Страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

445 Для каждой точки, отмеченной на координатной прямой, запишите её координаты (рис. 8.7).

8.7

Для того чтобы определить координаты каждой точки, сначала необходимо найти цену одного деления на координатной прямой. Мы видим, что отрезок между 0 и 1 разделен на 5 равных частей. Следовательно, длина одного такого деления составляет $ \frac{1}{5} $ единичного отрезка.

Теперь, зная цену деления, мы можем вычислить координату каждой точки, посчитав количество делений от начала отсчета (точки 0).

A
Точка A находится на втором делении от точки 0. Чтобы найти ее координату, нужно цену деления умножить на количество делений: $ 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $. Таким образом, координата точки A равна $ \frac{2}{5} $.
Ответ: A($\frac{2}{5}$)

B
Точка B находится на четвертом делении от точки 0. Ее координата вычисляется следующим образом: $ 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $. Таким образом, координата точки B равна $ \frac{4}{5} $.
Ответ: B($\frac{4}{5}$)

C
Точка C находится на шестом делении от точки 0. Ее координата: $ 6 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{5} $. Можно также записать эту координату в виде смешанного числа: $ 1\frac{1}{5} $.
Ответ: C($\frac{6}{5}$)

D
Точка D находится на восьмом делении от точки 0. Ее координата: $ 8 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{5} $. В виде смешанного числа эта координата записывается как $ 1\frac{3}{5} $.
Ответ: D($\frac{8}{5}$)

446 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 9 см.

Отметьте точки с координатами $ \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}, \frac{9}{9}, \frac{11}{9}, \frac{13}{9} $.

Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?

Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 9 см.

Для построения координатной прямой начертим горизонтальную линию. Выберем на ней точку отсчета О, которая будет соответствовать числу 0. Зададим положительное направление вправо, обозначив его стрелкой.
По условию, единичный отрезок равен 9 см. Отложим от точки О вправо 9 см и поставим отметку, соответствующую числу 1.

Отметьте точки с координатами $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}, \frac{9}{9}, \frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.

Поскольку единичный отрезок (от 0 до 1) равен 9 см, а знаменатель всех данных дробей равен 9, то каждая $\frac{1}{9}$ часть единичного отрезка будет соответствовать $9 \text{ см} \div 9 = 1 \text{ см}$ на прямой.
Чтобы отметить заданные точки, нужно отложить от начала координат (точки 0) соответствующее расстояние вправо:
- Для точки с координатой $\frac{1}{9}$ откладываем 1 см.
- Для точки с координатой $\frac{2}{9}$ откладываем 2 см.
- Для точки с координатой $\frac{5}{9}$ откладываем 5 см.
- Для точки с координатой $\frac{7}{9}$ откладываем 7 см.
- Для точки с координатой $\frac{9}{9}$ откладываем 9 см (эта точка совпадает с точкой 1).
- Для точки с координатой $\frac{11}{9}$ откладываем 11 см.
- Для точки с координатой $\frac{13}{9}$ откладываем 13 см.
Ответ: Точки отмечаются на координатной прямой на расстояниях 1 см, 2 см, 5 см, 7 см, 9 см, 11 см и 13 см соответственно от начала координат.

Какие точки расположены левее 1, а какие — правее 1?

Чтобы определить положение точек относительно числа 1, необходимо сравнить их координаты с 1. Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 9: $1 = \frac{9}{9}$.
Точки, координаты которых меньше 1, расположены левее 1. Это дроби, у которых числитель меньше знаменателя 9.
К ним относятся: $\frac{1}{9}$ (т.к. $1<9$), $\frac{2}{9}$ (т.к. $2<9$), $\frac{5}{9}$ (т.к. $5<9$), $\frac{7}{9}$ (т.к. $7<9$).
Точки, координаты которых больше 1, расположены правее 1. Это дроби, у которых числитель больше знаменателя 9.
К ним относятся: $\frac{11}{9}$ (т.к. $11>9$), $\frac{13}{9}$ (т.к. $13>9$).
Точка с координатой $\frac{9}{9}$ совпадает с точкой 1, поэтому она не расположена ни левее, ни правее 1.
Ответ: Левее 1 расположены точки с координатами $\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}$. Правее 1 расположены точки с координатами $\frac{11}{9}, \frac{13}{9}$.

447 Начертите координатную прямую и отметьте на ней дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{4}{3}$.

