ м $24$ см.
Ответ: $6$ м $24$ см.

8 Каким свойством обладают диагонали прямоугольника? Начертите прямоугольник ABCD со сторонами 5 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой O. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных треугольников.

Каким свойством обладают диагонали прямоугольника?

Диагонали прямоугольника обладают двумя основными свойствами:

• Они равны между собой.
• Точкой пересечения они делятся пополам.

Это означает, что если в прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Ответ: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Начертите прямоугольник ABCD со сторонами 5 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой O. Проведите необходимые измерения и вычислите периметр одного из тупоугольных треугольников.

1. Начертим прямоугольник ABCD. Пусть его стороны будут $AB = CD = 5$ см и $BC = AD = 4$ см.

2. Проведем в нем диагонали AC и BD. Точку их пересечения обозначим буквой O.

3. Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle AOD$. Поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, все эти треугольники являются равнобедренными. Тупоугольными будут те треугольники, которые опираются на большую сторону прямоугольника. Так как $5 \text{ см} > 4 \text{ см}$, то тупоугольные треугольники в нашем случае — это $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

4. Для вычисления периметра одного из тупоугольных треугольников, например $\triangle AOB$, нам нужно найти длины его сторон: $AO$, $BO$ и $AB$.

• Длина стороны $AB$ известна из условия: $AB = 5$ см.
• Длины отрезков $AO$ и $BO$ можно измерить линейкой. Они являются половинами диагоналей. Измерив диагональ (например, AC), мы получим примерно 6,4 см. Следовательно, $AO = BO \approx 6,4 \text{ см} / 2 = 3,2$ см.

5. Вычислим периметр $P$ треугольника $\triangle AOB$ как сумму длин его сторон:

$P_{\triangle AOB} = AO + BO + AB$

Подставим измеренные значения:

$P_{\triangle AOB} \approx 3,2 \text{ см} + 3,2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 11,4 \text{ см}$

Проверим расчет математически. Длину диагонали $d$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$d^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$

$d = \sqrt{41} \approx 6,403$ см.

Отрезки $AO$ и $BO$ равны половине диагонали:

$AO = BO = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2} \approx 3,2015$ см.

Тогда точный периметр треугольника $\triangle AOB$ равен:

$P_{\triangle AOB} = AO + BO + AB = \frac{\sqrt{41}}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2} + 5 = \sqrt{41} + 5 \approx 6,403 + 5 = 11,403$ см.

Наш результат, полученный измерением, очень близок к точному значению.

Ответ: Периметр одного из тупоугольных треугольников примерно равен 11,4 см.

9 Разбейте прямой на две равные части:

а) окружность;

б) равнобедренный треугольник;

в) квадрат;

г) прямоугольник.

Чтобы разделить геометрическую фигуру прямой на две равные (равновеликие, т.е. имеющие одинаковую площадь) части, эта прямая должна пройти через центр симметрии фигуры, если он существует. В некоторых случаях существуют и другие решения.

а) окружность
Окружность — это граница круга. Чтобы разделить круг на две равные части (два полукруга), необходимо провести прямую через его центр. Такая прямая называется диаметром. Любой диаметр делит круг на две части с равной площадью $A = \frac{\pi R^2}{2}$. Соответственно, окружность делится на две равные дуги (две полуокружности).
Ответ: Любая прямая, проходящая через центр окружности.

б) равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник имеет ось симметрии. Эта ось проходит через вершину, противолежащую основанию, и середину основания. Прямая, проведенная вдоль этой оси симметрии, разделит равнобедренный треугольник на два равных (конгруэнтных) прямоугольных треугольника. Эта прямая содержит медиану, высоту и биссектрису, проведенные к основанию.
Ответ: Прямая, содержащая медиану (а также высоту и биссектрису), проведенную к основанию треугольника.

в) квадрат
Квадрат обладает центральной симметрией. Его центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей. Любая прямая, проходящая через центр симметрии, делит площадь фигуры пополам. Таким образом, любая прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей квадрата, разделит его на две равные по площади части. Частными случаями таких прямых являются диагонали квадрата или прямые, проходящие через середины противолежащих сторон.
Ответ: Любая прямая, проходящая через центр квадрата (точку пересечения его диагоналей).

г) прямоугольник
Прямоугольник, как и квадрат, имеет центр симметрии в точке пересечения его диагоналей. Следовательно, любая прямая, проходящая через эту точку, разделит прямоугольник на две части равной площади. Например, это могут быть прямые, содержащие диагонали, или прямые, проходящие через середины противолежащих сторон (оси симметрии прямоугольника).
Ответ: Любая прямая, проходящая через центр прямоугольника (точку пересечения его диагоналей).

10 Вычислите площадь:

а) прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см;

б) квадрата со стороной 7 см.

а) прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см;

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его смежных сторон ($a$ и $b$). Формула для вычисления площади:

$S = a \cdot b$

Подставим в формулу заданные значения сторон: $a = 6$ см и $b = 4$ см.

$S = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.

б) квадрата со стороной 7 см.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат длины его стороны ($a$). Формула для вычисления площади:

$S = a^2$

Подставим в формулу заданное значение стороны квадрата: $a = 7$ см.

$S = (7 \text{ см})^2 = 7 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 49 \text{ см}^2$.

Ответ: $49 \text{ см}^2$.

11 В каких единицах измеряют площадь: квартиры, государства, дачного участка, пашни, листа бумаги, оконного стекла?

Выбор единицы измерения площади зависит от размера измеряемого объекта. Для каждого из перечисленных объектов наиболее подходящими и общепринятыми будут следующие единицы измерения:

квартиры

Площадь квартиры, как и других жилых или офисных помещений, принято измерять в квадратных метрах. Это стандартная единица, используемая в документации на недвижимость, в строительных планах и при расчетах.

Ответ: в квадратных метрах ($м^2$).

государства

Территория государства — это очень большая географическая площадь. Для ее измерения используют крупные единицы, а именно квадратные километры, чтобы избежать оперирования огромными числами.

Ответ: в квадратных километрах ($км^2$).

дачного участка

Площадь земельных участков среднего размера, таких как дачные, в России и странах СНГ традиционно измеряют в сотках. Одна сотка равна 100 квадратным метрам. В международной системе единицей, равной сотке, является ар.

Ответ: в сотках (арах) или в квадратных метрах ($м^2$).

пашни

Пашни представляют собой крупные сельскохозяйственные угодья. Для измерения их площади используется специальная единица — гектар. Один гектар равен 10 000 квадратных метров или 100 соткам.

Ответ: в гектарах (га).

листа бумаги

Лист бумаги имеет небольшую площадь, поэтому для ее точного измерения и расчетов удобно использовать квадратные сантиметры или квадратные миллиметры. Например, площадь стандартного листа формата А4 составляет около 624 $см^2$.

Ответ: в квадратных сантиметрах ($см^2$) или квадратных миллиметрах ($мм^2$).

оконного стекла

Площадь оконного стекла чаще всего измеряют в квадратных метрах, так как расчет стоимости материалов и производства в стекольной промышленности ведется именно в этих единицах. Для небольших стекол могут также использоваться квадратные дециметры ($дм^2$) или квадратные сантиметры ($см^2$).

Ответ: в квадратных метрах ($м^2$) или квадратных сантиметрах ($см^2$).