Подсказка. Подумайте, сколько клеток должно быть в единичном отрезке, чтобы было удобно выполнять построение.

Для того чтобы отметить на координатной прямой дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$, следуя подсказке, необходимо выбрать удобный единичный отрезок. Знаменатели данных дробей — это числа 2 и 3. Чтобы было легко откладывать части отрезка, его длина должна быть кратна и 2, и 3. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому примем за единичный отрезок длину в 6 клеток.

Начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчета — точку с координатой 0. Вправо от нее отложим 6 клеток и отметим точку с координатой 1. Отрезок $[0; 1]$ — это единичный отрезок. Отложив еще 6 клеток вправо от точки 1, получим точку с координатой 2.

Теперь найдем положение каждой из заданных дробей на этой прямой, вычислив, сколько клеток нужно отложить от точки 0 для каждой из них:

Чтобы отметить дробь $\frac{1}{2}$, нужно отложить от нуля половину единичного отрезка, что составляет $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ клетки.

Чтобы отметить дробь $\frac{1}{3}$, нужно отложить от нуля одну третью часть единичного отрезка, что составляет $6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ клетки.

Чтобы отметить дробь $\frac{3}{2}$, нужно отложить от нуля полтора единичных отрезка. Это $6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ клеток. Эта точка расположена между 1 и 2.

Чтобы отметить дробь $\frac{4}{3}$, нужно отложить от нуля одну целую и одну третью часть единичного отрезка. Это $6 \cdot \frac{4}{3} = 8$ клеток. Эта точка также расположена между 1 и 2.

В результате на координатной прямой с единичным отрезком в 6 клеток точки будут расположены в следующем порядке от начала координат: $\frac{1}{3}$ (2 клетки), $\frac{1}{2}$ (3 клетки), $\frac{4}{3}$ (8 клеток) и $\frac{3}{2}$ (9 клеток).

Ответ: На координатной прямой, где за единичный отрезок принято 6 клеток, точка, соответствующая дроби $\frac{1}{3}$, будет отстоять от начала координат на 2 клетки; точка $\frac{1}{2}$ — на 3 клетки; точка $\frac{4}{3}$ — на 8 клеток; точка $\frac{3}{2}$ — на 9 клеток.

448 Какие из точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 8.8), изображают правильные дроби? неправильные дроби? Определите на глаз, какой дроби соответствует каждая точка.

$0 \quad D \quad B \quad 1 \quad A \quad C \quad 2$

Какие из точек, отмеченных на координатной прямой, изображают правильные дроби? неправильные дроби?

Правильная дробь — это число, которое больше 0, но меньше 1. На координатной прямой такие числа находятся на интервале $(0; 1)$.

Неправильная дробь — это число, которое больше или равно 1. На координатной прямой такие числа находятся в точке 1 или правее её.

Исходя из расположения точек на рисунке:

- Точки D и B находятся между 0 и 1, следовательно, они изображают правильные дроби.

- Точки A и C находятся между 1 и 2 (то есть правее 1), следовательно, они изображают неправильные дроби.

Ответ: Правильные дроби изображают точки D и B. Неправильные дроби изображают точки A и C.

Определите на глаз, какой дроби соответствует каждая точка.

Оценим визуально положение каждой точки на координатной прямой:

Точка D: Расположена на отрезке [0, 1]. Визуально этот отрезок можно разделить на три равные части. Точка D соответствует первой части. Следовательно, её координата: $\frac{1}{3}$.

Точка B: Расположена на отрезке [0, 1] и соответствует второй из трех равных частей. Следовательно, её координата: $\frac{2}{3}$.

Точка A: Расположена на отрезке [1, 2]. Визуально этот отрезок можно разделить на четыре равные части. Точка A соответствует первой части после 1. Следовательно, её координата: $1\frac{1}{4}$, или в виде неправильной дроби $\frac{5}{4}$.

Точка C: Расположена на отрезке [1, 2] и соответствует третьей из четырех равных частей. Следовательно, её координата: $1\frac{3}{4}$, или в виде неправильной дроби $\frac{7}{4}$.

Ответ: $D(\frac{1}{3})$, $B(\frac{2}{3})$, $A(\frac{5}{4})$, $C(\frac{7}{4})$.

449 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами $ \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{9}{10}, \frac{12}{10}, \frac{15}{10} $.

На этой же прямой отметьте точки с координатами $ \frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5} $.

Для решения задачи сначала начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчета — точку 0. Единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, по условию равен 10 клеткам. Это означает, что одна клетка на координатной прямой соответствует $\frac{1}{10}$ единичного отрезка.

Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{9}{10}, \frac{12}{10}, \frac{15}{10}$.

Поскольку 1 клетка соответствует $\frac{1}{10}$, то чтобы отметить точку с координатой в виде дроби со знаменателем 10, нужно отсчитать от начала координат (точки 0) количество клеток, равное числителю этой дроби.
- Точка с координатой $\frac{1}{10}$ будет находиться на расстоянии 1 клетки вправо от точки 0.
- Точка с координатой $\frac{2}{10}$ будет находиться на расстоянии 2 клеток вправо от точки 0.
- Точка с координатой $\frac{5}{10}$ будет находиться на расстоянии 5 клеток вправо от точки 0.
- Точка с координатой $\frac{9}{10}$ будет находиться на расстоянии 9 клеток вправо от точки 0.
- Точка с координатой $\frac{12}{10}$ (или $1\frac{2}{10}$) будет находиться на расстоянии 12 клеток вправо от точки 0 (то есть на 2 клетки вправо от точки 1).
- Точка с координатой $\frac{15}{10}$ (или $1\frac{5}{10}$ или $1.5$) будет находиться на расстоянии 15 клеток вправо от точки 0 (то есть на 5 клеток вправо от точки 1).

Ответ: Точки расположены на координатной прямой на расстоянии 1, 2, 5, 9, 12 и 15 клеток от начала отсчета соответственно.

На этой же прямой отметьте точки с координатами $\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5}$.

Чтобы отметить эти точки на нашей координатной прямой, удобно привести дроби к знаменателю 10. Так мы сможем легко определить, сколько клеток нужно отсчитать от начала координат.
- Для координаты $\frac{1}{2}$: приведем дробь к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 5.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$.
Эта точка находится на расстоянии 5 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{5}{10}$.
- Для координаты $\frac{2}{5}$: приведем дробь к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$.
Эта точка находится на расстоянии 4 клеток от точки 0.
- Для координаты $\frac{3}{2}$: приведем дробь к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 5.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10}$.
Эта точка находится на расстоянии 15 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{15}{10}$.
- Для координаты $\frac{6}{5}$: приведем дробь к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2.
$\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10}$.
Эта точка находится на расстоянии 12 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{12}{10}$.

Ответ: Точки расположены на координатной прямой на расстоянии 5 ($\frac{1}{2}$), 4 ($\frac{2}{5}$), 15 ($\frac{3}{2}$) и 12 ($\frac{6}{5}$) клеток от начала отсчета соответственно. Точки с координатами $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$ и $\frac{6}{5}$ совпадают с точками, отмеченными в первом задании, а именно с $\frac{5}{10}$, $\frac{15}{10}$ и $\frac{12}{10}$ соответственно.

450 Разберите, как решена задача а), а затем решите таким же способом задачу б).

а) «На книжной полке 32 книги, $\frac{3}{8}$ всех книг — словари. Сколько словарей на книжной полке?»

Решение. Сначала найдём одну восьмую долю всех книг, для этого разделим 32 на 8. Затем найдём три восьмые доли, для этого умножим полученное число на 3.

1) $32 : 8 = 4$ (книги) — это $\frac{1}{8}$ часть всех книг;

2) $4 \cdot 3 = 12$ (книг) — количество словарей на полке.

б) Расстояние между двумя городами равно 200 км. Автобус до первой остановки проехал $\frac{2}{5}$ этого расстояния. Сколько километров проехал автобус до первой остановки?

Для решения этой задачи воспользуемся тем же методом, что и в задаче а). Нам нужно найти $ \frac{2}{5} $ от общего расстояния в 200 км.

1) Сначала найдём одну пятую долю всего расстояния. Для этого разделим общее расстояние на знаменатель дроби (на 5):

$200 : 5 = 40$ (км) — это составляет $ \frac{1}{5} $ всего расстояния.

2) Затем найдём две пятые доли. Для этого умножим полученное значение одной доли на числитель дроби (на 2):

$40 \cdot 2 = 80$ (км) — расстояние, которое проехал автобус до первой остановки.

Ответ: 80 км.